ПРИКЛАДНА ТЕОРІЯ ЦИФРОВИХ АВТОМАТІВ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

 

 

ЩЕРБАКОВ А.Н., ПРОСКУРІН М.П., ГРУШКО С.С.

 

 

ПРИКЛАДНА ТЕОРІЯ ЦИФРОВИХ АВТОМАТІВ

 

ЧАСТИНА 1

КОМП’ЮТЕРНА АРИФМЕТИКА

 

ТЕКСТИ ЛЕКЦІЙ

для студентів усіх форм навчання спеціальностей

8.091501 - «Комп’ютерні системи і мережі» і

7.091503 - «Спеціалізовані комп’ютерні системи»

кафедри «Комп’ютерні системи і мережі»

 

 

 

 

ПРИКЛАДНА ТЕОРІЯ ЦИФРОВИХ АВТОМАТІВ (ПТЦА), частина 1 КОМП’ЮТЕРНА АРИФМЕТИКА. Тексти лекцій для студентів усіх форм навчання спеціальностей 8.091501 - «Комп’ютерні системи і мережі» і 7.091503 - «Спеціалізовані комп’ютерні системи» кафедри «Комп’ютерні системи і мережі»

/Укладачі: ЩЕРБАКОВ А.М., ПРОСКУРІН М.П., ГРУШКО С.С.- ЗАПОРІЖЖЯ: ЗНТУ, 2010.- 102с.

Видання друге на укр. мові, виправлене та доповнене.

 

Рекомендовано до видання НМК як тексти лекцій з дисципліни «Прикладна теорія цифрових автоматів», частина 1 «Комп’ютерна арифметика» для спеціальностей 8.091501 - «Комп’ютерні системи і мережі» і 7.091503 - «Спеціалізовані комп’ютерні системи» на засіданні кафедри «Комп’ютерні системи і мережі».

Протокол №3 від 09 грудня 2009.

 

Укладачі: А.Н. Щербаков, доцент, к.т.н.; М.П. Проскурін, доцент, к.т.н.; С.С. Грушко, асистент.

 

Рецензент: А.К. Тимовський, доцент, к.т.н.

 

Відповідальний за випуск: М.П. Проскурін, доцент, к.т.н.

 

 

Затверджений на засіданні кафедри

«Комп’ютерні системи і мережі

Протокол №3 від 09 грудня 2009.

 

ЗМІСТ

ВСТУП...................................................................................... 7

1 ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ І СКЛАД КОМП’ЮТЕРНИХ СИСТЕМ 9

1.1 Мета дисципліни............................................................ 9

1.2 Загальні визначення і математична модель цифрових автоматів 9

2 СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ................................................... 14

2.1 Огляд деяких систем числення.................................. 14

2.2 Система залишкових класів...................................... 16

3 ПОЗИЦІЙНІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ........................... 19

3.1 Представлення чисел в позиційних системах числення 19

3.2 Вибір системи числення комп’ютера........................ 21

3.2.1 Переваги двійкової системи.................................. 21

4 МЕТОДИ ПЕРЕКЛАДУ ЧИСЕЛ З ОДНІЄЇ ПОЗИЦІЙНОЇ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ В ІНШУ 24

4.1 Методи перекладу цілих чисел................................... 24

4.1.1 Метод підбору коефіцієнтів................................. 24

4.1.2 Метод ділення на основу нової системи............... 25

4.1.3 Метод ділення на основу в будь-якій позитивній степіні 25

4.1.4 Метод віднімання найближчих, менших степінних ваг 26

4.2 Переклад правильних дробів множенням на основу системи числення 26

4.3 Переклад неправильних дробів................................... 28

4.4 Переклад з 16-ої і 8-ої систем в 2-ву і навпаки......... 28

4.5 Переклад двійково-десяткових систем числення... 30

4.6 Форма представлення чисел в комп’ютері............... 30

5 ФОРМАТИ ПРЕДСТАВЛЕННЯ ЧИСЕЛ В КОМП’ЮТЕРІ 31

5.1 Представлення чисел з фіксованою комою (крапкою) 31

5.2 Представлення чисел у форматі з рухомою комою (ФРК) 32

5.3 Погрішності представлення чисел............................. 35

5.3.1 Абсолютна похибка представлення чисел DN...... 35

5.3.2 Відносна похибка представлення числа dN........... 35

6 БІНАРНА (ДВІЙКОВА) АРИФМЕТИКА....................... 36

7 КОДИ БІНАРНИХ ЧИСЕЛ............................................... 41

7.1 Прямий код числа........................................................ 41

7.2 Обернений код числа................................................... 42

7.3 Доповняльний код числа............................................ 43

7.4 Складання чисел, представлених у формі з фіксованою комою, на двійковому суматорі прямого коду............................................................................... 45

8 АЛГЕБРАЇЧНЕ СКЛАДАННЯ БІНАРНИХ ЧИСЕЛ... 46

8.1 Складання чисел на двійковому суматорі доповняльного коду 46

8.2 Складання чисел на суматорі оберненого коду...... 51

9 МОДИФІКОВАНІ БІНАРНІ КОДИ................................ 53

9.1 Переповнення розрядної сітки.................................... 53

9.1.1 Переповнення при складанні прямих кодів............ 53

9.1.2 Переповнення при складанні доповняльних кодів.. 54

9.1.3 Переповнення при складанні в обернених кодах.... 54

9.2 Модифіковане складання чисел у форматі з рухомою крапкою (комою) 58

10 СКЛАДАННЯ ЧИСЕЛ ПРИ РІЗНИХ ЗНАЧЕННЯХ ПОРЯДКІВ 61

10.1 Алгоритм операції складання у форматі з рухомою крапкою (комою) 61

11 МНОЖЕННЯ ДВІЙКОВИХ ЧИСЕЛ............................. 64

11.1 Методи множення бінарних чисел........................... 64

11.2 Множення чисел з фіксованою крапкою (комою) на ДСПК 68

11.2.1 Множення чисел з рухомою комою..................... 70

11.2.2 Особливі випадки при множенні.......................... 72

12 МНОЖЕННЯ ЧИСЕЛ НА ДСДК................................... 72

12.1 Множення чисел на ДСДК при позитивному множнику 72

12.2 Множення чисел на ДСДК при негативному множнику 73

13 МНОЖЕННЯ ЧИСЕЛ НА ДСОК.................................. 75

13.1 Множення чисел на ДСОК при позитивному множнику 75

13.2 Множення чисел на ДСОК при негативному множнику 76

14 ДІЛЕННЯ БІНАРНИХ ЧИСЕЛ...................................... 81

14.1 Методи ділення бінарних чисел............................... 81

14.1.1 Алгоритм ділення з відновленням залишку.......... 82

14.2 Ділення чисел з фіксованою комою з відновленням залишку 83

15 ДІЛЕННЯ ЧИСЕЛ З ФІКСОВАНОЮ КОМОЮ БЕЗ ВІДНОВЛЕННЯ ЗАЛИШКУ 86

15.1 Алгоритм ділення без відновлення залишку.......... 86

15.2 Ділення чисел з рухомою комою............................. 88

6 БІНАРНО – КОДОВАНІ ДЕСЯТКОВІ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ 89

16.1 Загальні вимоги до БКДС......................................... 89

16.2 Характеристики бінарно (двійково)-десяткових кодів 91

16.2.1 Код із природними вагами 8421.......................... 91

16.2.2 Код 8421+3 (код з надлишком 3)......................... 91

16.2.3 Код 2421................................................................ 91

16.2.4 Код 7421................................................................ 91

16.2.5 Код 5211................................................................ 92

16.2.6 Код 5421................................................................ 92

16.2.7 Код 8-4-21............................................................. 92

16.2.8 Код 2 з 5 (7421mod2)............................................ 92

16.2.9 Код 84-2-1............................................................. 93

16.3 Виконання операції додавання в кодах ДДК........ 93

16.3.1 Операція додавання в ДДК 8421.......................... 93

16.3.2 Операція додавання в ДДК 8421+3..................... 94

16.3.3 Операція додавання в ДДК 2421.......................... 95

17 АРИФМЕТИЧНІ ОПЕРАЦІЇ В СИСТЕМІ ЗАЛИШКОВИХ КЛАСІВ 96

17.1 Додавання чисел у СЗК............................................. 97

17.2 Вирахування чисел у СЗК........................................ 98

17.3 Множення чисел у СЗК.............................................. 98

17.4 Ділення чисел у СЗК................................................... 99

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАННЬ................................................... 101

 

ВСТУП

Поява електронних обчислювальних машин (ЕОМ) - це подія, яка ознаменувала початок другої промислової революції. Комп’ютерна техніка допомогла значно підвищити ефективність розумової праці людини, що пов’язана з обчислювальними і кібернетичними процесами, з моделюванням і дослідженнями. Вона поставила на новий, вищий технічний рівень питання, пов’язані з автоматизацією технологічних виробничих процесів, контролем і управлінням, накопиченням і обробкою інформації. Важко знайти область техніки або науки, куди не проникла або не могла б проникнути обчислювальна техніка (ОТ).

З’явившись близько 70-ти років тому, вона порівняно швидко пройшла стадії зміни застарілих поколінь комп’ютерів новими, підвищуючи, при цьому, швидкодію, надійність в роботі, якість, ступінь складності вирішуваних задач, адаптацію користувача.

Автоматизовану арифметичну машину, яку побудував англійський учений Ч. Беббідж [1-21], можна вважати прообразом сучасних комп’ютерів оскільки вона містила "склад" зберігання чисел (аналог пам’яті), "млини" виробництва арифметичних операцій (аналог арифметично-логічного пристрою АЛП), пристроїв управління (ПУ) та введення і виведення інформації (ПВВІ). Швидкість виконання операцій складання (віднімання) складала одну секунду, множення (ділення) - одну хвилину.

У 1947 р. була побудована релейна обчислювальна машина "Марк-2", що містила 13 тисяч реле з двома стійкими станами, тобто вперше використовувалася двійкова система числення. Операція складання складала 0,125 секунди, множення - 0,25 секунди.

У 1943 р. у Гарвардському університеті США Мочлі Джон і Преспер Екерт приступили до створення першої ЕОМ "Марк-1 "на електронних лампах, а у 1945 р. закінчили її будівництво. Вона мала величезні розміри, містила 18 тисяч електронних ламп, 1500 реле, споживала близько 150 кВт. В ній підвищилася швидкість до 5000 елементарних операцій в секунду, але програми виконання операцій набиралися вручну. У 1945 р. до процесу створення ЕОМ був підключений знаменитий математик Джон фон Нейман, що виклав основні принципи побудови ЕОМ.

У 1953 р. в СРСР була побудована цифрова електронна обчислювальна машина(ЕОМ) з швидкодією 8000 операцій в секунду (БЕСМ), краща для Європи того часу. За ними слідують БЕСМ-2, М-2, "Стрела", "Урал", М-3, «Минск-1», ін.

Основу другого покоління склали напівпровідникові діоди і транзистори. Їх швидкодія досягла 10-20 тис. операцій в секунду.

Найбільш потужною для того часу була ЕОМ БЕСМ-6, створена під керівництвом С.О. Лебедєва. Всі схеми машини були записані в рівняннях булевої алгебри. Вона була нескладна в експлуатації та мала високу для того часу надійність. Вона не була копією чиєїсь раніш створеною ЕОМ і використовувалася довгий час при моделюванні і математичних розрахунках.

У ЕОМ третього покоління використані великі інтегральні схеми (ВІС), четвертого покоління – надвеликі інтегральні схеми (НВІС). У одній такий НВІС об’ємом в долі кубічних сантиметрів вміщується ціла шафа ЕОМ першого покоління. При цьому, швидкодія зросла до сотень мільйонів операцій в секунду (один із основних показників продуктивності праці ЕОМ).

Вважають, що в комп’ютерах майбутнього можуть використовувати оптоелектроніку на основі когерентного випромінювання, оскільки швидкість світла вища за швидкість електронів. Перспективними напрямами є побудова біосистем людина - ЕОМ, створення інтелектуальних систем штучного розуму і багато інших.

Пошук нової елементної бази, методів і принципів створення нових поколінь комп’ютерів і комп’ютерних систем, вдосконалення вже відомих теоретичних основ виконання арифметичних і логічних операцій, пошук нових фізичних принципів зберігання і передачі інформації - ось далеко не повний перелік завдань, які вирішуватимуть фахівці в області створення комп’ютерної техніки (КТ) і комп’ютерних систем (КС).

1 ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ І СКЛАД КОМП’ЮТЕРНИХ СИСТЕМ

 

1.1 Мета дисципліни

Мета дисципліни - викласти студентам теоретичні і практичні основи комп’ютерної арифметики, алгебри логіки і виконання арифметичних і логічних операцій обчислювальними пристроями, основи синтезу комбінаційних схем і мікропрограмних автоматів, що розглядаються з погляду теорії цифрових автоматів.

Курс умовно роздільний на дві частини:

- частина 1 - «Комп’ютерна арифметика»;

- частина 2 - «Логічні основи і синтез цифрових автоматів».

У першій частині курсу вивчаються форми і методи представлення чисел в сучасних КС, алгоритми перетворення чисел різних систем числення, методи виконання основних арифметичних операцій в різних системах числення, методи виконання арифметичних операцій в бінарно- кодових і спеціальних системах численнях, структурні і операційні схеми основних арифметичних пристроїв.

У другій частині курсу вивчаються логічні основи цифрових автоматів, математичний апарат булевої алгебри, методи мінімізації булевих рівнянь, описи цифрових автоматів (ЦА), методи синтезу і аналізу ЦА (в т.ч. канонічні) на логічних елементах різних базисів, графи і граф схеми автоматів (ГСА). Контроль правильності виконання арифметичних і логічних операцій пристроями. Студенти повинні отримати практичні навики проектування елементарних, логічних і принципових електричних схем типових комбінаційних цифрових автоматів і автоматів з пам’яттю.

 

1.2 Загальні визначення і математична модель цифрових автоматів

У загальному випадку, всі електронні пристрої, у тому числі і ЕОМ, ділять на аналогові, цифрові і змішані.

Під комп’ютером розуміють цифрову обчислювальну машину (ЦОМ), що представлена комплексом технічних і програмних засобів, об’єднаних загальним управлінням і призначених для введення інформації, її переробки за заданим алгоритмом програми і виведення результатів для користувача або інших пристроїв.

При роботі комп’ютер виконує перетворення початкової інформації, при цьому вигляд інформації (тобто як вона надана, закодована) визначає велику роль у формуванні алгоритмів арифметичних і логічних операцій.

Інформаціяє однією з основних філософських категорій і понять нашого миру (поруч з такими поняттями як матерія, енергія і ін.). Кібернетика, як наука про автоматизацію процесів управління базується на теоретичних основах інформації.

У словнику С.І. Ожегова наведено: інформація - відомості про навколишній світ і процеси, що протікають в ньому, сприймані людиною або спеціальними пристроями.

Комітет науково-технічної термінології Академії наук дає наступне визначення: інформація - це відомості, зберігання, що є об’єктом передачі і перетворення [1-21]. Можна зупинитися на такому визначенні: інформація - це відомості про яку-небудь подію або предмет, що поступає до одержувача ззовні в результаті його взаємодії з навколишнім середовищем [1-21].

Як усяка категорія інформація характеризується наступними властивостями [1-21]:

- інформація приносить знання про навколишній світ, яких в даному місці не було до її отримання;

- інформація не матеріальна, але вона виявляється у формі матеріальних носіїв (дискретних знаків, символів, сигналів і ін.);

- інформація може бути поміщена як в знаках, як таких, так і в їх взаєм-ному розташуванні (наприклад: знаки у вигляді літер "Т, Р, С, О" можуть принести інформацію у вигляді різних слів: сорт, торс, тор, трос, ін.);

- знаки і сигнали несуть інформацію тільки для одержувача, що здатен розпізнати їх.

Знаками назвемо реальні помітні одержувачем матеріальні об’єкти: літери, цифри, символи, предмети, умовні рухи, їх комбінації [1-21].Сигналаминазиватимемо динамічні процеси будь-якої природи, що змінюються в часі (зміна значення напруги, тиску, електромагнітного поля і ін.). Поняття "знак" і "сигнал" часто взаємозамінні, проте знаки частіше використовують для зберігання інформації, а сигнали для передачі повідомлень з однієї точки простору в іншу або перетворення інформації з однієї форми в іншу.

Із знаків і сигналів будуються повідомлення. Елементарним повідомленням є кожний із знаків або сигналів. Послідовність елементарних повідомлень несуть одержувачеві інформацію. Кінцеву кількість усіх знаків або сигналів називають ще алфавітом. При передачі повідомлень знаки перетворюють на сигнали, що однозначно зіставляються - "коди".Процес зіставлення називають - кодуванням. Коди бувають різними, але кожен відповідає своїм правилам (алго-ритмам) перетворення. Обернений процес називають декодуванням.

Розрізняють інформацію безперервну і дискретну.

Рисунок 1.1 - Інформація функції f(t) представлена в безперервному (аналоговому) і дискретному вигляді

У аналоговому уявленні функція має значення параметра в будь-якій точці аргументу t. У дискретному вигляді функція f(t) визначена лише на конкретних значеннях t.

Вид інформації, що переробляється, впливає на структуру ОМ і принцип їх дії. Як наголошувалося раніше, ОМ ділять на три основні класи: аналогові, цифрові, гібридні.

Аналогова ОМ– та, що оперує інформацією, представленою у вигляді безперервних змін деяких фізичних величин (струм, напруга, опір і ін.). Багато процесів в природі можна моделювати аналогічно при однакових математичних моделях їх опису.

Цифрова ОМ – та, що оперує інформацією, представленою в дискретному вигляді. Вона більш універсальна оскільки методи чисельного рішення дають можливість рішення будь-яких математичних і логічних задач.

Останніми роками при розробці деяких ОМ вчені суміщають пози-тивні сторони ЦОМ і АОМ. Такі машини отримали назву гібридних ОМ.

Ми розглядатимемо арифметичні і логічні основи ЕОМ з погляду теорії цифрових автоматів. Відомий математик Джон фон Нейман у 1945р. у своїй доповіді описав, як повинен бути влаштований комп’ютер. У спрощеному вигляді, він повинен мати наступну структуру (рис 1.2).

Рисунок 1.2 - Структура ЕОМ

В неї входять: арифметичний логічний пристрій (АЛП); пристрій керування (ПК), який організує процес виконання програм; внутрішні пристрої, що запам’ятовують інформацію (оперативний запам’ятовуючий пристрій - ОЗП, постійний запам’ятовуючий пристрій - ПЗП), для зберігання даних, проміжних рішень, програм і др.; зовнішні пристрої для введення/виведення інформації і її тривалого зберігання, архівації - зовнішній запам’ятовуючий пристрій (ЗЗП).

Нас цікавлять теоретичні основи методів виконання арифметичних і логічних операцій АЛП. Загалом, будь-який пристрій ЕОМ можна представити як цифровий мікропрограмний автомат.

Під цифровим автоматом (ЦА) розуміють пристрій, що оперує з цифровою дискретною інформацією і характеризується кінцевою множиною внутрішніх станів Z={z₀,z₁,z₂,…,z_n}, в які він переходить під впливом множин сигналів: вхідних Х={х₁,х₂,...,x_k} і вихідних Y={y₁,y₂,...,y_m}, при цьому є кінцева множина правил переходу з одного стану в інший: W={w₁,w₂,...,w_L} - функція переходів ЦА із стану Z_i-1 у Z_i по правилам формування Z_i, станів ЦА; а також функція λ={λ₁,λ₂...,λ_j} формування Y- виходів ЦА, що в загальному випадку може бути пов’язана з його станом Z_i і вхідними сигналами Y=λ[Z_i, X_i]). Всі множини є кінцеві, звідси кінцевий ЦА.

Математичною моделлю ЦА є деякий абстрактний автомат, заданий таким чином: у початковий момент t₀ автомат знаходиться в стані Z₀. Під впливом вхідного коду X з множини вхідних слів, автомат переходить зі стану Z₀ в Z₁, при цьому може виникнути вихідне слово Y=λ[Z_i,X_i], а перехід Z_i =W[Z₀,X_i] здійснюється функцією переходів W, дії вхідного коду X і попереднього стану Z_{0 (або n)} і так далі (алгоритм перетворення).

 

 

Рисунок 1.3 - Модель абстрактного автомата

У загальному випадку математична модель абстрактного автомата записується як кортеж (сукупність): A={X, Z₀, Z, W, λ, Y}.

Алгоритм - кінцева послідовність точно сформульованих правил рішення якоїсь задачі (узбецький математик Аль-Хорезмі в IX столітті сформулював правила арифметичних дій). Можуть бути словесними, математичними, заданий програмою, ін.. Бувають детерміновані алгоритми, випадкові алгоритми, чисельні алгоритми, логічні алгоритми.

Арифметико-логічний пристрій (АЛП) - функціональний пристрій ЕОМ, що виконує арифметичні і логічні дії, необхідні для обчислення або виконання логічних операцій над заданою в ОЗП інформацією відповідно до встановлених алгоритмів.

АЛП характеризується:

- часом виконання елементарних операцій або середньою швидкодією, тобто кількістю арифметичних або логічних операцій виконаних в одиницю часу (секунду);

- набором арифметичних дій і логічних команд, які він виконує;

- видом арифметичного базису;

- тактовою частотою (часова сітка) виконання операцій, її швидкодія.

Наприклад, частота 100 МГц позначає, що виконується 100 мл. тактів в секунду (якщо операція виконується за два такти, то швидкодія буде 50 мл. операцій в секунду).

Одиницею інформації в комп’ютері є один біт, тобто двійковий розряд, який може приймати значення 0 або 1. Вісім послідовних або паралельних бітів складають байт. У одному байті кодується значення одного повідомлення з 256 можливих. Продуктивність АЛП процесора додатково характеризується наступними параметрами: внутрішньою і зовнішньою розрядністю даних, що обробляються (чим вище розрядність, тим вище інформаційна продуктивність одночасно обробляємої інформації); об’ємами пам’яті, адресацією центрального процесорного пристрою CPU (central processor unit); ступенем інтеграції транзисторів, ін..

СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ

 

Огляд деяких систем числення

У будь-якій системі числення прийняті деякі символи (знаки, слова) для позначення певних чисел, ці знаки називають базовими (вузловими). Наприклад,… Решта чисел уявного діапазону числової вісі мають назву алгоритмічні і… Системи числення, в яких алгоритмічні числа утворюються складанням вузлових, називаються адитивними. Наприклад, в…

Прямий код числа

Для систем числення з іншою основою q знак «-» (мінус) машинного зображення числа кодується старшим зображенням (вісьмирічна 7, шістнадцятирічна F,… Прямий код негативного числа є код, всі цифрові розряди якого залишаються… Позитивне число в прямому коді не міняє свого зображення.

Обернений код числа

Інакше, оберненим кодом двійкового числа є інверсне зображення цього числа, тобто всі розряди початкового бінарного числа, приймають обернене… Інверсія, інвертування - процедура переходу до протилежного значення розрядів… Приклад: N=-101110 (природний запис), то Nмоб=110001 (машинний запис в оберненому звичайному коді).

Доповняльний код числа

Правило перекладу з прямого коду в додатній код наступне: - якщо в знаковому розряді знаходиться (q-1) - тобто число негативне, то всі… -якщо в знаковому розряді знаходиться 0 (або 00) - тобто число позитивне, то перетворення цифр не відбувається.

МНОЖЕННЯ ЧИСЕЛ НА ДСДК

 

З одного боку, якщо числа зберігаються в ЦА в доповняльних кодах, то і операцію множення зручно робити на ДСДК. З іншого боку, при множенні на ДСДК виникають проблеми, усунути які можна з огляду на певні правила.

 

Множення чисел на ДСДК при позитивному множнику

Правило. Добуток доповняльних кодів співмножників дорівнює допо-вняльному коду результату тільки при позитивному множнику В>0. Дійсно: нехай А - будь-яке число, тоді А = Адоп і якщо В>0, тоді маємо: А×В=Адоп×0,b1b2...bn-Адоп×b1×2-1+Адоп×b2×2-2+...+Адоп×bn×2-n.

Множення чисел на ДСДК при негативному множнику

На основі |А|+[Адоп] = q, де |A| - абсолютне значення числа А. Доповняльний код є математичним доповненням до числа основи системи числення [1].… Отже, добуток чисел . (З урахуванням того, що число В негативне і значущі… Таким чином, при негативному множнику добуток доповняльних кодів операндів не дорівнює доповняльному коду…

МНОЖЕННЯ ЧИСЕЛ НА ДСОК

Множення чисел на ДСОК при позитивному множнику

За аналогією із ДСДК, при множенні операндів заданих у оберненому модифікованому коді, розглянемо два випадки: В>0 і В<0. Випадок В>0. Добуток обернених кодів співмножників дорівнює оберненому коду… Доказ. Нехай множене А=Аоб., а множник В>0. Тоді: А×В=Аоб×0,b1b2...bn =…

Множення чисел на ДСОК при негативному множнику

Випадок В<0. Якщо множник негативний, то добуток чисел на суматорі ДСОК є додатком виправленя [`А ] і [A]об×2-n до отриманого добутку… Доказ. Нехай А=[A]об і В<0, тоді ; відповідно до подання у ФРК, фіксовано… Алгоритм. Множення на ДСОК (при В<0) виконується в наступній послідовності (наведена в таблиці 13.2):

Код 2421

Приклад. Записати число 765 у ДДК 2421. Рішення. Записуємо кожний десятковий розряд числа 765 у двійковому коді з… 16.2.4 Код 7421

Додавання чисел у СЗК

- числа складаються по розрядах основ, підсумуються їхні залишки; - з отриманої суми залишків, віднімається основа цього розряду до одержання… Формально це можна представити як: С=А+В, або (с1,с2,…,сn) = (а1,а2,…,аn)+(b1,b2,…, bn), де кожний розряд дорівнює: …

Вирахування чисел у СЗК

сі=аі-bі+крі, де к=0, якщо аі>bі, і к=1, якщо аі<bі. Приклад 1. Нехай р1=3, р2=5, р3=7, Р=105. Десяткові числа А=19=(1,4,5),

Множення чисел у СЗК

С=А×В реалізується за формулою: сі = аі·bі – крі, де к =0,1,2…; рі - і-та основа СЗК.