Системы эконометрических уравнений

Министерство сельского хозяйства РФ ФГОУ ВПО «Кубанский государственный аграрный университет» Анапский филиал КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА Дисциплина :«ЭКОНОМЕТИКА» вариант №13 Выполнила: студентка …… 1 курса Конограй Кристина Александровна Преподаватель: Силина М.Н. Дата Оценка Анапа 1. Системы эконометрических уравнений Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы.Измерение тесноты связей между переменными, посторроение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования.

При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других.ЕЕ изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков.

Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновремменнных уравнений или структурных уравнений.Например, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновреммено для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением. В еще большей степени возрастает потребность в использовании системы взаимосвязанных уравнений, если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам.

Модель национальной экономики включает в себя следующую систему уравнений: функции потребления, инвестиций заработной платы, тождество доходов и т.д. Это связано с тем, что макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Так, расходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода.

Вместе с тем величина валового национального дохода рассматривается как функция инвестиций.Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.

Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x: y1 = a11x1 + a12x2 +…+a1mxm+ e1, y2 = a21x1 + a22x2 +…+a2mxm+ e2, … yn = an1x1 + an2x2 +…+anm xm+ en Набор факторов x1 в каждом уравнении может варьировать.Например, модель вида y1 = f (x1,x2, x3, x4, x5,); y2 = f (x1, x3, x4, x5,); y3 = f (x2, x3, x5,); y4 = f ( x3, x4, x5,). также является системой независимых уравнений с тем лишь отличием, что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему.

Отсутствие того или иного фактора в уравнении системы может быть следствием как экономической нецелесообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t-критерия или F - критерия для данного фактора). Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно.Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов. по существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии.

Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член a0. Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.В итоге система независимых уравнений при трех зависимых переменных и четырех факторах имеет вид: y1 = a01 + a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 + e1, y2 = a02 + a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 + e2, y3 = a03 + a31x1 + a32 x2 + a33 x3 + a34 x4 + e3. Однако если зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении , то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений: y1 = a11x1 + a12 x2 + … + a1m xm + e1, y2 = b21y1 + a21x1 + a22 x2 + … + a2m xm + e2, y3 = b31y1 + b32y2 + a31x1 + a32 x2 + … + a3m xm + e3, … yn = bn1y1 + bn2y2 + bnn-1yn-1 + an1x1 + an2 x2 + … + anm xm + en. В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов х. Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида y1 = a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + e1, y2 = b21y1 + a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + e2, где у1 - производительность труда; у2 - фондоотдача; х1 - фондовооружонность труда; х2 - энерговооружонность труда; х3 - квалификация рабочих.

Как и в пред идущей системе , каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов.

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях - в правую часть системы: y1 = b12* y2 + b13* y3 +… + b1n * yn + a11 * x1 + a12 * x2 +…+ a1m xm + e1, y2 = b21* y1 + b23* y3 +… + b2n * yn + a21 * x1 + a22 * x2 +…+ a2m xm + e2, … yn = bn1* y1 + bn2* y2 +… + bnn-1 * yn-1 + an1 * x1 + an2 * x2 +…+ anm xm + en, Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений.

Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других.

В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим.

С этой целью используются специальные приемы оценивания.Примером системы одновременных уравнений может служить модель динамики цены и заработной платы вида y1 = b12y2 + a11x1 + e1, y2 = b21y1 + a22x2 + a23 x3 + e2, где у1 - темп изменения месячной заработной платы ; у2 - темп изменения цен; х1 - процент безработных; х2 - темп изменения постоянного капитала; х3 - темп изменения цен на импорт сырья.

В рассмотренных классах систем эконометрических уравнений структура матрицы коэффициентов при зависимых переменных различна.Представим систему эконометрических уравнений в матричном виде: BY + ГX = E, где В - матрица коэффициентов при зависимых переменных; Y - вектор зависимых переменных; Г - матрица параметров при объясняющих переменных; Х - вектор объясняющих переменных; Е - вектор ошибок.

Если матрица В диагональная, то рассматриваемая модель является системой независимых уравнений.Так, при трех зависимых и трех объясняющих переменных модель имеет вид: y1 = a01 + a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + Е1, y2 = a02 + a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + Е2, y3 = a03 + a31x1 + a32 x2 + a33 x3 + Е3. Матрица параметров при зависимых переменных является диагональной: 1 0 0 В = 0 1 0 . 0 0 1 Если матрица В треугольная (или может быть приведена к такому виду), то модель представляет собой систему рекурсивных уравнений.

Так, если модель имеет вид: y1 = a01 + a11x1 + a12 x2 + Е1, y2 = a02 + b21y1 + a21 x1 + a23 x2 + Е2, y3 = a03 + b32y2 + a31 x1 + a32 x2 + Е2. т.е. зависимая переменная у1 первого уравнения участвует как объясняющая переменная во втором уравнении системы, а зависимая переменная у2 второго уравнения рассматривается как объясняющая переменная в третьем уравнении.Тогда матрица коэффициентов при зависимых переменных модели составит: 1 0 0 В= -b21 1 0 0 -b32 1 т.е. представляет собой треугольную матрицу.

Если матрица В не является ни диагональной, ни треугольной, то модель представляет собой систему одновременных уравнений. Так, для модели вида y1 = a01 + b12y2 + a11x1 + a12 x2 +Е1, y2 = a02 + b21y1 + b23y3 + a23x3+ Е2, y3 = a03 + b31y1 + a32x2 + a33x3+Е3, получим матрицу коэффициентов при зависимых переменных: 1 -b12 0 В= -b21 1 -b23 , -b321 0 1 которая не является ни диагональной, ни треугольной.Соответственно это отражается на выборе метода оценки параметров эконометрических систем. 2. Оценивание параметров структурной модели Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценивания коэффициентов структурной модели: • косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) • двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК) • трехшаговый метод наименьших квадратов (ТМНК) • метод максимального правдоподобия с полной информацией (ММП) • метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (ММП) Косвенный и Двухшаговый методы наименьших квадратов подробно описаны в литературе и рассматриваются как традиционные методы оценки коэффициентов структурной модели.

Эти методы достаточно легкореализуемы.

Косвенный метод наименьших квадратов применяется для идетифицируемой системы одновременных уравнений, двухшаговый метод наименьших квадратов - для оценки коэффициентов сверхидентифицируемой модели.

Перечисленные методы оценивания также используются для сверхидентифицируемых систем уравнений. Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК. Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам.Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (метод наименьшего дисперсионного отношения) разработанный в 1949 г. Т. Андерсеном и Н. Рубинным.

Математическое описание метода дано, например, в работе Дж. Джонстона. В отличие от метода максимального правдоподобия в данном методе сняты ограничения на параметры, связанные с функционированием системы в целом.Это делает решение более простым, но трудоемкость вычислений остается достаточно высокой. несмотря на его популярность, к середине 1960-х годов он был практически вытеснен двухшаговым методом наименьших квадратов в связи с гораздо большей простотой последнего. Этому способствовала также разработка в 1961 г. Г. Тейлом семейства оценок коэффициентов структурной модели.

Для данной модели Г. Тейл определил семейство оценок класса К и обычный МНК при К = 0, ДМНК при К = 1 и метод ограниченной информации при plimK = 1. В последнем случае решение структурной модели соответствует оценкам по ДМНК. Дальнейшим развитием двухшагового метода наименьших квадратов является трехшаговый МНК (ТМНК), предложенный в 1962 г. А. Зельнером и Г. Тейлом.

Этот метод оценивания пригоден для всех видов уравнений структурной модели. Однако при некоторых ограничениях на параметры более эффективным оказывается ДМНК. 3. Двухшаговый метод наименьших квадратов Если система сверхидентифицируема, КМНК не используется, ибо он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели.В этом случае могут применяться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов.

Основная идея ДМНК - на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.Метод получил название «двухшаговый метод наименьших квадратов», ибо МНК используется дважды: на первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее оценок теоретических значений переменной ŷ = бi1 x1 + бi2 x2 +…бij xj и на втором шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным теоретических (расчетных) значений эндогенных переменных.

Сверхидентифицируемая структурная модель может быть двух типов: • все уравнения системы сверхидентифицируемы; • система содержит наряду со сверхидентифицируемыми точно индетифицируемые уравнения.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые , то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно сверхидентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.Применим ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели y1 =b12 (y2 + x1 )+е1, y2 = b21y1 + a22x2 +е2. Данная модель может быть получена из предыдущей идентифицируемой модели y1 = b12y2 + a11x1+ е1, y2 = b21y1 + a22x2 + е2 если наложить ограничения на ее параметры, а именно: b12 = a11 В результате первое уравнение стало сверхидентифицируемым: Н = 1 (у1), D = 1 (x2) и D + 1 > H. Второе уравнение не изменилось и является точно идентифицируемым: Н = 2 и D = 1, D + 1 = H. На первом шаге найдем приведенную форму модели у1 = б11 x1 + б12 x2 + и1, у2 = б21 x1 + б22 x2 + и2. После того как найдены оценки эндогенной переменной у2, т.е. ŷ2, обратимся к сверхидентифицируемому структурному уравнению y1 =b12 (y2 + x1 ) Заменив фактические значения у2 их оценками ŷ2, найдем значения новой переменной ŷ2 + х1 = z. Далее применим ДНК к уравнению y1 =b12 z, т.е. у1z = b12 z2 Откуда: y1z b12 = z2 Таким образом, сверхидентифицируемое структурное уравнение составит: y1 =b12 (y2 + x1 )+е1, y2 = b21y1 + a22x2 + е2 Двухшаговый метод наименьших квадратов является наиболее общим и широко распространенным методом решения системы одновременных уравнений. Для точно идентифицируемых уравнений ДМНК дает тот же результат, что и КМНК. Поэтому в ряде компьютерных программ, например DSTAT, для решения системы одновременных уравнений рассматривается лишь двухшаговый метод наименьших квадратов.

Решение сверхидентифицируемой модели на компьютере построено на предположении, что при каждой переменной в правой части системы имеется свой структурный коэффициент. Если же в модель вводятся ограничения на параметры, как в рассмотренном примере b12 = a11, то программа DSTAT на работает. структурная модель может принимать любой вид, но без ограничений на параметры.

При этом должно выполняться счетное правило идентификации: D + 1 > H. Так, если структурная модель имеет вид: y1 =A01 + b12* y2 + a11 * x1 + e1, y2 = A02 + b21* y1 +a22 * x2 +a23 * x3 + e2, где первое уравнение сверхидентифицируемо, а второе - точно идентифицируемо, то реализация модели в ППП DSTATоказывается следующей.

Двухшаговый метод наименьших квадратов последовательно применяется к каждому уравнению.

Эндогенная переменная, находящаяся в левой части системы, рассматривается как зависимая переменная, а переменные, содержащиеся в правой части системы (эндогенные и экзогенные) как факторы, которые должны быть пронумерованы.

Например, при вводе информации о переменных в последовательности у1, у2, х1, х2, х3, для первого уравнения имеем: у2 - фактор 2; х1 - фактор 3. Затем отвечаем на следующие вопросы программы DSTAT: Эндогенная переменная - это фактор номер? Ответ: 2. Экзогенная переменная, входящая в уравнение это фактор номер? Ответ: 3. Экзогенная переменная, не входящая в уравнение это фактор номер? Ответ: 4. Экзогенная переменная, не входящая в уравнение это фактор номер? Ответ: 5. По окончании процедуры выдается уравнение ŷ1 = b12 y2 + a11x1 + A01 и приводится оценка его качества через F-критерий Фишера, относительная ошибка аппроксимации и оценка значимости структурных коэффициентов модели через t-критерий Стьюдента.

Аналогично поступим со вторым уравнением системы. В нем соответственно эндогенная переменная у1 рассматривается как фактор 1, а экзогенные переменные х2 и х3 - как факторы 4 и 5. Не входящая в уравнение экзогенная переменная х1 обозначается как фактор 3. В результате получим искомое уравнение ŷ1 = b21 y1 + a22x2 + a23x3 + A02. Несмотря на важность системы эконометрических уравнений, на практике часто не принимают во внимание некоторые взаимосвязи; применение традиционного МНК к одному или нескольким уравнениям также широко распространено в эконометрике.

В частности, при построении производственных функций и анализе спроса можно проводить, используя обычный метод наименьших квадратов.

Задача 1.Так как гиперболическая зависимость имеет вид : у = а + b / x, то введем переменную z = 1/x/ Получим : у = a + bz Рассчитаем коэффициенты а и b по следующим формулам: b = (zy -z*y) z2 - (z2) у = a + bx 1. Рассчитаем теоретическое значение результативного признака ŷ, исходя из полученных коэффициентов а и b. 2. Оценим построенную модель и качество постороенного уравнения через F критерий Фишера: F = D2 ф D2 ост где D2 ф = ( (ў - ў)2 ) / N -1,; D2 ост. = ( (у - ў)2 ) / п - N, п - количество опытов (п = 7) N - количество параметров в уравнении (N = 2). 5. Оценка статистической значимости параметров а и b. Для этого необходимо определить ошибки расчетов ma и mb. mb = D ост * x2 - ( x2) / n) Далее находим ta и tb и сравниваем их с табличными: ta = IaI / ma , tb = IbI / mb. 6. Построим доверительные зоны линии регрессии: ŷ = ŷ +(-) ∆x Δx = t таб. * Dост. * ( x - xcp.) 2 * (1/ (( x2/n - x2) + 1/n) Список используемой литературы 1. А.И. Орлов, Эконометрика, Учебник.

М.: Издательство "Экзамен", 2002. 2. Тихомиров Н.П Дорохина Е.Ю. Эконометрика. – М.: Экзамен, 2003. 3. Эконометрика./Под ред. И.И. Елисеевой М.: Финансы и статистика, 2002. 4.