При аналізі і синтезі систем автоматичного регулювання і керування широке поширення одержали методи, засновані на використанні частотних характеристик.
Частотна характеристика визначається як реакція ланки або системи у сталому режимі на синусоїдальне вхідне діяння при зміні його частоти у всьому можливому діапазоні.
При цьому в лінійній системі як вхідний сигнал, так і сигнал в будь-якій точці у сталому режимі є синусоїдальними; вони відрізняються від вхідного тільки по амплітуді і по фазі.
Частотні характеристики описують сталі вимушені коливання на виході ланки, викликані гармонійним впливом на вході. Нехай на вхід ланки подано гармонійне діяння:
,
де xm - амплітуда, w - кутова частота цього діяння.
Після закінчення перехідного процесу на виході ланки будуть існувати гармонічні коливання з тією ж частотою, що і вході. Вихідні і вхідні коливання в загальному випадку будуть відрізнятися по амплітуді і фазі.
У сталому режимі вихідна величина ланки
,
де ym - амплітуда вихідних усталених коливань, j - фазовий зсув між вихідними і вхідними коливаннями.
При фіксованій амплітуді вхідних коливань амплітуда коливань і фаза встановлених коливань на виході ланки залежать від частоти коливань. Якщо поступово збільшувати від нуля частоту коливань і визначати усталені значення амплітуди і фази вихідних коливань для різних частот, можна отримати залежність від частоти відношення амплітуд і зсуву фаз j вихідних і вхідних встановлених коливань. Через ці величини визначають всі частотні характеристики.
Амплітуда-частотна характеристика (АЧХ) - залежність відносини амплітуди виходу до амплітуді входу від частоти:
.
Фазочастотна характеристика (ФЧХ) - залежність різниці (зміни) фаз вихідного та вхідного коливань від частоти:
Амплітудно-фазова частотна характеристика (АФЧХ) - залежність відносини комплексів вихідного та вхідного коливань від частоти:
.
Підставляючи в комплексні вираження вхідної і вихідної величини, отримаємо уявлення АФХ у показовій формі:
За цією формулою АЧХ є модулем, а ФЧХ - аргументом АФХ, тобто, , .
Оскільки - комплексна величина тої можна записати виділяючи дійсну та уявну частини:
.
У теорії автоматичного керування основною частотною характеристикою є амплітуда-фазова характеристика.
Аналітичний вираз амплітудно-фазової частотної характеристики можна отримати із передаточної функції шляхом заміни на (див табл. 1).
Графічно АФЧХ зображується на комплексній площині у полярних координатах (А, j), як годограф функції . У прямокутних координатах (рис. 1) комплексна величина може розглядатися як вектор з координатами і .
Рисунок 1 - Амплітудно-фазова частотна характеристика
Таблиця 1 – Амплітудно-фазовочастотні характеристики
типових ланок
| Назва ланки | Передаточна функція ланки |
| Підсилювальна (безінерційна) | |
| Інтегрувальна | |
| Диференціювальна | |
| Аперіодична ланка 1-го порядку (інерційна) | |
| Аперіодична ланка 2-го порядку (всі корені дійсні) | , |
| Коливальна | , |
| Консервативна | |
| Інтегрувальна з запізненням (реальна інтегруюча) | |
| Диференціювальна з запізненням (реальна диференціювальна) | |
| Форсувальна | |
| Ізодромна |
Усі вище розглянуті частотні характеристики можуть бути побудовані в логарифмічному масштабі.
При побудові логарифмічних АЧХ (ЛАЧХ) і логарифмічних ФЧХ (ЛФЧХ) поточні значення амплітуд та частот наносяться на вісь амплітуд і частот у логарифмічному масштабі (рис. 2). Вісь частот - . Відлік частот ведеться або в натуральних одиницях виміру або в декадах або октавах. Під декадою розуміється діапазон частот між будь-яким довільним , і його удесятерним значенням , а під октавою - діапазон частот між довільним числом і .
При побудові ЛАЧХ по осі ординат відкладаються значення,
,
одиницею виміру для яких є децибел (Дб).
Початок координат по вісі абсцис розташовують зазвичай в точці w = 1. тому lg1 = 0. Точка ж w = 0 лежить в -∞. Однак залежно від діапазону частот, який нас цікавить, початок координат можна брати в іншій точці (w = 0,1; w = 10 та ін.)
Точка перетину ЛАЧХ з віссю абсцис називається частотою зрізу wз (рис. 2).
Рисунок 2 - Логарифмічні частотні характеристики
Верхня полуплощина ЛАЧХ відповідає значенням А > 1 (посилення амплітуди), а нижня полуплощина значень А < 1 (ослаблення амплітуди).
При побудові ЛФЧХ відлік кутів j йде по осі ординат в звичайному масштабі в кутових градусах (рис. 2).
Перевагами логарифмічних характеристик є більш вдалий масштаб, який дає змогу лінеарізувати характеристики та значно спостити побудову логарифмічних частотних характеристик груп ланок, з’єднаних між собою.
Пакет програми MATLAB містить в собі спеціальні команди для ви числення частотних характеристик. Амплітудно-фазова частотна характеристика (годограф Найквиста) визначається командою nyquist(…). Логарифмічна амплітудно-частотна і фазочастотна характеристики будуються спільно за допомогою команди bode(…).