зависимость расходов на косметику от личного дохода

Курсовая работа по эконометрике Cosm Коэффициент Std. Error C 0,3372820 0,4569091 DPI 0,0079826 0,0005683 R2 = 0,895613 Durbin-Watson = 0,145122 F- stat = 197,336 1) Составляем уравнение регрессии: у^=0,3372820+0,0079826Х (0,4569091) (0,0005683) Цифры, указанные в скобках, являются стандартными ошибками. 2) Интерпретация уравнения для dpi Коэффициент при dpi показывает, что если dpi увеличивается на одну единицу, то Y возрастает на 0,0079826 единицы.Так как dpi и Y измеряются в миллиардах долларов в постоянных ценах, то dpi (личный располагаемый доход) показывает, что если доход увеличивается на 1 млрд. долл то расходы на косметику возрастают на 79826 дол. Другими словами, из каждого дополнительного дохода 7,9 цента будут израсходованы на косметику. 3) Формулируем нулевую гипотезу о том, что величина β=0, и затем пытаемся опровергнуть ее. Соответствующая t-статистика выполняется по формуле: t= b-β0 / с.о. (b) = 0,0079826/0,005683 = 14,05 Т.е. она есть оценка коэффициента, деленная на ее стандартную ошибку.

Т.к. в выборку включено 25 наблюдений (1959-1983гг.) и мы оцениваем два параметра &#163; и &#946;, то число степеней свободы составляет 23. tкр при 5% уровне значимости с 23 степенями свободы равняется 2,069. причем t-статистика не лежит между значениями -2,069 и 2,069. Следовательно, неравенство -tкритич < b-&#946;0/ с.о.(b) <tкритич не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу, сделав вывод о том, что величина &#946; в действительности отличается от нуля. Формируем аналогично и для &#163; нулевую гипотезу: &#163;=0 t= 0,3372820/ 0,4569091 = 0,74 При случае с &#163; t-статистика лежит между значениями -2,069 и 2,069. Следовательно неравенство -tкритич < a-&#163;0/ с.о.(a) <tкритич выполняется и мы принимаем нулевую гипотезу. 4) Построим доверительный интервал : Соответствующий 95% доверительный интервал составляет: b- с.о. (b)Х tкритич <&#946;<b+с.о. (b)Х tкритич 0,0079826- 0,0005683 Х 2,069 < &#946; < 0,0079826 + 0,0005683 Х 2,069 Иными словами, 0,0068 < &#946; < 0,0092 Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только свыше 0,0092 и не ниже 0,0068. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии.

Доверительный интервал для &#163;: 0,3372820-0,4569091 Х 2,069 < &#163; < 0,337282 + 0,4569091 Х 2,069 Иными словами, -0,608 < &#163; < 1,283. Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только свыше 1,283 и не ниже -0,608. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии. 5) F-тест на качество оценивания: Определим критическое значение коэффициента R2 при любом уровне значимости.

Традиционная процедура состоит в использовании косвенного подхода и выполнения F-теста, основанного на анализе дисперсии: F = 0,895613 / (1 – 0,895613) / 23 = 0,895613 / 0,0045985 = 197,33678 Отыскиваем величину Fкрит – критическое значение F в соответствующей таблице. При 1% уровне значимости Fкрит = 7,88. При 5% Fкрит = 4,28. Так как F > Fкрит (197,33 > 7,88), то отклоняем нулевую гипотезу.

Другими словами, полученное значение коэффициента R2 столь высоко, что мы отклоняем предположение о том, что оно могло появится случайно. Уравнение при dpi плохое, так как t-статистика для коэффициента &#163; составляет 0,74. Таким образом, коэффициент незначимо отличается от нуля. time| Коэффициент Std. Error C 3,77 0,374480 Time 0,2149231 0,0159725 R2 = 0,887288 Durbin-Watson = 0,175585 F- stat = 181,0595 1) Составим уравнение регрессии: у^=3,77 + 0,2149231time (0,2374480) (0,0159725) Цифры, указанные в скобках, являются стандартными ошибками. 2)Интерпретация уравнения: Коэффициент наклона показывает, что если время увеличилось на 1 год, то расходы на косметику возрастают на 21 млн дол. 3) Гипотеза H0: &#946;=0; t=0,214923 / 0,0159725 = 13,45 H0: &#163; = 0; t = 3,77 / 0,2374480 = 15,9 tкр при 5% уровне значимости с 23 степенями свободы равняется 2,069. причем t-статистика не лежит между значениями 2,069 и -2,069. Следовательно, неравенство -tкритич < b-&#946;0/ с.о.(b) <tкритич -2,069 < 13,45 < 2,069 не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу, сделав вывод о том, что величина &#946; в действительности отличается от нуля. Такой же результат и при &#163;: -2,069 < 15,9 < 2,069. в обоих случаях t-статистика значима, и из этого следует, что категории наблюдений значимо различаются. 4) Доверительные интервалы: 0,18< &#946; < 0,25 3,28 < &#163; < 4,26 Любое гипотетическое значения &#946;, &#163;, которые удовлетворят интервалам будут автоматически совместимы с оценками b, a, т.е. не будут опровергаться ею. 5) F-тест: R2 = 0,887288 F = 181,0595 При 1% Fкрит = 7,88; 181,0595 > 7,88. Нет необходимости представлять результаты каждой проверки 1% и 5%. Так как величина b должна быть более «экстремальной» для гипотезы, отвергаемой при 1% уровне значимости, но не при 5%, и если мы отклоняем ее при 1% уровне, то отклоняем из этого автоматически следует, что отклоняем ее и при уровне значимости в 5%. 1% уровень значимости описывается как «более высокий» в сравнении с 5% уровнем.

Прологарифмируем Std. Error С - 5,2037338 0,4845714 Lg dpi 1,0634715 0,0730729 R2 = 0,902047 Durbin-Watson = 0,160563 F- stat = 211,8064 L dpi| log^ y = - 5,2037338 + 1,0634715 logx (0,48457154) (0,0730729) Выполнив обратные преобразования, получим: y^ = e – 5,2037338 х 1,0634715 = 0,0055Х 1,0634715 Полученный результат предполагает, что эластичность спроса на косметику по доходу составляет 1,063, что означает, что увеличение личного располагаемого дохода на 1% приведет к увеличению расходов на косметику на 1,063%. Коэффициент 0,0055 не имеет простого толкования. Он помогает прогнозировать значения у при заданных значения х, приводя их к единому масштабу.

Построим t-статистику для &#946;: t = 1,063 / 0,073 = 14,56 для &#163;: t = - 5,2037338 / 0,4845714 = -10,74 t кр при 5% уровне значимости с 23 степенями свободы = 2,069. Следовательно, неравенство -tкритич < b-&#946;0/ с.о.(b) <tкритич - 2,069 < 14,56 < 2,069 не выполняется.

Аналогично и для &#163;: – 2,069 < - 10,74 < 2,069 Построим доверительные интервалы: 1,063 – 0,073 Х 2,069 < &#946; < 1,063 + 0,073 Х 2,069 0,91 < &#946; < 1,21 - 5,2 – 0,48 Х 2,069 < &#163; < - 5,2 + 0,48 Х 2,069 - 6,19 < &#163; < 4,2 F – тест F = 211,8064. Fкрит = 7,88 при 1% уровне значимости. 211,8064 > 7,88. Следовательно, отклоняем нулевую гипотезу.

Fкрит = 4,28 при 5% . Отклоняем гипотезу и при 5%. L time | Те же данные о расходах на косметику были использованы для оценивания экспоненциального временного тренда, также приведенного к минимальному виду путем взятия логарифмов.

Оцененная зависимость имеет вид: time | log^y = 1,3618819 + 0,0370104 logt (0,0519801) (0,0034966) y^ = е1,3618819 е 0,0370104t = 3,9е 0,0370104t Уравнение показывает, что расходы на косметику в течение выборочного периода росли с темпом 3,7% в год. В этом случае постоянный множитель имеет толкование, так как он «прогнозирует», что в момент t = 0, т.е. в 1958г. общие расходы на косметику составили 3,9 млрд. долл. Такой прогноз, безусловно, не имеет важного значения, так как мы легко можем найти в справочниках действительные расходы на косметику в 1958г. Найдем t для &#946;: для &#163;: t = 0,037 / 0,0034966 = 10,58 1,36 / 0,05 = 27,2 Неравенство -tкритич < b-&#946;0/ с.о.(b) <tкритич не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу.

Аналогично и для &#163;. Построим доверительные интервалы: 0,037 – 0,034966 Х 2,069 < &#946; < 0,037 + 0,034966 Х 2,069 - 0,035 < &#946; < 0,11 1,36 – 0,05 Х 2,069 < &#163; < 1,36 + 0,05 Х 2,069 1,26 < &#163; < 1,46 F-тест: F = 112,0380 > 7,88, следовательно отклоняем нулевую гипотезу.

Аналогично и при 5% уровне значимости.

Уравнение хорошее, так как t-статистика и F. Автокорреляция Данные из табл. А5: n = 25, k = 1 dL =1,29 du = 1,45 при 5% dL = 1,05 du = 1,21 при 1% значения Дарбина Уотсона: 1) dpi| 0,145122 2) time| 0,175585 3) Lgdpi| 0,160563 4) Lgtime| 0,126070 Величина d меньше, чем dL. В этом случае она будет также меньше, чем dкрит, и поэтому мы сделаем вывод о наличии положительной автокорреляции.

Множественный регрессионный анализ Уравнение регрессии: dpi | y^ = 18,25337 + 0,0040525х – 0,1407723p (с.о.) (1,0173551) (0,0002668) (0,0079384) R2 = 0,993175 Где y – общая величина расходов на косметику (долл. США); x – располагаемый личный доход (долл. США); p – цена косметики 1) Интерпретация: При каждом увеличении располагаемого дохода на 1млрд. долл. (при сохранении постоянных цен) расходы на косметику увеличиваются на 4 млн. долл. На каждую единицу увеличения индекса цен (при сохранении постоянных доходов) эти расходы уменьшаются на 140,7723 млн. долл. Чистый эффект в любой момент времени будет зависеть не только от этих коэффициентов, но также от размеров изменений х и р. 2) t-тест Выполним соответствующий t-тесты: t-тест для коэффициентов множественной регрессии выполняются так же, как это делается в парном регрессионном анализе.

Отметим, что критический уровень t при любом уровне значимости зависят от числа степеней свободы, которое равно (n – k -1) = 25 – 2 – 1 = 22. t = 0,0040525 / 0,0002668 = 15,18 Критическое значение для t при 5% уровне значимости с 22 степенями свободы равняется 2,074. Причем t – статистика не лежит между значениями 2,074 и – 2,074. Следовательно, неравенство -2,074 < 15,18 < 2,074 не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу, сделав вывод о том, что величина &#946; в действительности отличатся от нуля, и следовательно размер дохода влияет на уровень расходов на косметику.

Конечно, в том, что мы используем уровень значимости 5% в качестве основы для проверки гипотезы, существует 5% риск допущения ошибки I рода. В этом случае мы могли бы снизить риск до 1% за счет применения уровня значимости в 1%. Критическое значение для t при 1% уровне значимости с 22 степенями свободы составляет 2,819. Используя это число в соотношении - 2,819 < 15,18 < 2,819 Мы видим, что можно легко отказаться от нулевой гипотезы также и при этом уровне значимости.

Выполним t-тест для &#163;: t = а - &#163;0 / с.о. (а) = 18,25337 / 1,0173551 = 17,9419 Неравенство - 2,074 < 17,9419 < 2,074 не выполняется, и мы отвергаем нулевую гипотезу.

Выполним t-тест для &#946;: t = 0,004025 / 0,0002668 = 15,086 Неравенство - 2,074 < 15,086 < 2,074 не выполняется, и мы отвергаем нулевую гипотезу.

Выполним t-тест для P: t = - 0,1407723 / 0,0079384 = - 17,733 - 2,074 < - 17,733 < 2,074 не выполняется , отвергаем нулевую гипотезу. 3) Доверительные интервалы Соответствующий 95% доверительный интервал для &#946;: b- с.о. (b)Х tкритич < &#946; < b+с.о. (b)Х tкритич 0,0040525 – 0,0002668 Х 2,074 < &#946; < 0,0040525 + 0,0002668 Х 2,074 0,0035 < &#946; < 0,04605 Доверительный интервал для &#163;: а – с.о.(а) Х tкритич < &#163; < a + c.о. (а) Х tкритич 18,25337 – 1,0173551 Х 2,074 < &#163; < 18,25337 + 1,0173551 Х 2,074 16,15 < &#163; < 20,36 Доверительный интервал для P: р – с.о. (р) Х tкритич < р < р + с.о. (р) Х tкритич - 0,1407723 – 0,0079384 Х 2,074 < р < - 0,1407723 + 0,0079384 Х 2,074 - 0,157236 < р < 0,002387 Из полученных интервалов следует.

Что мы отвергаем гипотетические значения для &#946; только свыше 0,04605 и ниже 16,15; для &#163;: свыше 20,36 и ниже 16,15; для Р: свыше 0,002387 и ниже – 0,157236. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов не будут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии. 4) F-тесты F = 1600,611 С помощью этой статистики можно выполнить F-тест для определения того, действительно ли объясненная переменная сумма квадратов (ESS) больше той, которая может иметь случайно.

Для этого найдем Fкрит. В колонке, соответствующей «k» степенями свободы и в ряду, соответствующем (n – k - 1) степенями свободы в таблице А3. k = 2, n – k – 1 = 22 При 5% уровне значимости Fкрит = 3,44. При 1% Fкрит = 5,72 Чаще всего F-тест используется для оценки того, значимо ли объяснение даваемое уравнением в целом. Следовательно, сделаем вывод о том, что уравнение в целом значимо.

Log Оценим логарифмическую регрессию между расходами на косметику и располагаемым личным доходом для США. Получим следующий результат: 1) dpi | log^y = - 12,473714 + 1,1554596 logx + 1,4705783 logp с.о.(0,6676809) (0,0296559) (0,1295246) R2 = 0,98572; F = 759,2965 2) Уравнение регрессии показывает, что эластичность спроса по доходу составляет 1,15, а эластичность спроса по цене 1,47 и оба они отличны от нуля при 1% уровне значимости.

Данное уравнение плохое, так как полученное условие противоречит тому, что при возрастании цены расходы снижаются. 3)t –статистика для Lg C = - 18,682150 ; для Lg DPI = 38,962156; Lg P = 11,353667. Во всех случаях отклоняем нулевую гипотезу. 4) Доверительные интервалы: 1,155 – 0,03 Х 2,074 < &#946; < 1,155 + 0,03 Х 2,074 1,093 < &#946; < 1,217 - 12,473714 – 0,6676809 Х 2,074 < &#163; < 12,473714 + 0,6676809 Х 2,074 - 11,1 < &#163; < 13,86 1,4705789 – 0,1295246 Х 2,074 < Р < 1,4705789 + 0,1295246 Х 2,074 1,2 < P < 1,7 F = 759,2965 Найдем Fкрит. При 5% уровне значимости Fкрит = 3,44. При 1% Fкрит = 5,72 Следовательно, сделаем вывод о том, что уравнение в целом значимо.

Автокорреляция множественной регрессии: n = 25, к = 2 dL = 1,21 du = 1,55 при 5% dL = 0,98 du = 1,30 при 1% 1) dpi| 0,816527 2) lg dpi| 0,80260 Величина d меньше, чем dL. В этом случае она будет также меньше, чем dкрит, и поэтому мы сделаем вывод о наличии положительной автокорреляции.

Гетероскедастичность RSS1 = 0,207259 RSS2 = 0,288058 Рассчитаем соотношение RSS2 / RSS1, которое имеет F - распределение с (n&#180; – k - 1) и (n&#180;– k - 1) степенями свободы, где k – число объясняющих переменных в регрессионном уравнении.

Мощность критерия зависит от выбора n&#180; по отношению к n. RSS2 / RSS1 = 0,288058 / 0,2017259 = 1,353765 Критическое значение F(6,6) = 8,47 при 1% ; Fкрит (6,6) = 4,28 при 5%. Fкрит < F – гетероскедастичность есть, так как : 1,353765 < 8,47 при 1% 1,353765 < 4,28 при 5% Часть II. Х - СОСТАВ ДЕНЕЖНЫХ ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 Миллиардов рублей (1995-1997 гг трлн. руб.) Денежные доходы - всего 201,8 244,7 383,2 910,9 1357,1 1656,4 1776,0 2908,1 3983,9 5325,8 6831,0 8900,5 10930,0 У - ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ЖИЛИЩНЫХ УСЛОВИЙ НАСЕЛЕНИЯ1) 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 Площадь жилищ, приходящаяся в среднем на одного жителя (на конец года) - всего, м2 13,4 14,9 16,4 18,0 18,2 18,5 18,7 18,9 19,2 19,5 19,8 20,2 20,5 Российский статистический ежегодник - 2005г. Copyright © Федеральная служба государственной статистики Проанализируем зависимость показателя жилищного условия населения, а именно площадь жилищ, приходящаяся в среднем на одного жителя на конец года и денежного дохода населения.

Обозначим, Х – Площадь жилищ, приходящаяся в среднем на одного жителя (на конец года) – всего, м2 ; У – денежный доход населения – всего, миллиардов рублей.

Полученные данные: Коэффициенты С. О. T -stat С 16,59 0,568581 29,18 Х 0,000451 0,0001170 3,85 R2 = 0,58 D W = 0,32 F stat = 14,89 1) Составим уравнение регрессии: у^= 16,59 + 0,00451 Х (0,5685881) (0,0001170) Цифры, указанные в скобках, являются стандартными ошибками. 2) Интерпретация уравнения При увеличении доходов населения на 1 млрд руб. площадь жилищ на одного жителя увеличивается на 0,0045 м2 . 3) Формулируем нулевую гипотезу о том, что величина &#946;=0, и затем пытаемся опровергнуть ее. Соответствующая t-статистика равна: T-stat C = 29,18 T-stat Х = 3,85 Т.к. в выборку включено 13 наблюдений и мы оцениваем два параметра &#163; и &#946;, то число степеней свободы составляет 11. tкр при 5% уровне значимости с 11 степенями свободы равняется 2,201. причем t-статистика не лежит между значениями -2,201 и 2,201. Следовательно, неравенство -tкритич < b-&#946;0/ с.о.(b) <tкритич - 2,201 < 3,85 < 2,201 не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу, сделав вывод о том, что величина &#946; в действительности отличается от нуля. Формируем аналогично и для &#163; нулевую гипотезу: &#163;=0 -2,201 < 29,18 < 2,201 При случае с &#163; t-статистика также не лежит между значениями 2,201 и – 2,201. Следовательно неравенство -tкритич < a-&#163;0/ с.о.(a) <tкритич не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу. 4) Построим доверительный интервал : Соответствующий 95% доверительный интервал составляет: b- с.о. (b)Х tкритич <&#946; < b+с.о. (b)Х tкритич 0,00451 – 0,0001170 Х 2,201 < &#946; < 0,00451 – 0,0001170 Х 2,201 Иными словами, 0,0042 < &#946; < 0,0048 Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только свыше 0,0048 и не ниже 0,0042. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии.

Доверительный интервал для &#163;: 16,59 – 0,5685881 Х 2,201 < &#163; < 16,59 – 0,5685881 Х 2,201 Иными словами, 15,34 < &#163; < 17,84 Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только свыше 17,84 и не ниже 15,34. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии.

Сделаем вывод о том, что гипотетические значения &#946; и &#163; являются совместимыми с результатом оценивания регрессии. 5) F-тест на качество оценивания: Определим критическое значение коэффициента R2 при любом уровне значимости.

Традиционная процедура состоит в использовании косвенного подхода и выполнения F-теста, основанного на анализе дисперсии: F = 14,89 Отыскиваем величину Fкрит – критическое значение F в соответствующей таблице.

При 1% уровне значимости Fкрит = 9,65. При 5% Fкрит = 4,84. При 1% 14,89 > 9,65, и при 5% 14,89 > 4,84. Уравнение значимо.

Log Коэффициенты С.о. t-stat C 2,235 0,075 29,96 LgX 0,087 0,0098 8,954 R2 = 0,89 D W = 0,598197 F stat = 80,18055 1) Составим уравнение log^ y = 2,235 + 0,087 logx (0,075) (0,0098) Выполнив обратные преобразования, получим: y^ = e 2,235 х 0,087 = 9,35 Х 0,087 2) При увеличении доходов населения на 1% площадь жилищ на одного жителя увеличивается на 0,087%. 3) t-статистика для &#163; равна 29,96 tкр при 5% уровне значимости с 11 степенями свободы равняется 2,201. причем t-статистика не лежит между значениями -2,201 и 2,201. Следовательно, неравенство -tкритич < а-&#163;0/ с.о.(а) <tкритич - 2,201 < 29,96 < 2,201 не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу, сделав вывод о том, что величина &#163; в действительности отличается от нуля. Формируем аналогично и для &#946; нулевую гипотезу: &#946;=0 t= 8,954 t-статистика не лежит между значениями 2,201 и – 2,201. Следовательно, неравенство -tкритич <b -&#946;0/ с.о.(b) <tкритич - 2,201 < 8,954 < 2,201 не выполняется и мы отвергаем нулевую гипотезу. 4) Построим доверительный интервал : Соответствующий 95% доверительный интервал составляет: b- с.о. (b)Х tкритич <&#946; < b+с.о. (b)Х tкритич 0,087 – 0,0098 Х 2,201 < &#946; < 0,087 + 0,0098 Х 2,201 Иными словами, 0,06 < &#946; < 0,11 Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только свыше 0,11 и не ниже 0,06. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии.

Доверительный интервал для &#163;: 2,235 – 0,075 Х 2,201 < &#163; < 2,235 + 0,075 Х 2,201 Иными словами, 2,07 < &#163; < 2,4 Поэтому мы отвергаем гипотетические значения только свыше 2,4 и не ниже 2,07. Любые гипотезы, не входящие за рамки этих пределов, не будут опровергаться полученным результатом оценивания регрессии.

Сделаем вывод о том, что гипотетические значения &#946; и &#163; являются совместимыми с результатом оценивания регрессии. 5) F-тест на качество оценивания: F= 80,18055 Отыскиваем величину Fкрит – критическое значение F в соответствующей таблице.

При 1% уровне значимости Fкрит = 9,65. При 5% Fкрит = 4,84. При 1% 80,18055 > 9,65, и при 5% 80,18055 > 4,84. Уравнение значимо.