Завдання на роботу
1. Погодити з викладачем завдання щодо типу і параметрів досліджуваних динамічних ланок.
2. За допомогою пакету Simulink побудувати реакцію кожної типової ланки (див. таблицю 1.1) на ступінчастий вхідний сигнал.
3. Визначити вплив коефіцієнтів, що входять в опис кожної ланки на параметри перехідного процесу.
4. Обчислити та побудувати амплітудно-фазо-частотні (АФЧХ) характеристики заданих динамічних ланок за допомогою пакету MATLAB.
1.1 . Стислі теоретичні відомості
 |
Більшість автоматичних систем складаються з деяких типових за призначенням пристроїв або функціональних елементів, сукупність яких приведена в загальному вигляді на рис.1.1. До числа цих елементів входять: елемент порівняння ЕП, чутливий елемент ЧЕ, підсилювально-перетворюючий пристрій УПУ, виконавчий пристрій ВП і об'єкт керування ОК. Елемент порівняння разом з чутливим елементом утворює дискримінатор, а весь ланцюжок показаних послідовно сполучених ланок (окрім об’єкту керування) – пристрій керування. Наявність петлі головного зворотного зв’язку ГЗЗ означає, що представлена система є замкненою.
Елементи автоматичних систем характеризуються за їх призначенням, принципом дії, конструкцією, електричною схемою, тощо. Кожен з цих елементів має вхід та вихід і описується математичними виразами, що пов’язують його вихідну величину з вхідною. Даний математичний зв’язок визначає тип ланки, до якої відноситься окремий досліджуваний елемент. При цьому розрізняють два випадки:
– залежність вихідної величини елементу від вхідної відповідає сталому режиму;
– залежність вихідної величини елементу від вхідної відповідає несталому (перехідному) режиму.
У першому випадку залежність “вихід-вхід” є статична характеристика, в другому – динамічна характеристика.
Статична характеристика елементу описується алгебраїчними рівняннями. По вигляду статичної характеристики елементи автоматичних систем поділяються на дві групи – лінійні ланки і нелінійні ланки.
Статична характеристика нелінійної ланки в загальному випадку має наступний вигляд: x2 = F(x1), де F(…) – деяка нелінійна функція свого аргументу. Важливим є те, що статичні характеристики ланок замкнених автоматичних систем є непарними функціями, тобто 
. Це означає, що зі зміною знаку вхідної величини змінюється знак його вихідної величини, що принципово необхідне для функціонування замкнених автоматичних систем. За наявності навіть невеликої асиметрії в характеристиці одного з елементів виникає похибка автоматичної системи у вигляді зміщення керованої величини у(t) відносно задаючої дії g(t).
Динамічна характеристика ланки автоматичної системи визначається диференціальним рівнянням, яке відображає динамічні процеси в ній. Слід сказати, що різні за фізичними принципами дії елементи часто описуються однаковими диференціальними рівняннями, тому їх відносять до однієї групи динамічних ланок.
Під динамічною ланкою розуміється пристрій будь-якого фізичного вигляду і конструкції, що описується певними диференціальними рівняннями.
Класифікація ланок автоматичних систем проводиться саме за виглядом диференціального рівняння. Одні і ті ж рівняння можуть описувати найрізноманітніші пристрої (механічні, гідравлічні, пневматичні, електричні, тощо). Для теорії автоматичного керування це буде один і той самий тип ланки.
Позначивши вхідну величину ланки (рис.1.2) через x1, а вихідну – через x2, проведемо класифікацію ланок по вигляду їх реакції на вхідну дію.
У ланках позиційного, або статичного типу в усталеному режимі вхідна і вихідна величини зв’язані лінійною залежністю x2 = kx1 (рис.1.3, а). Коефіцієнт пропорційності k між вхідною і вихідною величинами є коефіцієнтом підсилення ланки.
У ланках інтегруючого типу в усталеному режимі лінійною залежністю 
зв’язані похідна вихідної величини і вхідна величина (рис.1.3, б). В цьому випадку для усталеного режиму буде справедливим вираз 
, звідки і пішла назва цього типу ланок. Коефіцієнт пропорційності k в цьому випадку також є коефіцієнтом підсилення ланки. Якщо вхідна і вихідна величини ланки мають однакову розмірність, то коефіцієнту підсилення відпо
відає розмірність, с–1.
У ланках диференціюючого типу лінійною залежністю 
зв’язані в усталеному режимі вихідна величина і похідна вхідної (рис.1.3, в), звідки і пішла назва цього типу ланок. Коефіцієнт пропорційності k є коефіцієнтом підсилення ланки. Якщо вхідна і вихідна величини ланки мають однакову розмірність, то коефіцієнту підсилення відповідає розмірність, с.
Класифікація ланок проводиться за виглядом диференціального рівняння або, що те ж саме, за виглядом передавальної функції ланки.
Під типовими динамічними ланками розуміють ті, які описуються диференціальними рівняннями не вище другого порядку:
.
Якщо ввести оператор диференціювання 
, то можна записати в операторній формі:
,
звідки одержуємо
,
де 
і 
– поліноми із формули .
Вираз по вигляду співпадає з визначенням передавальної функції як відношення перетворення по Лапласу вихідної змінної до перетворення по Лапласу вхідної змінної при нульових початкових умовах.
Відзначимо, що 
. Це означає, що коефіцієнт k є коефіцієнтом підсилення при нульовій частоті («постійному струмі»).
Комплексні числа, що є коренями многочлена B(p), називаються нулями передавальної функції, а корені многочлена A(p) – полюсами.
Опис типових динамічних ланок приведений в таблиці 1.1.
| Таблиця 1.1. Типові динамічні ланки | |||
| № | Назва ланки | Реакція ланки на вхідну дію | Передавальна функція ланки |
| Інтегруюча | Інтегруюча | 
| |
| Диференціюючи | Диференціююча | D(p) = kp | |
| Підсилююча (безінерційна) | Статична | D(p) = k | |
| Аперіодична 1-го порядку (інерційна) | Статична | 
| |
| Аперіодична 2-го порядку (всі корені дійсні) | Статична | 
| |
| Коливальна | Статична | 
| |
| Консервативна | Статична | 
| |
| Інтегруюча з запізненням (реальна інтегруюча) | Інтегруюча | 
| |
| Диференціююча з запізненням (реальна диференціююча) | Диференціююча | 
| |
| Форсуюча | Диференціююча | 
| |
| Ізодромна | Інтегруюча | 
| |
| Стабілізуюча | Диференціююча | 
|
Часові характеристики динамічної ланки є залежністю вихідного сигналу системи від часу при подачі на її вхід деякого типового впливу. Зазвичай виконується аналіз виходу системи на одиничний стрибок (функція Хевісайда).
Одиничний стрибок 1(t) визначається умовами:
Реакція системи автоматичного керування на одиничний стрибок називається перехідною функцією системи і позначається h(t). При неодиничній ступінчастій дії g(t) = N1(t), де N = const, відповідно до принципу суперпозиції вихідна реакція системи буде у(t) = Nh(t).
Найважливішим поняттям, широко вживаним в ТАК, є поняття частотних характеристик. Саме методи, засновані на застосуванні частотних характеристик, є найбільш конструктивними і зручними в інженерній практиці. Вони найбільш застосовні в класичному випадку системи з одним входом і виходом.
Амплітудно-фазо-частотною характеристикою (АФЧХ) блоку з передавальною функцією D(p) називається комплексна функція 
дійсного аргументу 
, яка отримана при підстановці 
.
Підстановка в зображення по Лапласу довільної функції (оригіналу) перетворює перетворення Лапласа на спектр або, що є те ж саме, в перетворення Фур’є. Тому від передавальної функції переходимо до спектрів вхідного і вихідного сигналів.
описує зміну спектру при проходженні через блок з передавальною функцією D(p). Формула справедлива для будь-якого вхідного сигналу. АФЧХ описується наступною формулою:
де 
– АЧХ – Амплітудно-частотна характеристика;
– ФЧХ – Фазо-частотна характеристика.
Частотні характеристики показують амплітуду і фазу сталого гармонійного сигналу на виході під час подачі на вхід гармонійного сигналу одиничної амплітуди.
АФЧХ зручно зображати у вигляді годографа на комплексній площині з координатами 
і 
(рис.1.4).
Параметром на 
кривій годографа є частота, що змінюється в інтервалі від 0 до 
. Для довільної частоти 
радіус вектор в точці 
показує амплітуду вихідного сигналу, а кут 
– зсув фази між вихідним і вхідним сигналом. Іноді ще називають комплексним коефіцієнтом передачі, маючи на увазі те, що АФЧХ є узагальненням звичайного коефіцієнта підсилення k на випадок його залежності від частоти і наявний фазовий зсув, який також залежить від частоти.
1.2. Методичні вказівки
1. Необхідно розглянути всі типові динамічні ланки, що приведені в табл.1.1. Параметри вказаних ланок обираються згідно номера N індивідуального варіанту (див. таблицю 1.2), який видається викладачем.
| Таблиця 1.2. Параметри типових динамічних ланок | ||||||
| Номер ланки по табл.1.1 | Передавальна функція ланки 
| Коефіцієнт підсилення k | Постійна часу T1, c | Постійна часу T2, c | ||
| 
| – | – | |||
| Kp | 
| – | – | |||
| K | 
| – | – | |||
| 
| 
| – | |||
| Продовження табл.... 1.2 | ||||||
| 
| 
| 
| |||
|
| 
| 
| 
| |||
| 
| 
| – | |||
| 
|
| – | |||
| 
| 
| – | |||
| 
| – | 
| |||
| 
| 
| – | |||
| – | – | 
| |||
2. Реакцію кожної типової ланки (див. табл. 1.1) на ступінчасту вхідну дію (функцію Хевісайда) за допомогою пакету Simulink можна наступним чином:
· запустити програмний пакет Simulink (див. стор. 4-5);
· створити нову модель (див. меню File, або натиснувши Ctrl+N);
· перетягнути блок Transfer fun, що знаходиться в підрозділі Continuous головної бібліотеки Simulink. Задати необхідні параметри ланки (див. табл. 1.2);
· для подачі типових впливів потрібно використати блок Step з підрозділу Sources. При цьому величина Final value дорівнює номеру варіанту N.
· за допомогою блоку Scope з підрозділу Sinks зафіксувати вихідний сигнал ланки.
3. Для трьох різних комбінацій значень коефіцієнту підсилення k і постійних часу T1 і T2, що обираються довільно розрахувати перехідний процес для аперіодичної ланки (№4 в табл. 1.1) і коливальної ланки (№6 в табл. 1.1). Одержані перехідні характеристики представити для кожної ланки окремо на одному графіку.
На рис.1.5 показаний приклад моделювання динаміки коливальної ланки при різних параметрах коефіцієнту підсилення і постійних часу.
 |
4. В пакеті Matlab необхідно обчислити і побудувати амплітудно-фазо-частотну характеристику кожної типової динамічної ланки (див. табл. 1.1) із заданими в табл. 1.2 параметрами згідно індивідуального варіанту.
Алгоритм розрахунку АФЧХ розглянемо на прикладі передавальної функції, яка має наступний вигляд:
,
де 
, 
, 
.
1) Замінюємо в передавальній функції оператор p на 
:
,
2) задаємо в командному рядку системи Matlab (Command Window) параметри ланки та діапазон зміни частоти
>> k=5; T1=0.02; T2=0.001;
>> w=0:1:10000;
3) розраховуємо уявну величину
>> jw=i*w;
4) розраховуємо передавальну функцію
>> D=k./(-T2*w.^2+T1*jw+1);
5) обчислюємо амплітуду 
і фазу 
вихідного сигналу
>> A=abs(D); F=angle(D);
6)
 |
будуємо графік АФЧХ
>> polar(F, A)
На рис.1.6 представлений графік розрахованої АФЧХ.
Зміст протоколу
1. Титульний лист.
2. Мета роботи.
3. Опис лабораторної роботи, в якому обов’язково повинні бути відображені постановка задачі, диференціальні рівняння і передавальні функції досліджуваних динамічних ланок.
4. Результати роботи у вигляді роздруків лістингів програми розрахунку амплітудно-фазо-частотних характеристик, а також перехідних характеристик окремих динамічних ланок.
5. Висновки по роботі.
Контрольні запитання
1. Визначення передавальної функції та перехідної характеристики. Класифікація динамічних ланок.
2. Зв’язок диференціального рівняння автоматичної системи і її частотної передавальної функції.
3. Поняття комплексної частотної передавальної функції, амплітудно-частотної, фазо-частотної і амплітудно-фазової характеристик.
4. Методика розрахунку і графічного представлення частотних характеристик в програмі Matlab.
5. Типові динамічні ланки. Визначення і класифікація.
6. Диференціальні рівняння, частотні передавальні функції, перехідні окремої групи типових динамічних ланок (уточнюється викладачем).