Вариант № 2 Требуется: 1. Рассчитать параметры уравнения линейной регрессии. 2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации. 3. Оценить статистическую надежность регрессионного моделирования с по- мощью t-критерия Стьюдента. 4. Рассчитать ожидаемое значение результата, если прогнозное значение фак- тора увеличиться на 4% от его среднего уровня.Определить доверительный интервал прогноза. 5. Оценить полученные результаты, оформить выводы. Таблица 4 Район Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб y Прожиточный минимум в среднем на душу населения, тыс. руб x Брянская область 289 Владимирская область 338 Ивановская область 287 Калужская область 753 324 Костромская область 307 Орловская область 304 Рязанская область 307 Смоленская область 290 Тверская область 314 Тульская область 304 Ярославская область 830 341 Респ. Марий Эл 554 364 Респ. Мордовия 342 Чувашская Респ. 310 Кировская область 411 Нижегородская область 796 304 Fтабл.= 4,60 (α=0,05) бy=85,89 бx=31,28 Решение: 1. Для решения задачи необходимо ввести в таблицу дополнительные данные и произвести расчеты с помощью таблицы (Excel). Данные расчета в приложении таблицы.
Рассчитаем параметры уравнения ŷ=ax+b c помощью статистической функ-ции ЛИНЕЙН. Получаем следующую статистику: -0,11 711,32 0,73 236,48 0,0015 91,75 0,02 14,00 179,61 117849,33 b a с.о (b) с.о (a) R2 Sост. Fфакт. Ч.с.с. , где а и b - параметры модели, ŷ - зависимая переменная, x - независимая переменная.
Определим: - параметр 쬬¬одели b по формуле: ¬¬¬ _ _¬ xy - x * y b = ¬_ _2 x2 - x 217192,13 - (321 * 676,94) - 105,61 b = = ≈ - 0,11 104020 - 103041 979 - параметр 쬬¬одели a по формуле: _ _ a = y - b*x а = 676,94 - ((-0,11) * 321) = 676,94 + 34,38 ≈ 711,32 Итак, уравнение линейной регрессии имеет вид: ŷ = 711,32 - 0,11 * x Экономический смысл уравнения: при увеличении прожиточного минимума x на 1 руб средняя заработная плата и выплаты социального характера y умень-шается на 0,11 руб 2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации. Для расчета показателя необходимо в таблице добавить и рассчитать столбцы: yx, y - yx, Аi. Формула для расчета непосредственно показателя по определенной области: y - yx Аi = ¬ * 100 y 65 Аi = ¬ * 100 = 10,49 - ошибка аппроксимации по Брянской области, 615 аналогично по остальным областям.
Формула для расчета средней ошибки аппроксимации: 1 n Ā = ¬ ∑ Аi n i=1 , следовательно 1 Ā = ¬ * 174,56 = 10,91% - значение средней ошибки аппроксимации 16 Это означает, что, в среднем, расчетные значения зависимого признака откло-няются от фактических значений на 10,91%. Величина ошибки аппроксимации говорит о плохом качестве модели. 3. Оценим статистическую надежность регрессионного моделирования с по- мощью t-критерия Стьюдента. Для дальнейших расчетов необходимо рассчитать коэффициент корреляции по формуле: бx rxy = b ¬ бy , отсюда 31,28 rxy = - 0,11 ¬ = - 0,11 * 0,36 ≈ - 0,04 85,89 Вывод: так как коэффициент корреляции меньше 0, то соответственно, связь между переменными x и y обратная, слабая, то есть величина средней заработ-ной платы и выплаты социального характера не зависит от среднедушевого прожиточного минимума. а) Выдвигаем нулевую гипотезу о статистически незначимом отличии показа-телей от нуля: a=b= rxy=0; б) Табличное значение t-критерия зависит от числа степеней свободы и задан-ного уровня значимости & #945;. Определим число степеней свободы: К1= m = 1 К2 = n - m - 1, где m - число независимых переменных n - число наблюдений К2 = 14 Для числа степеней свободы 14 и уровня значимости α = 0,05 tтабл = 2,14 в) Фактические значения t-критерия рассчитываются отдельно для каждого параметра модели.
С этой целью сначала определяются случайные ошибки па-раметров m a , m b , m rxy . Для определения случайных ошибок параметров необходимо рассчитать среднеквадратическое отклонение y: ∑ (y-yx)2 ¬ 117863 Sост = = ≈ 91,75 n-m-1 14 √ ∑ x2 1664314 ma = Sост = 91,75 ≈ 236,48 n бx 16 * 31,28 Sост 91,75 mb = = ≈ 0,73 бx √ n 31,28 * √ 16 1 - rxy2 1 - 0,0015 m rxy = n - m - 1 = 14 ≈ 0,26 Рассчитаем фактические значения t-критерия: а 711,32 tфа = ¬ = ≈ 3 ma 236,48 b - 0,11 tфb = ¬ = ≈ - 0,15 mb 0,73 rxy - 0,04 tфr = ¬ = ≈ - 0,15 m rxy 0,26 г) Сравним фактические значения t-критерия с табличным значением tтабл=2,14: tфа > tтабл , отсюда следует, что параметр а в уравнении регрессии значим, то есть нулевая гипотеза отклоняется и показатель является статистически зна-чимым и надежным; tфb < tтабл , в данном случае, параметр b является статистически не значимым и не надежным , и гипотеза о статистически незначимом отличии показателя при-нимается; tфr < tтабл , то есть, соответственно, коэффициент корреляции статистически не значимым и не надежным , и гипотеза о статистически незначимом отличии по-казателя принимается; 4. Рассчитаем ожидаемое значение результата, если прогнозное значение фак- тора увеличится на 4% от его среднего уровня, и определим доверительный интервал прогноза. Прогнозное значение yр определяется путем подстановки в уравнение регрес-сии соответствующего прогнозного значения xр. Если прогнозное значение про-житочного минимума в среднем на душу населения составит: xр = x * 1,04 = 321 * 1,04 ≈ 333,84 тыс. руб то прогнозное значение заработной платы и выплат социального характера составит: yр = 711,32 - 0,11 * 333,84 ≈ 675 тыс. руб. Рассчитаем случайную ошибку прогноза по формуле: myр = Sост * 1 + 1 + (xр - x)2 = 91,75 * 1 + 0,0625 + (330,78 - 321)2 = n ∑ (x - x)2 15658 = 91,75 * 1,0625 + 0,06108 ≈ 97,25 Предельную ошибку прогноза найдем по формуле: ∆y = tтабл myр = 2,14 * 97,25 ≈ 208,11 Доверительный интервал прогноза: yyр = yр ± ∆yр = 675 ± 208,11; 466,89 ≤ 675 ≤ 883,11 Выводы: Полученная линейная функция ŷ = 711,32 - 0,11*x плохо описывает зависи-мость переменных x и y. Коэффициент корреляции очень низок, это говорит об отсутствии связи меж-ду показателями x и y, то есть по данной выборке средняя заработная плата и выплаты социального характера не зависят от прожиточного минимума.
Диапазон доверительного интервала очень большой, что может быть обуслов-лено малым числом наблюдений, а так же тем, что решение производилось по линейной функции. Литература: 1. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999. – 402 с. 2. Катышев П.К Магнус Я.Р Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 2002. – 208 с. 3. Кремер Н.Ш Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311 с. 4. Магнус Я.Р Катышев П.К Пересецкий А.А. Эконометрика.
Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001. – 400 с. 5. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006. – 344 с.