Оценивание в модели с авторегрессией. Проблему оценивания системы Формула 1 рассмотрим отдельно для случая, когда коэффициент p известен, и отдельно - когда неизвестен. 1. Значение p известно. В этом случае для оценивания системы Формула 1 можно применить обобщенный метод наименьших квадратов.
В данном случае нетрудно найти матрицу P, для которой. Здесь весьма просто догадаться, какое линейное преобразование исходной системы Формула 1 надо провести, чтобы получить классическую модель. Напишем Формула 2 для момента времени умножим обе части на p и вычтем почленно из Формула 2 . Тогда с учетом Формула 3 получим Формула 7 При t 1 достаточно обе части уравнения Формула 3 умножить на Формула 8 В системе Формула 7 , Формула 8 ошибки удовлетворяют условиям уже обычной регрессионной модели.
Действительно, в Формула 7 случайные величины t 2, ,n независимы и имеют постоянную дисперсию, а в Формула 8 ошибка не зависит от t 2, ,n и, согласно Формула 4 , также имеет дисперсию. На практике часто опускают преобразование Формула 8 , игнорируя тем самым первое наблюдение. С одной стороны, благодаря этому, преобразование исходной модели Формула 1 становится единообразным.
В частности, для получения оценки параметра достаточно оценку свободного члена в Формула 7 разделить на 1 - p. С другой стороны, отбрасывание первого наблюдения может привести к потере важной информации, особенно в выборках небольшого размера. 2. Значение p неизвестно. Ситуации, когда параметр авторегрессии р известен, встречаются крайне редко. Поэтому возникает необходимость в процедурах оценивания при неизвестном р. Как правило, они имеют итеративный характер. Опишем три наиболее употребительные.
Мы не будем устанавливать сходимость этих процедур, практика их применения показала, что они достаточно эффективны.