Повторим процедуру, описанную в теореме 7,выбирая несмежные вершины в G1 и G2 соединяя и отождествляя их, в результате получим 4 новых графа. Снова повторяем. Процесс заканчивается, когда каждый граф- полный.
Следствие из теоремы 7.
Если l=(V,W)-ребро простого графа G, то P(G,K)=P(G-l,k)-P(G*l,k)(3),где G-l-получается из G удалением ребра l, a G*l- замыкание вершин V и W и замена параллельных ребер одним ребром.
Если повторно применить формулу (2) к графу G, то процесс закончится на графах: Н1,Н2,. . . ,Нk,поэтому P(G,K)=P(H1,k)+P(H2,k)+. . .+P(Hk,k);
Если использовать формулу (3), то процесс закончится на пустых графах без ребер => хроматический полином – множество комбинаций полиномов пустых графов.
Теорема Карона.
Граф G – двух раскрашиваемый тогда и только тогда, когда G- Эйлеров граф.
1)нижние оценки:
γ(G)≥ρ(G),
γ(G)≥, где n-число вершин
m- число ребер.
2)верхние оценки:
γ(G)≤1+max[P(xi)+1]
xi Є x