Тест Дарбина-Уотсона на наличие или отсутствие корреляции по времени. Большинство тестов на наличие корреляции по времени в ошибках системы Формула 1 используют следующую идею если корреляция есть у ошибок, то она присутствует и в остатках, получаемых после применения к Формула 1 обычного метода наименьших квадратов.
Здесь мы рассмотрим только одну реализацию этого подхода. Пусть нулевая гипотеза состоит в отсутствии корреляции, т.е. р 0. В качестве альтернативной может выступать либо просто не, либо односторонняя гипотеза, например, p 0. Наиболее широко используется тест Дарбина-Уотсона Dur-bin-Watson. Он основан на статистике Формула 9 Будем считать, что постоянный член включен в число регрессоров.
Тогда нетрудно проверить, что эта статистика тесно связана с выборочным коэффициентом корреляции между и. Действительно, проводя элементарные выкладки, имеем Формула 10 Предполагая число наблюдений достаточно большим, можно считать, что приближенно выполнены следующие равенства и поскольку выполнено точное равенство в силу наличия постоянного регрессора. Поэтому выборочный коэффициент корреляции r между и можно приближенно представить в виде Наконец, пренебрегая в 6.14 слагаемыми и по сравнению с общей суммой, окончательно получим Формула 11 Понятен и содержательный смысл статистики DW если между и имеется достаточно высокая положительная корреляция, то в определенном смысле и близки друг к другу и величина статистики DW мала. Это согласуется с Формула 11 если коэффициент r близок к единице, то величина DW близка к нулю. Отсутствие корреляции означает, что DW близка к 2. Таким образом, если бы распределение статистики DW было известно, то для проверки гипотезы p 0 против альтернативы p 0 можно было бы для заданного уровня значимости например, для 5 -уровня найти такое критическое значение d, что если DW d, то гипотеза не отвергается, в противном случае она отвергается в пользу. Проблема, однако, состоит в том, что распределение DW зависит не только от числа наблюдений n и количества регрессоров k, но и от всей матрицы X, и, значит, практическое применение этой процедуры невозможно, поскольку нельзя же составить таблицу критических значений d для всех матриц X! Тем не менее, Дарбин и Уотсон доказали Durbin, Watson, 1951 , что существуют две границы, обычно обозначаемые и u upper - верхняя, l low - нижняя, которые зависят лишь от n, k и уровня значимости а следовательно, могут быть затабулированы и обладают следующим свойством если DW , то DW d и, значит, гипотеза не отвергается, а если DW , то DW d, и гипотеза отвергается в пользу. В случае DW ситуация неопределенна, т. е. нельзя высказаться в пользу той или иной гипотезы.
Если альтернативной является гипотеза об отрицательной корреляции p 0, то соответствующими верхними и нижними границами будут 4 - и 4 Целесообразно представить эти результаты в виде следующей таблицы.
Значение статистики DW Вывод 4 - DW 4 Гипотеза отвергается, есть отрицательная корреляция 4 - DW 4 - Неопределенность DW 4 - Гипотеза не отвергается DW Неопределенность 0 DW Гипотеза отвергается, есть положительная корреляция.
Наличие зоны неопределенности, конечно, представляет определенные трудности при использовании теста Дарбина-Уотсона.
Ее ширина может быть довольно значительной.
К примеру, при n 19, k 3 она образует интервал 0.97, 1.68 . Поэтому многие дальнейшие исследования были направлены на построение таких тестов, которые сужают зону неопределенности.