Теория механизмов и машин

Тема 1. Основные понятия теории механизмов и машин

Теория механизмов и машин – научная дисциплина, которая изучает строение (структуру), кинематику и динамику механизмов в связи с их анализом и синтезом (И. И. Артоболевский)

Цель теории механизмов и машин – анализ и синтез типовых механизмов и их систем.

Анализ – исследование кинематических и динамических свойств уже существующего механизма по заданной схеме.

Синтез – проектирование схемы механизма по заданным свойствам.

Задачи теории механизмов и машин – разработка общих методов исследования структуры, геометрии, кинематики и динамики типовых механизмов и их систем.

Типовыми механизмами называются простые механизмы, имеющие при различном функциональном назначении широкое применение в машинах, для которых разработаны типовые методы и алгоритмы синтеза и анализа.

Деталь – элемент конструкции, не имеющий в своем составе внутренних связей (состоящий из одного твердого тела).

Звено – твердое тело или система жестко связанных твердых тел (может состоять из одной или нескольких деталей) входящая в состав механизма.

 

Различают следующие виды звеньев:

Входные звенья – звенья, которым сообщается заданное движение и соответствующие силовые факторы (силы или моменты);

Выходные звенья – звенья, на которых получают требуемое движение и силы.

Простые звенья – звенья, состоящие из одной детали;

Сложные звенья – звенья, состоящие из нескольких, жестко скрепленных друг с другом и совершающих одно и тоже движение.

Узел – несколько деталей, связанных между собой функционально, конструктивно или каким-либо другим образом.

Связи – отношения между элементами, предназначенные для передачи материала, энергии или информации между элементами. Связи могут осуществляться с помощью различных физических средств: механических соединений, жидкостей, электромагнитных или других полей, упругих элементов. Механические соединения могут быть подвижными (кинематические пары) и неподвижными. Неподвижные соединения делятся на разъемные (винтовые, штифтовые) и неразъемные (сварные, клеевые).

Механизмом называется система, состоящая из звеньев и кинематических пар, образующих замкнутые или разомкнутые цепи, которая предназначена для передачи и преобразования перемещений входных звеньев и приложенных к ним сил в требуемые перемещения и силы на выходных звеньях.

Кинематическая пара – подвижное соединение двух звеньев, допускающее их определенное относительное движение.

Кинематическая цепь – система звеньев, образующих между собой кинематические пары.

Машины и их классификация. Машина – техническое устройство, выполняющее преобразование энергии, материалов и информации с целью облегчения физического и умственного труда человека, повышения его качества и производительности.

Существуют следующие виды машин:

1. Энергетические машины – машины, преобразующие энергию одного вида в энергию другого вида. Эти машины бывают двух разновидностей:

двигатели, которые преобразуют любой вид энергии в механическую (например, электродвигатели преобразуют электрическую энергию, двигатели внутреннего сгорания преобразуют энергию расширения газов при сгорании в цилиндре);

генераторы, которые преобразуют механическую энергию в энергию другого вида (например, электрогенератор преобразует механическую энергию паровой или гидравлической турбины в электрическую).

2. Рабочие машины – машины, использующие механическую энергию для совершения работы по перемещению и преобразованию материалов. Эти машины тоже имеют две разновидности:

- транспортные машины – машины, которые используют механическую энергию для изменения положения объекта (его координат);

- технологические машины – машины, использующие механическую энергию для преобразования формы, свойств, размеров и состояния объекта.

3. Информационные машины – машины, предназначенные для обработки и преобразования информации. Они подразделяются на:

- математические машины – машины, преобразующие входную информацию в математическую модель исследуемого объекта;

- контрольно-управляющие машины – машины, преобразующие входную информацию (программу) в сигналы управления рабочей или энергетической машиной.

4. Кибернетические машины – машины, управляющие рабочими или энергетическими машинами, которые способны изменять программу своих действий в зависимости от состояния окружающей среды (т.е. машины, обладающие элементами искусственного интеллекта).

Классификация кинематических пар. Кинематические пары классифицируются по следующим признакам:

1. По виду места контакта (места связи) поверхностей звеньев:

- низшие пары – пары, в которых контакт звеньев осуществляется по плоскости или поверхности (пары скольжения);

- высшие пары – пары, в которых контакт звеньев осуществляется по линиям или точкам (пары, допускающие скольжение с перекатыванием).

2. По относительному движению звеньев, образующих пару:

- вращательные;

- поступательные;

- винтовые;

- плоские;

- сферические.

3. По способу замыкания (обеспечения контакта звеньев пары):

- силовое (за счет действия сил веса или силы упругости пружины рис. 3.3.1, а);

- геометрическое (за счет конструкции рабочих поверхностей пары рис. 3.3.1, б).

а б

Рис. 3.3.1

4. По числу условий связи, накладываемых на относительное движение звеньев (число условий связи определяет класс кинематической пары).

5. По числу подвижностей в относительном движении звеньев.

Число ограничений (S), накладываемых кинематической парой на движение одного звена относительно другого и зависящих от способа соединения звеньев, называется условиями связи. Если одно из звеньев кинематической пары остановить и связать с неподвижной системой координат (стойкой или корпусом), то для второго звена число степеней свободы (Н) в относительном движении (подвижность пары) будет равно Н = 6 – S.

По числу степеней свободы кинематические пары подразделяются на одноподвижные (Н = 1, S = 5), двухподвижные (Н = 2, S = 4), трехподвижные (Н = 3, S = 3), четырехподвижные (Н = 4, S = 2) и пятиподвижные (Н = 5, S = 1).

При S = 0 кинематические пары не существуют, так как два тела независимы друг от друга.

При S = 6 два тела не имеют относительного движения и превращаются в одно звено.

Рис. 3.3.2

Виды одноподвижных кинематических пар:

- поступательная кинаметическая пара (рис. 3.3.2, а) – кинематическая пара, с геометрическим замыканием, допускает лишь прямолинейное возвратно-поступательное относительное движение;

- вращательная (рис. 3.3.2, б) – кинематическая пара с геометрическим замыканием по цилиндрической поверхности, допускает вращательное движение одного звена относительно другого звена;

- винтовая (рис. 3.3.2, в) – кинематическая пара, в которой поступательное движение вдоль оси связано определенной зависимостью с вращательным движением вокруг оси.

 

Виды двухподвижных кинематических пар:

- цилиндрическая (рис. 3.3.2, г) – кинематическая пара, с геометрическим замыканием, допускает независимые вращательное и поступательное относительные движения звеньев;

- сферическая (рис. 3.3.2, д) кинмаетическая пара с пальцем, который перемещается в кольцевом пазу, допускает поворот вокруг оси пальца и поворот относительно оси, перпендикулярной плоскости кольцевого паза и проходящей через центр сферы.

Виды трехподвижных кинематических пар:

- сферическая (шаровой шарнир) (рис. 3.3.2, е) – кинематическая пара с геометрическим замыканием, допускает три независимых относительных вращения звеньев вокруг осей х, у, z;

- плоскостная (рис. 3.3.2, ж) – кинематическая пара с силовым замыканием силой тяжести звена, допускает два поступательных движения вдоль осей х и у и вращательное вокруг оси z.

Четырехподвижная кинематическая пара: цилиндр-плоскость (рис. 3.3.2, з) – кинематическая пара,в которой происходит движение цилиндра относительно плоскости или вращение вокруг осей х и y и скольжение вдоль осей х и у.

Пятиподвижная кинематическая пара: шар–плоскость (рис. 3.3.2, и) – кинематическая пара, в которой происходит, движение шара относительно плоскости, три вращения вокруг осей х, у, z и скольжение по плоскости вдоль осей х и у. Поступательное движение шара вдоль оси z вниз невозможно, так как ограничено плоскостью, а при движении вверх происходит отрыв шара от плоскости, и кинематическая пара перестает существовать. Требует силового замыкания.

Тема 2. Структурный анализ и синтез механизмов

Структурный анализ – это исследование имеющегося механизма для определения его состава путем расчленения на структурные группы и начальный механизм в порядке, обратном образованию механизма.

Как на любом этапе проектирования, при структурном синтезе различают задачи синтеза и задачи анализа.

Задачей структурного анализа является определения параметров структуры заданного механизма – числа звеньев и структурных групп, числа и вида КП, числа подвижностей (основных и местных), числа контуров и числа избыточных связей.

Задачей структурного синтеза является синтез структуры нового механизма, обладающего заданными свойствами: числом подвижностей, отсутствием местных подвижностей и избыточных связей, минимумом числа звеньев, с парами определенного вида (например, только вращательными, как наиболее технологичными) и т.п.

При выполнении структурного анализа на структурной схеме среди звеньев, наиболее удаленных от входного звена, отыскивается группа Ассура, которую можно отсоединить без нарушения строения оставшихся звеньев механизма. Эту группу изображают отдельно. Среди оставшихся звеньев отыскивают следующую удаленную от входного звена группу Ассура, также изображая ее отдельно. Таким образом, находят все группы Ассура, пока не останется одно входное звено – начальный механизм.

Структурная схема механизма – графическое изображение механизма, выполненное с использованием условных обозначений, рекомендованных ГОСТом или принятых в специальной литературе, содержащее информацию о числе и расположении элементов (звеньев, групп), а также о виде и классе кинематических пар (КП), соединяющих эти элементы.

Основные понятия структурного синтеза и анализа. Структурная формула кинематической цепи связывает число степеней свободы (т.е. число независимых движений) с числом и видом кинематических пар в данной кинематической цепи. Основные структурные формулы были составлены для плоских механизмов П.Л. Чебышевым (1879-1962) и М. Грюблером (1851-1935), для пространственных – И.И. Сомовым (1815-1876) и А.П. Малышевым (1879-1962). Так как принципы, заложенные в построение всех этих формул одинаковы, то их можно записать в обобщенном виде:

.

где H – число степеней подвижности твердого тела (соответственно при рассмотрении механизма в пространстве H = 6, на плоскости H = 3);

n – число подвижных звеньев в механизме; n = k – 1;

k – общее число звеньев механизма (включая и неподвижное звено – стойку);

i – число подвижностей в КП (от 5 до 1);

p_i – число кинематических пар с i подвижностями.

В плоском механизме все звенья движутся в одной плоскости, все оси параллельны друг другу и перпендикулярны плоскости механизма.

Формула Чебышева:

W = 3n – 2p_н – p_в,

где р_н – число низших КП (5-го класса);

р_в – число высших КП (4-го класса).

В качестве примера вычислим степень подвижности кривошипно-ползунного механизма, изображенного на рис. 3.3.3. Здесь n =3, p_н = 4, p_в = 0, W = 3×3 – 2×2 = 1.

Для расчета избыточных связей, согласно второму определению, используется следующая зависимость:

q = W₀ + W_м – W,

где q – число избыточных связей в механизме;

W₀ – заданная или требуемая подвижность механизма;

W_м – число местных подвижностей в механизме;

W – расчетная подвижность механизма.

Структурная классификация механизмов по Л.В. Ассуру. Для решения задач синтеза и анализа сложных рычажных механизмов профессором Петербургского университета Л.В. Ассуром (1978-1920) была предложена оригинальная структурная классификация. По этой классификации механизмы, не имеющие избыточных связей и местных подвижностей, состоят из первичных механизмов и структурных групп (рис. 3.3.4).

Рис. 3.3.4

Под первичным механизмом понимают механизм, состоящий из двух звеньев (одно из которых неподвижное), образующих кинематическую пару с одной W_пм = 1 или несколькими W_пм > 1 подвижностями. Примеры первичных механизмов даны на рис. 3.3.5.

Структурной группой Ассура (или группой нулевой подвижности) называется незамкнутая кинематическая цепь, образованная только подвижными звеньями механизма, подвижность которой при присоединении ее внешних пар к стойке равна нулю (W_гр = 0).

Конечные звенья групп Ассура, входящие в две кинематические пары, из которых одна имеет свободный элемент звена, предназначенного для присоединения группы к звеньям механизма, называются поводками.

Группы могут быть различной степени сложности. Структурные группы Ассура делятся на классы, числа поводков в группе, числа замкнутых контуров внутри группы. В пределах класса (по Ассуру) группы подразделяются по числу поводков на порядки (порядок группы равен числу ее поводков). Механизмы классифицируются по степени сложности групп входящих в их состав. Класс и порядок механизма определяется классом и порядком наиболее сложной из входящих в него групп. Особенность структурных групп Ассура – их статическая определимость. Если группу Ассура свободными элементами звеньев присоединить к стойке, то образуется статически определимая ферма. Используя группы Ассура, удобно проводить структурный, кинематический и силовой анализы механизмов. Наиболее широко применяются простые рычажные механизмы, состоящие из групп Ассура 2-го класса 2-го порядка (рис. 3.3.6). Число разновидностей таких групп для плоских механизмов с низшими парами невелико, их всего пять.

1. Группа 1-го вида – все пары вращательные.

2. Группа 2-го вида – на конце одного из звеньев поступательная пара.

3. Группа 3-го вида – в середине поступательная пара.

4. Группа 4-го вида – на конце обоих звеньев поступательные пары.

5. Группа 5-го вида – в середине и на конце одного из звеньев поступательная пара.

Рис. 3.3.6

Пример. Выполните структурный анализ механизма шарнирного четырехзвенника (четырехшарнирный механизм) (рис. 3.3.7).

Рис. 3.3.7

1. Определим степень подвижности механизма:

W = 3n – 2p_н – p_в = 3·3 – 2·4 – 0 = 1.

2. Выделим группы Ассура (последние два звена и три кинематические пары) – группа II класса 1-го вида (II₁):

W = 3n –2p_н – p_в = 3·2 – 2·3 = 0.

3. Остается механизм I класса:

W = 3·1 – 2·1 = 1.

Данный механизм образован присоединением к механизму I класса группы Ассура II класса 1-го вида, т. е. весь механизм является механизмом II класса.

Структура механизма записывается в следующей форме: I ® II₁.

Основные виды плоских рычажных механизмов. Простейшие четырехзвенные плоские механизмы состоят из одного неподвижного звена (стойки) и трех подвижных звеньев (рис. 3.3.8, а – д).

Рис. 3.3.8. Рычажные механизмы:

а – кривошипно-ползунный механизм; б – четырехшарнирный механизм; в – четырехзвенный кулисный механизм; г – синусный механизм; д – тангенсный механизм; е – шестизвенный кулисный механизм: 1 – кривошип, 2 – шатун, 3 – коромысло

Если все пары вращательные, то механизм называется шарнирным четырехзвенником.

Кривошип – звено, которое совершает полный оборот вокруг оси вращения.

Коромысло – звено, которое совершает вращательное движение на неполный оборот.

Шатун – звено, совершающее плоскопараллельное движение.

Если звено 3 соединить со стойкой поступательной парой, то оно будет называться ползуном, а весь механизм – кривошипно-ползунным (рис. 3.3.8, а).

Ползун – звено, которое совершает возвратно-поступательное движение.

В том случае, если поступательная пара находится между звеньями 2 и 3, т. е. звено 2 перемещается по подвижной направляющей, механизм называется кулисным (рис. 3.3.8). Если коромысло служит подвижной направляющей для ползуна, то его называют кулисой, а ползун – кулисным камнем.

Более сложные плоские кулисные механизмы образуются присоединением структурных групп различных видов, которые были рассмотрены выше (рис. 3.3.8, е).

Тема 3. Кинематический анализ механизмов

Кинематический анализ.Кинематическое исследование механизма состоит в изучении движения звеньев без учета сил, действующих на эти звенья, при заданном движении ведущего звена.

Кинематический анализ выполняется по кинематической схеме механизма. Он состоит в определении кинематических характеристик:

- перемещений звеньев и траекторий, описываемых характерными точками звеньев;

- линейных скоростей и ускорений точек звеньев механизма;

- угловых скоростей и угловых ускорений звеньев механизма.

Кинематический анализ позволяет установить соответствие кинематических параметров (перемещений, скоростей и ускорений) заданному закону движения механизма, а также получить исходные данные для выполнения динамического анализа. По полученным кинематическим характеристикам определяют инерционные нагрузки звеньев, кинетическую энергию механизма, закон движения ведущего и ведомых звеньев в функции времени.

Кинематическое исследование механизмов проводят графическими и аналитическими методами. Графическое определение кинематических параметров основано на геометрических построениях, погрешность результатов которых составляет 0,3–0,5 % по сравнению с аналитическими расчетами.

Графический метод нагляден и универсален, так как позволяет определять положения, скорости и ускорения звеньев механизма любой структуры. Метод построения планов скоростей и ускорений применяется при инженерных расчетах как при анализе, так и при синтезе механизмов. Графический метод построения кинематических диаграмм позволяет использовать при анализе заданные в виде графиков законы изменения кинематических параметров в функции обобщенных координат j и t. Точность графических методов достаточна для выполнения технических расчетов. Графические методы не могут быть использованы, если требуется проводить расчеты с высокой точностью. Применение ЭВМ при аналитическом исследовании упрощает выполнение сложных и трудоемких вычислений.

При кинематическом исследовании различают абсолютное и относительное движения звеньев и кинематических пар механизма и соответствующие им кинематические характеристики.

Абсолютное движение – движение точки или тела относительно неподвижной системы координат, связанной с не подвижными стойкой или корпусом.

Относительное движение– движение точки или звена относительно подвижной системы координат, которая связана с каким-либо движущимся звеном. Движение подвижной системы координат относительно неподвижной системы координат называется переносным движением.

Перемещение (как скалярная величина) – мера пути, пройденного точкой или звеном за некоторое время: линейное перемещение (S) измеряется в метрах, угловое (j) – в градусах или радианах.

Угол в 1 рад соответствует центральному углу окружности, длина дуги которой равна ее радиусу. В окружности 2p таких отрезков, поэтому 1 рад = 360/(2p) = 57,3°.

Скорость – основная кинематическая характеристика (векторная величина) – мера быстроты движения, характеризующая перемещение точки в рассматриваемый момент времени (в рассматриваемом положении) в данной системе отсчета. Линейная скорость (V) измеряется в м/с, угловая (w) – в с^–1.

Ускорение (векторная величина) – мера быстроты изменения скорости в данный момент в данной системе отсчета. Размерность линейного ускорения а (м/с²), углового e (с^–2).

Из теоретической механики известна теорема сложения скоростей:

Вектор абсолютной скорости точки В звена равен геометрической сумме вектора скорости произвольно выбранной точки А звена и вектора скорости во вращательном движении относительно этой точки.

Это уравнение для точки В звена (рис. 3.3.9, а) имеет вид

.

Рис. 3.3.9

Вектор скорости известен по величине и направлению.

Вектор линейной скорости точки звена во вращательном движении направлен в сторону движения звена (по угловой скорости со звена) по касательной к траектории, т.е. перпендикулярно звену ВА (BА).

Вектор абсолютного ускорения точки В звена равен геометрической сумме вектора ускорения произвольно выбранной точки А и вектора ускорения во вращательном движении относительно этой точки (рис. 3.3.9, б).

,

где – соответственно относительное нормальное (центростремительное) и касательное (тангенциальное) ускорения во вращательном движении.

Нормальное ускорение направлено по радиусу вращения точки к центру кривизны траектории (вдоль звена от точки В к точке А), а касательное ускорение направлено перпендикулярно звену АВ в сторону углового ускорения е звена (см. рис. 3.3.9, б).

Направление угловой скорости w и углового ускорения e совпадают при равноускоренном движении звена и противоположны друг другу при равнозамедленном движении.

При поступательном движении звена векторы абсолютных скоростей и абсолютных ускорений всех точек звена равны и направлены по касательной к траектории движения. Направление векторов скоростей совпадает с направлением движения, а для ускорений при ускоренном движении эти векторы направлены в сторону движения, при замедленном – в обратную сторону (рис. 3.3.9, в).

Планы положений механизма. Планом положений механизма называется графическое изображение кинематической схемы в выбранном масштабе, соответствующее заданному положению начального звена.

Планы строятся в заданном масштабе. При этом различают понятия «масштаб» и «масштабный коэффициент».Масштабом физической величины называют длину отрезка в миллиметрах, изображающую единицу измерения этой величины. Масштабным коэффициентом физической величины называют отношение численного значения физической величины к длине отрезка в миллиметрах, изображающего эту величину. Масштаб и масштабный коэффициент являются взаимно обратными величинами. Масштабные коэффициенты обозначают буквой m с индексом, указывающим, к какой величине они относятся. Например, масштабный коэффициент длин (m_l) для плана механизма есть отношение какой-либо длины (l_AB) в метрах к отрезку (АВ), изображающему эту длину на чертеже в миллиметрах:

.

Рассмотрим построение планов механизма на примерах.

1. Шарнирный четырехзвенник (рис. 3.3.10). Кривошип ОА вращается с постоянной скоростью w, поэтому положение точки А известно для любого момента времени (любого угла поворота звена ОА).

Рис. 3.3.10

Делим окружность радиуса ОА на несколько равных частей, например, на 6. Обозначим положения конца кривошипа точками А₁, А₂, …, А₆.

Точка В (конец коромысла) движется по дуге окружности радиуса СВ. Проведем эту дугу из центра – точки С.

Радиусом, равным длине шатуна АВ, делаем из точек А₁, A₂, ... A₆ засечки на дуге окружности.

Соединяем одноименные положения точек А₁ и В₁, А₂ и В₂, а также В₁ и С₁, В₂ и С₂. Получаем положения шатуна и коромысла за цикл движения, т. е. за один оборот кривошипа. Вращение коромысла против часовой стрелки соответствует положениям рабочего хода, по часовой стрелке – положениям холостого хода.

2. Кривошипно-ползунный механизм (рис. 3.3.11). Задаемся крайним положением кривошипа (кривошип и шатун располагаются на одной линии).

Рис. 3.3.11

Делим окружность радиуса ОА на равные части. Из точек деления (А₁, А₂, ...) делаем засечки на оси движения ползуна (В₁, В₂, ...) радиусом, равным длине шатуна. Найденные положения точки В определяют положение поршня (ползуна) на рабочем ходу – В₁, В₂, В₃; на холостом ходу – В₄, В₅. Соединяем одноименные точки (А₁ и B₁, A₂ и В₂ и т.д.).

Планы скоростей плоских механизмов. Планом скоростей называют чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и по направлению скоростям различных точек механизма в данном положении.

Для построения плана скоростей необходимы исходные данные:

- план механизма с указанием размеров;

- угловая скорость начального звена.

Из теоретической механики известно, что любое движение плоского тела может рассматриваться как сумма двух движений: вращение относительно некоторой точки (полюса) и поступательное (переносное) движение полюса. Используя этот принцип, рассмотрим решение задач о скоростях точек звеньев, образующих пары 5-го класса.

Пример. Определение скоростей точек звена, входящего во вращательную пару с другим звеном (рис. 3.3.12).

Пусть заданы: – вектор скорости точки А (см. рис. 3.3.12, а); w_АВ – угловая скорость звена АВ.

Требуется определить: скорости точек В и С (V_B, V_С ).

В соответствии с теоремой сложения скоростей, абсолютная скорость (V_B) точки равна геометрической сумме переносной (V_A) и относительной (V_ВА) скоростей этой точки:

, (3.3.1)

где V_BA = w_AB l_AB – относительная скорость точки В во вращательном движении вокруг точки А; вектор V_BA направлен перпендикулярно звену АВ (т. е. радиусу вращения).

2. Аналогично

, (3.3.2)

где V_CA = w_AB l_AC; вектор этой скорости направлен перпендикулярно звену АС (V_CA ^ AC).

3. Построим векторные уравнения (3.3.1) и (3.3.2).

Выбираем произвольную точку р – полюс плана скоростей и откладываем в направлении вектора V_A отрезок произвольной длины ра (см. рис. 3.3.12, б). При этом определяем значение масштабного коэффициента плана скоростей:

m_у = V_А/ра. (3.3.3)

Строим вектор . Из точки а проводим прямую, перпендикулярную аb, и откладываем отрезок аb в масштабе, учитывая при этом направление угловой скорости w_АВ:

. (3.3.4)

Суммарный вектор – абсолютная скорость точки В – определится отрезком рb:

. (3.3.5)

Аналогично находим скорость точки с: из точки а в направлении, перпендикулярном ас, откладываем относительную скорость с учетом масштабного коэффициента:

ac = w_ABl_AC /m_V. (3.3.6)

Соединяем полюс с полученной на плане скоростей точкой с. Измерив на плане величину отрезка рс, находим значение абсолютной скорости точки с:

(3.3.7)

Скорость точки С можно определить, приняв движение точки в за переносное:

(3.3.8)

На плане скоростей вектор pb изображает скорость точки в; относительная скорость V_cb – это вектор bc , направленный перпендикулярно стороне звена ВС (см. рис. 3.3.12, а). Соединив точки b и с, получим на плане скоростей графическое изображение уравнения (3.3.8).

Сравнивая треугольники ABC и аbс на рис. 3.3.12, можно заметить, что эти фигуры подобны и сходственны, т. к. стороны их взаимно перпендикулярны и отрезки ab, ас, bс пропорциональны длинам сторон звена АВ, АС, ВС.

Выводы:

1. На плане скоростей лучи, выходящие из полюса, изображают абсолютные скорости точек звена, а отрезки, соединяющие концы лучей, – относительные скорости соответствующих точек.

2. Векторы относительных скоростей направлены на плане скоростей к первой букве индекса. Например, V_CB – скорость точки С относительно В. На плане скоростей читается наоборот: отрезок bc , а вектор направлен к точке с.

3. Векторы относительных скоростей точек жесткого звена образуют на плане скоростей фигуру, подобную этому звену, повернутую на 90° в направлении угловой скорости звена.

Последний вывод называется принципом подобия в плане скоростей и позволяет определить скорость любой точки звена графически, если известны скорости хотя бы двух точек этого звена.

Планы ускорений плоских механизмов.Чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и направлению ускорениям различных точек звеньев механизма в данном положении, называется планом ускорений.

Рассмотрим решение двух задач об определении ускорений точек звеньев, образующих кинематические пары 5-го класса, аналогично решению задач о скоростях.

Пример. Определите ускорение точек звена, входящего во вращательную пару (рис. 3.3.13).

При построении плана ускорений считается, что все скорости известны, т. е. план скоростей механизма для данного положения уже построен.

– ускорение точки А; – угловое ускорение звена ABC.

Решение.

1. Абсолютное ускорение точки В складывается из переносного ускорения () и относительного ускорения () во вращательном движении точки В вокруг А (см. рис. 3.3.13, а):

. (3.3.9)

2. Поскольку относительное движение вращательное, выражение (3.3.9) можно записать в виде

, (3.3.10)

где – нормальное ускорение в относительном движении, направленное по радиусу вращения (АВ) к центру вращения (точке А);

– касательное ускорение в относительном движении, направленное перпендикулярно радиусу вращения.

3. Построим уравнение (3.3.10) в виде суммы векторов (см. рис. 3.3.13, б). Выбираем точку p – плюс плана ускорений. Откладываем из полюса вектор отрезка произвольной длины pа, направленного параллельно вектору . Определяем масштабный коэффициент:

m_а = а_А/pа. (3.3.11)

Из точки а откладываем в направлении к центру вращения с учетом масштаба вектор нормального ускорения (an÷ïBA). Величина отрезка an определяется соотношением

. (3.3.12)

От полученной точки n в направлении, перпендикулярном АВ, откладываем отрезок nb, изображающий в масштабе касательную, составляющую относительного ускорения:

. (3.3.13)

Направление вектора nb определяется с учетом направления углового ускорения (в данном примере – вниз).

Соединяя точку п с точкой b, получаем результирующий вектор, который изображает абсолютное ускорение точки В (см. уравнение (3.3.10)):

. (3.3.14)

Аналогично строятся векторные уравнения для точки С (см. рис. 3.3.13):

; (3.3.15)

. (3.3.16)

4. Определим значения полных относительных ускорений:

. (3.3.17)

5. С учетом известных из теоретической механики формул (см. значения величин, входящих в уравнение (3.3.10))

. (3.3.18)

Аналогично

; (3.3.19)

. (3.3.20)

6. Определим тангенс угла, определяющего направление полного относительного ускорения (см. рис. 3.3.12, а):

. (3.3.21)

Из формулы (3.3.21) следует, что tgj не зависит от того, какая точка звена рассматривается, и одинаков для всех относительных ускорений.

Из выражений (3.3.18) – (3.3.21) следует, что относительные ускорения точек звена ABC пропорциональны длинам сторон и повернуты на один и тот же угол. Следовательно, Dabc в плане ускорений и DАВС (жесткое звено) подобны и сходственны.

Этим определяется принцип подобия в плане ускорений.

Векторы относительных ускорений точек жесткого звена образуют на плане ускорений фигуру, подобную этому звену и повернутую относительно его на угол (180° – j) в направлении углового ускорения.

Зная относительные ускорения хотя бы двух точек звена, можно определить ускорение любой точки этого звена, пользуясь принципом подобия.

Тема 4. Силовой анализ и расчет механизмов

Задачи и методы силового анализа. Силовой анализ – это изучение влияния внешних сил на звенья механизма, на кинематические пары и на неподвижные опоры.

Исследование действия сил необходимо для того, чтобы можно было рассчитать звенья на прочность, износостойкость, виброустойчивость, чтобы определить необходимую мощность привода.

В результате силового анализа можно определить пути уменьшения динамических нагрузок и спроектировать машину так, чтобы она имела достаточную прочность при меньших габаритах и массе.

Если звенья в процессе работы движутся неравномерно, то, кроме внешних сил, на них действуют еще и силы инерции. Величина сил инерции зависит от ускорения, а значит, от закона движения начального звена.

Классификация сил, действующих в механизмах. Все силы, действующие в механизмах, условно подразделяются на:

1. Внешние силы – силы, действующие на исследуемую систему со стороны внешних систем и совершающие работу над системой. Эти силы в свою очередь подразделяются на:

- движущие – силы, работа которых положительна (увеличивает энергию системы);

- сопротивления – силы, работа которых отрицательна (уменьшает энергию системы). Силы сопротивления делятся на:

- силы полезного (технологического) сопротивления – силы, возникающие при выполнении механической системы ее основных функций (выполнение требуемой работы по изменению координат, формы или свойств изделия и т.п.);

- силы трения (диссипативные) – силы, возникающие в месте связи в КП и определяемые условиями физико-механического взаимодействия между звеньями (работа всегда отрицательна);

- взаимодействия с потенциальными полями (позиционные) – возникают при размещении объекта в потенциальном поле, величина зависит от потенциала точки, в которой размещается тело (работа при перемещении из точки с низким потенциалом в точку с более высоким – положительна; за цикл, т.е. при возврате в исходное положение, работа равна нулю). Потенциальное поле – силы тяжести или веса. Существуют электромагнитные, электростатические и другие поля.

2. Внутренние силы– силы, действующие между звеньями механической системы. Работа этих сил не изменяет энергии системы. В механических системах эти силы называются реакциями в КП.

3.Расчетные (теоретические) силы– силы, которые не существуют в реальности, а только используются в различных расчетах с целью их упрощения:

- силы инерции – силы, предложеннеы Даламбером для силового расчета подвижных механических систем. При добавлении этих сил к внешним силам, действующим на систему, устанавливается квазистатическое равновесие системы и ее можно рассчитывать, используя уравнения статики (метод кинетостатики);

- приведенные (обобщенные) силы – силы, совершающие работу по обобщенной координате равную работе соответствующей реальной силы на эквивалентном перемещении точки ее приложения.

Необходимо отметить, что под силами понимаются равнодействующие соответствующих распределенных в месте контакта КП нагрузок. Все вышесказанное относительно сил распространяется и на моменты сил.

Силовой расчет типовых механизмов. Постановка задачи силового расчета: для исследуемого механизма при известных кинематических характеристиках и внешних силах необходимо определить уравновешивающую силу или момент (управляющее силовое воздействие) и реакции в кинематических парах механизма.

Виды силового расчета:

- статический – расчет, производимый для механизмов, находящихся в покое или движущихся с малыми скоростями, когда инерционные силы пренебрежимо малы, или в случаях, когда неизвестны массы и моменты инерции звеньев механизма (на этапах, предшествующих эскизному проектированию);

Уравнения статического равновесия:

где F_i – внешние силы, приложенные к механизму или его звеньям;

M_i – внешние моменты сил, приложенные к механизму или его звеньям.

- кинетостатический – для движущихся механизмов при известных массах и моментах инерции звеньев, когда пренебрежение инерционными силами приводит к существенным погрешностям; реакции в кинематических парах определяются в соответствии с принципом Даламбера: механическая система условно считается находящейся в равновесии, если к системе внешних сил добавлены силы инерции и их моменты. Это позволяет определять реакции в КП механизма, используя уравнения статики теоретической механики.

Уравнения кинетостатического равновесия:

,

где F_i, M_i – внешние силы и моменты пар сил, приложенные к i-му звену;

F_иi – инерционные силы, приложенные к звеньям;

M_иi – моменты сил инерции, приложенные к звеньям.

Кинетостатический расчет с учетом трения может быть проведен, когда определены характеристики трения в КП и размеры элементов пар.

Следует, однако, помнить, что звенья реального механизма находятся в движении и, следовательно, в действительности никакого равновесия нет, поэтому принцип Даламбера следует рассматривать как расчетный прием.

Для того чтобы воспользоваться методом кинетостатики при силовом расчете, необходимо определить силы инерции. Как известно из теоретической механики, элементарные силы инерции можно привести к главному вектору F_и и главному моменту М_и:

где m – масса звена;

а_s – ускорение центра масс;

e – угловое ускорение звена;

J_s – момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (сокращенно – осевой момент инерции).

Знак «минус» в формулах означает, что сила инерции направлена против ускорения (момент сил – против углового ускорения).

Следует отметить, что главный вектор и главный момент сил инерции не имеют физического содержания и в действительности к звену эти силы не приложены. Они входят в уравнения кинетостатики как чисто математические величины, посредством которых учитывается влияние ускоренного движения звеньев, и условно относятся к разряду внешних сил.

В частных случаях плоское движение может быть вращательным или поступательным, при этом возникает только момент сил инерции (вращение звена с ускорением) или же только сила инерции (поступательное неравномерное движение).

Поступательное движение звена.Прямолинейное, возвратно-поступательное движение совершают поршни, ползуны, золотники, клапаны, иглы в швейных машинах. Главный вектор сил инерции (F_и) приложен в центре масс (S) звена.

Плоскопараллельное движение звена. Этот вид движения совершают в машинах различного рода шатуны, перекатывающиеся рычаги и т. п. Движение звена может быть представлено как суперпозиция двух независимых элементарных движений – поступательного с ускорением (a_s) центра масс и вращательного вокруг центра масс (S) с угловым ускорением (e). Силы инерции приводятся к двум составляющим: главному вектору (F_и), приложенному в центре масс (S), и главному моменту сил инерции (М_и), направленному против углового ускорения e звена. Для удобства расчетов при графическом методе две векторные величины F_и и М_и приводят к одной приведенной силе инерции .

Вращательное движение звена. Случай неуравновешенных звеньев. К звеньям этого типа относятся те части машин, которые совершают вращательные движения, но общий центр тяжести не лежит на оси вращения. Это различного рода кривошипы, поводки, кулисы, неравноплечие коромысла и т. п. К звену приложены главный вектор силы инерции (F_и) в центре тяжести (S) звена и главный момент силы инерции (М_и).

Частные случаи вращения:

1. w = const (равномерное вращение), тогда М_и = 0, .

2) w = 0,e ¹ 0 – случай начала движения или остановки, а также случай мертвых положений при качательном движении звена механизма; тогда F_и = ma_s = meL; M_и = J_se = mw²l.

Случай уравновешенных звеньев.Это звенья, центр тяжести которых находится на оси вращения. К ним относятся роторы электрических машин, диски и рабочие колеса турбин, шкивы, маховики, зубчатые колеса, барабаны и т. п. Ускорение центра масс равно нулю (a_s = 0), т. е. F_и = 0. Весь динамический эффект сводится к главному моменту сил инерции: M_и = J_se ¹ 0М. При этих условиях будут отсутствовать изгиб вала и нагрузка на подшипники. На валу остается динамическая нагрузка на кручение от момента (М_и). Частные случаи вращения:

1. w = const, e = 0 (равномерное вращение), тогда F_и = 0, М_и = 0 – никакого внешнего динамического эффекта не будет.

2. w = 0, e ¹ 0 (начальное движение или мертвые положения), тогда F_и = 0, М_и ¹ 0.

Силы в кинематических парах плоских механизмов (без учета трения). Плоская кинематическая цепь может состоять из кинематических пар 5-го класса (вращательных, поступательных) и пар 4-го класса (высших, у которых звенья соприкасаются в точке).

Как известно из теоретической механики, сила взаимодействия двух соприкасающихся тел при отсутствии трения направлена по общей нормали к их поверхности. Сила, как векторная величина, характеризуется относительно звеньев механизма тремя параметрами: координатами точки приложения, величиной и направлением. Рассмотрим с этих позиций реакции в кинематических парах плоских механизмов.

1. Поступательная кинематическая пара.

В поступательной кинематической паре связи, наложенные на относительное движение звеньев, запрещают относительное поступательное движение по оси y и относительное вращение. Заменяя эти связи реакциями, получим реакцию F_ij и реактивный момент M_ij (рис. 3.3.14).

При силовом расчете поступательной кинематической пары определяются:

- реактивный момент M_ij;

- величина реакции F_ij.

Известны: точка приложения силы – геометрический центр кинематической пары (A_1п) и направление – нормаль к контактирующим поверхностям звеньев. Число связей в кинематической паре (S^пл) равно 2, подвижность звеньев в кинематической паре (W^пл) равна 1, число неизвестных при силовом расчете (n_s) равна 2.

2. Вращательная кинематическая пара.

Во вращательной кинематической паре связи, наложенные на относительное движение звеньев, запрещают относительное поступательное движение по осям y и x. Заменяя эти связи реакциями, получим реакцию F_ij (рис. 3.3.15).

При силовом расчете поступательной кинематической пары определяются:

- направление реакции F_ij;

- величина реакции F_ij;

Известны: точка приложения силы – геометрический центр кинематической пары (B_1В)_.. Число связей в КП (S^пл) равно 2, подвижность звеньев в кинематической паре (W^пл) равна 1, число неизвестных при силовом расчете (n_s) равно 2.

3. Высшая кинематическая пара.

В высшей паре связи, наложенные на относительное движение звеньев, запрещают движение в направлении нормали к контактирующим поверхностям (ось y). Заменяя эту связь реакцией, получим реакцию F_ij (рис. 3.3.16).

Если известны точка приложения силы – точка контакта рабочих профилей кинематической пары (С_2вп); направление вектора силы – контактная нормаль к профилям, то число связей в кинематической паре (S^пл) равно 1, подвижность звеньев в кинематической паре (W^пл) равна 2, число неизвестных при силовом расчете (n_s) равно 1.

В общем случае плоская кинематическая цепь содержит Р₅ пар 5-го класса (низших) и Р₄ пар 4-го класса (высших), поэтому общее число неизвестных равно

N_H = 2P₅ + P₄. (3.3.22)

Для определения числа неизвестных, а следовательно, и числа независимых уравнений при силовых расчетах необходимо провести структурный анализ механизма и определить число и классы кинематических пар, число основных подвижностей механизма, число избыточных связей. Чтобы силовой расчет можно было провести, используя только уравнения кинетостатики, необходимо устранить в нем избыточные связи. В противном случае, к системе уравнений кинетостатики необходимо добавить уравнения деформации звеньев, необходимые для раскрытия статической неопределимости механизма. Так как каждая связь в КП механизма соответствует одной компоненте реакции, то число неизвестных компонент реакций равно суммарному числу связей накладываемых КП механизма. Уравновешивающая сила или момент должны действовать по каждой основной подвижности механизма. Число уравнений статики для каждого звена плоского механизма равно 3, значит, общее число уравнений для n подвижных звеньев запишем в следующем виде:

N_у = 3n. (3.3.23)

Чтобы система была статически определимой, число уравнений (N_у) должно быть равно числу неизвестных (N_H). Приравниваем уравнения (3.3.22) и (3.3.23), после чего получаем:

3n = 2Р₅ + Р₄; 3n – 2Р₅ – Р₄ = 0. (3.3.24)

Если заменить высшие пары низшими, то получим

3n – 2Р₅ = 0.

Из этого можно сделать вывод, что группы Ассура являются статически определимыми.

Из выражения (3.3.24) определяем соотношение между числом звеньев и числом кинематических пар 5-го класса:

.

На основании вышеизложенного формулируется общая методика силового анализа: расчет следует проводить по структурным группам, начиная с наиболее удаленной от начального звена и заканчивая начальным звеном (механизмом I класса). Таким образом, силовой расчет проводится в порядке, обратном кинематическому.

Графический метод кинетостатического анализа рычажных механизмов. Графическое определение реакций или динамических давлений в кинематических парах плоских рычажных механизмов методом планов сил относится к задаче кинетостатического расчета механизмов. Исходными данными являются:

1. Кинематическая схема механизма.

2. Массы и моменты инерции звеньев относительно центров масс, положение центров масс.

3. Угловая скорость (w₁) и угловое ускорение (e₁) входного звена.

4. Сила (F_c) или момент сопротивления (М_с), приложенные к ведомому звену.

5. Силы тяжести всех звеньев.

При решении задач кинетостатики связанных систем применение принципа Даламбера производится совместно с принципом освобождаемости: т.е., не нарушая движения или покоя системы, отбрасываются отдельные связи и прикладываются к системе соответствующие этим связям реакции.

Совместное применение принципа Даламбера и принципа освобождаемости приводит к следующим уравнениям кинетостатики для каждой из групп Ассура:

(3.3.25)

(3.3.26)

где F_i, M_i – внешние силы и моменты сил, действующие на звенья структурной группы;

F_и, М_и – главные векторы и главные моменты сил инерции звеньев;

– реакции связей;

М₀(F_i), М₀(F_и), М₀(), – моменты перечисленных групп сил каждого звена.

Центр приведения выбирается из удобства расчетов, чаще всего относительно внутреннего шарнира структурной группы.

Векторное уравнение (3.3.25) заменяет два алгебраических уравнения равенства нулю суммы проекций сил на оси х и у, оно решается методом построения плана сил.

При обозначении реакций применяют систему двойных индексов, например, R₂₁. Первый индекс обозначает номер звена, к которому приложена реакция, второй индекс – номер звена, отброшенного от рассматриваемого звена и замененного реакцией (т. е. звена 1, действующего на звено 2).

При силовом анализе используют третий закон Ньютона: действие силы всегда сопровождается равным ей противодействием, т, е. силы, с которыми два тела (звена) действуют друг на друга, всегда равны по величине и направлены в противоположные стороны:

.

Большинство многозвенных плоских рычажных механизмов образовано наслоением двухповодковых групп Ассура, которые имеют три наиболее часто встречающиеся вида.

1. Двухповодковая группа с вращательными кинематическими парами.

2. Двухповодковая группа с двумя вращательными парами и одной внешней поступательной парой.

3. Двухповодковая группа с двумя вращательными кинематическими парами и одной внутренней поступательной парой.

Силовой расчет начального звена. Для того чтобы привести механизм в движение и выполнить полезную работу, необходимо выбрать мощность двигателя, которая обеспечила бы вращение начального звена с определенной скоростью. При постоянной скорости вращения движущая сила (момент сил) должна уравновешивать все силы, приложенные к начальному звену. Поэтому в задачу силового расчета начального звена, кроме определения реакций, входит еще и определение внешнего силового фактора. Если передача энергии осуществляется через зубчатый редуктор, то внешний силовой фактор представляет собой силу (F_y), действующую по нормали к рабочей поверхности зуба (рис. 3.3.17, а). В соответствии с геометрией стандартных зубчатых колес нормаль в точке касания зубьев образует угол a = 20° с перпендикуляром к межосевому расстоянию.

Рис. 3.3.17. Силовой анализ начального звена:

а – расчетная схема при передаче энергии через редуктор; б – план сил; в – расчетная схема при передаче энергии через муфту

Кроме уравновешивающей силы (F_y), на начальное звено действуют реакции со стороны отброшенного звена 2 (F₂₁), а также реакция стойки (F₀₁).

Как было упомянуто выше, F₂₁ = – F₁₂. Сила F₁₂ определена предыдущим расчетом структурной группы. Таким образом, имеются неизвестная по величине и по направлению сила F₀₁ и неизвестная по величине сила F_y.

 

Сила F_y определяется из уравнения

, (3.3.27)

откуда:

где – момент силы F₂₁ относительно точки О;

h_y – плечо силы F_y (см. рис. 3.3. 17, а).

Реакция стойки определяется из уравнения:

. (3.3.28)

Строим векторное уравнение в виде плана сил, замыкающая сторона треугольника изображает реакцию F₀₁ стойки (рис. 3.3.17, б).

В том случае, если передача энергии осуществляется через муфту, внешний силовой фактор представляет собой момент М_у (рис. 3.3.21, в). Отброшенное звено 2 заменяем реакцией F₂₁. Если на звено 1 не действуют никакие другие силы, то F₀₁ = –F₂₁, М_у = M₀(F₂₁).

Определение уравновешивающей силы методом Жуковского.При определении мощности двигателя, расчете маховика на ведущем валу и в других подобных задачах необходимо знать только уравновешивающую силу, приложенную к начальному звену. Реакции в кинематических парах при этом определять не требуется. В таких случаях применяется метод Жуковского. Теорема Жуковского основана на известном из теоретической механики принципе возможных перемещений: сумма элементарных работ внешних сил на их возможных перемещениях равна нулю.

Пусть F₁, F₂, ..., F_n – внешние силы и силы инерции, приложенные к звеньям механизма; dS₁, dS₂, ..., dS_n – проекции элементарных перемещений на направления соответствующих сил.

Тогда на основании принципа возможных перемещений запишем

Для определения элементарной работы силы на ее элементарном перемещении рассмотрим звено АВ, в точке S которого приложена сила F_i под углом j к скорости точки S (рис. 3.3.18, а).

Строим план скоростей в масштабе m_V, считая, что скорости точек V_A и V_B известны. Скорость точки S определяем по принципу подобия (рис. 3.3.18, б).

Силу F_i повернем на 90° в любую сторону и перенесем на план скоростей в точку S. Плечо этой силы относительно полюса обозначи