Определение стационарного решения

Определение стационарного решения. В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введм для них обозначения. Заметим дополнительно, что при. Заметим, что уравнения 3, 4, 5 для стационарных вероятностей принимают следующий вид 6 при 7 при 8 К этим уравнениям добавляется нормирующее условие 9 Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введм обозначения при при Система уравнений 6-8 в этих обозначениях принимает такой вид при Отсюда заключаем, что при всех т.е. при 10 и при 11 Введм для удобства записи обозначение. Уравнение 10 позволяет заключить, что при 12 При из 11 находим, что и, следовательно, при 13 Остатся найти. Для этого в 9 подставляем выражения из 12 и 13. В результате так как бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, сходится только при условии, что 14 то при этом предположении находим равенство 15 Если условие 14 не выполнено, т.е. если, то ряд, стоящий в квадратной скобке уравнения для определения, расходится и, значит, должно быть равно 0. Но при этом, как следует из 12 и 13, при всех оказывается. Методы теории цепей Маркова позволяют заключить, что при с течением времени очередь стремится к по вероятности.

Поясним полученный результат на нескольких практических примерах, которые покажут, что обычные в практической деятельности подсчеты, основанные на чисто арифметических соображениях, при которых не учитывается специфика случайных колебаний в поступлении требований на обслуживание, приводят к серьезным просчетам.

Пусть врач успевает удовлетворительно осмотреть больного и заполнить его историю болезни в среднем за 15 минут.

Планирующие органы из этого обычно делают вывод за четырхчасовый рабочий день врач должен принимать 16 человек.

Однако больные приходят в случайные моменты времени. В результате при таком подсчете пропускной способности врача к нему неизбежно скапливается очередь, так как при проведенном подсчете принимается равным 1. Те же заключения относятся и к расчету числа коек в больницах, числа работающих касс в магазинах, числа официантов в ресторанах и т. д. К сожалению, некоторые экономисты совершают такую же ошибку и при расчете погрузочных средств в карьерах, числе приемщиков на элеваторах, числе причалов в морских портах и пр. Во всем дальнейшем мы предполагаем, что условие 14 выполнено.

Для задачи с ожиданием основной характеристикой качества обслуживания является длительность ожидания требованием начала обслуживания. Длительность ожидания представляет собой случайную величину, которую обозначим буквой. Рассмотрим сейчас только задачу определения распределения вероятностей длительности ожидания в уже установившемся процессе обслуживания. Обозначим далее через вероятность того, что длительность ожидания превзойдт t, и через вероятность неравенства, указанного в скобке при условии, что в момент поступления требования, для которого подсчитывается длительность ожидания, в очереди уже находится k требований.

В силу формулы полной вероятности имеем равенство 16 Прежде чем преобразовать эту формулу к виду, удобному для использования, приготовим некоторые необходимые для дальнейшего сведения.

Прежде всего для случаев m1 и m2 найдем простые формулы для. Несложные преобразования приводят к таким равенствам при m1 1 17 а при m2 18 Вычислим теперь вероятность того, что все приборы будут заняты в какой-то наудачу взятый момент. Очевидно, что эта вероятность равна 19 Эта формула для m1 принимает особенно простой вид 20 при m2 21 В формуле 19 может принимать любое значение от 0 до m исключительно. Так что в формуле 20 1, а в 21 2. Определение функции распределения длительности ожидания.

Если в момент поступления требования в очереди уже находились k-m требований, то, поскольку обслуживание происходит в порядке очередности, вновь поступившее требование должно ожидать, когда будут обслужены k-m1 требований. Пусть означает вероятность того, что за промежуток времени длительности t после поступления интересующего требования закончилось обслуживание ровно s требований. Ясно, что при имеет место равенство Так как распределение длительности обслуживания предположено показательным и не зависящим ни от того, сколько требований находится в очереди, ни от того, как велики длительности обслуживания других требований, то вероятность за время t не завершить ни одного обслуживания т.е. вероятность того, что не освободится ни один из приборов равна Если все приборы заняты обслуживанием и ещ имеется достаточная очередь требований, которые ожидают обслуживания, то поток обслуженных требований будет простейшим.

Действительно, в этом случае все три условия стационарность, отсутствие последействия и ординарность выполнены.

Вероятность освобождения за промежуток времени t ровно s приборов равна это можно показать и простым подсчетом Итак, и, следовательно, Но вероятности известны поэтому Очевидными преобразованиями приводим правую часть последнего равенства к виду. Из формул 18 и 19 следует, что поэтому при m 22 Само собой разумеется, что при t Функция имеет в точке t1 разрыв непрерывности, равный вероятности застать все приборы занятыми.

Средняя длительность ожидания. Формула 22 позволяет находить все интересующие числовые характеристики длительности ожидания. В частности, математическое ожидание длительности ожидания начала обслуживания или, как предпочитают говорить, средняя длительность ожидания равна Несложные вычисления приводят к формуле 23 Дисперсия величины равна Формула 23 дат среднюю длительность ожидания одного требования. Найдем среднюю потерю времени требованиями, пришедшими в систему обслуживания в течение промежутка времени T. За время T в систему поступает требований и среднем общая потеря ими времени па ожидание в среднем равна 24 Приведем небольшие арифметические подсчеты, которые продемонстрируют нам, как быстро возрастают суммарные потери времени па ожидание с изменением величины. При этом мы ограничиваемся случаем Т1 и рассматриваем лишь самые малые значения т т1 и т2. При т1 в силу 20 При р0,1 0,3 0,5 0,9 значение а приблизительно равно 0,011 0,267 0,500 1,633 8,100. При m2 в силу 24 При 0,1 1,0 1,5 1,9 значение а приблизительно равно 00003 0,333 1,350 17,537. Приведнные данные иллюстрируют хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки.

Потребитель при этом сразу ощущает значительное возрастание длительности ожидания.

Этот факт обязательно следует учитывать при расчте загрузки оборудования в системах массового обслуживания. Выводы В этой работе я постаралась раскрыть понятия, приводящие к системе массового обслуживания и математическому обоснованию принятий решений.

Также здесь были описаны типичные элементы, из которых состоят системы массового обслуживания принятие решений при входящем потоке, его описание и основные особенности, очередь и ее дисциплина, обслуживающие приборы и особенности механизма обслуживания, входящий поток. Возможность применения теории принятия решений в системах массового обслуживания определяется следующими факторами 1. Количество заявок в системе которая рассматривается как СМО должно быть достаточно велико массово. 2. Все заявки, поступающие на вход СМО, должны быть однотипными. 3. Для расчетов по формулам необходимо знать законы, определяющие поступление заявок и интенсивность их обработки.

Более того, потоки заявок должны быть Пуассоновскими. 4. Структура СМО, т.е. набор поступающих требований и последовательность обработки заявки, должна быть жестко зафиксирована. 5. Необходимо исключить из системы субъектов или описывать их как требования с постоянной интенсивностью обработки. К перечисленным выше ограничениям можно добавить еще одно, оказывающее сильное влияние на размерность и сложность математической модели. 6. Количество используемых приоритетов должно быть минимальным.

Приоритеты заявок должны быть постоянными, т.е. они не могут меняться в процессе обработки внутри СМО.