ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОПИСАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ

(образован в 1953 году)

___________________________________________

Кафедра Информационных технологий

 

 

Дистанционное обучение

.

.

А.Е. Краснов

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ОПИСАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

(Модуль 1)

Учебно-практическое пособие

Для студентов экономических и управленческих

Специальностей

Www.msta.ru

Москва – 2004

УДК 681.3.06

ББК 65.26с.я73

ã Краснов А.Е. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ОПИСАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ

ОБЪЕКТОВ

Учебно-практическое пособие для студентов экономических и управленческих специальностей. - М.: МГУТУ, 2004. - 76 с.

Содержание

Введение………………………………………………. 4

 

Глава 1. Описание экономических объектов …….. 6

1.1. Описание динамики состояний экономических

объектов ………………………………………….. 6

1.2. Траектории состояний экономических

объектов ………………………………………….. 10

1.3. Оптимальное и условно-оптимальное

управление состояниями экономических

объектов ………………………………………….. 12

1.4. Подготовка принятия управленческих

решений, экспертный подход ситуационного

управления ………………………………………. 15

Вопросы для самопроверки к главе 1 ………………. 22

Глава 2. Описание характерных

Неопределенностей

2.1. Вероятностное описание экономических объектов ………………………………………….. 23 2.2. Вероятностное описание экономических

Введение

Учебно-практическое пособие «Информационные технологии описания состояний экономических объектов» (Модуль 1) является важнейшей составной частью многомодульного курса «Информационные технологии управления экономическими системами».

Целью изучения модуля является освоение студентами практических методов формализации различных профессиональных экономических задач (финансовых, производственных и коммерческих), решаемых в условиях неопределенности на базе единого системного подхода - теории систем и управления.

Изучение модуля предполагает, что студенты уже освоили общеобразовательные дисциплины: «Математика», «Информатика», «Экономическая теория», «Теория вероятностей», «Статистика», «Эконометрика».

Модуль предоставляет студентам сконцентрированные знания, содержащиеся в многочисленных источниках отечественных и зарубежных авторов. При желании студенты могут самостоятельно ознакомиться с литературой, рекомендуемой для дополнительного изучения. Однако, изложенный в пособии материал является самодостаточным для освоения информационных технологий описания состояний экономических объектов в условиях неопределенности и рисков.

Модуль содержит большое количество математических выражений, которые полезны как справочные данные при решении задач на компьютере.

В связи с тем, что в модуле затронут широкий круг вопросов, а объем материала в целом выходит за рамки часов, отведенных для конкретных дисциплин, специальные акценты будут сделаны преподавателями на лекциях и лабораторных занятиях при изучении данных дисциплин.

В модуле в центре внимания находится информационная технология описания состояний экономических объектов в условиях неопределенности. Под неопределенностью понимается неполнота и неточность информации как об самом экономическом объекте, так и среде, в которой он действует.

С формальных позиций информационных технологий каждый экономический объект (ЭО) будь то предприятие в целом, производственный, финансовый или коммерческий процесс, или отдельная операция обязательно имеет конкретную структуру, определяемую как внутренними свойствами самого объекта, так и его связями с внешним рынком. Важнейшим является выделение главных составляющих структуры и описание их связей с помощью совокупности различных параметров (констант и переменных). После описания структуры ЭО необходимо выделить основные переменные, которые при неизменной структуре объекта подвержены изменению в процессе его функционирования. Собственно, ради изменения этих переменных (например, количества продукции, прибыли) создается и поддерживается сама структура ЭО. Совокупность данных переменных полностью определяет динамическое состояние ЭО. Изменение динамического состояния в нужном направлении осуществляется с помощью управления - совокупности денежных, материальных и информационных средств. Замена начального состояния ЭО на требуемое его конечное состояние является целью управления. Однако в силу определенных ограничений, присущих конкретному ЭО, каждому управлению ставят в соответствие количественные критерии ограничения и критерии качества управления.

Еще раз отметим, что модуль ориентирован на изучение достаточно полно разработанных в математике и технике информационных технологий описания состояний ЭО. В этом собственно и заключается его главное отличие от многих, в том числе, приведенных в списке литературы«Системы управления технологическими процессами и информационные технологии» учебников и монографий – в модуле изучаются не экономические проблемы, а проблемы применения информационных технологий для описания состояний экономических объектов на известных экономических примерах. Поэтому модуль не может заменить собою материалы сугубо экономических дисциплин, описывающих сущности экономических объектов и характерные для них примеры (большинство таких примеров взято автором из приведенной литературы).

Модуль состоит из 2-х глав, заканчивающихся вопросами для самоконтроля. В конце модуля приводятся тесты по темам модуля. Правильные ответы на тесты студенты могут найти в соответствующих разделах модуля.

Глава 1 модуля содержит информационную технологию описания состояний экономических объектов в виде формализованных математических моделей.

Глава 2 модуля содержит информационную технологию описания различных видов неопределенностей, встречающихся при описании состояний экономических объектов.

Глава 1. Описание экономических объектов

1.1. Описание динамики состояний

экономических объектов.

Любые финансовые, производственные и коммерческие предприятия или их объединения, соответствующие им действия или операции (как на микро, так и макро уровнях), а также процессы (последовательность операций) на системном уровне возможно рассматривать как некоторые динамические объекты, обладающие определенными структурами, входами и выходами. Это позволяет производить численное моделирование их деятельности с целью поиска приемлемых (наилучших), а иногда и оптимальных (с точки зрения определенных критериев) управляющих решений.

Экономический объект (ЭО) на самом верхнем (целевом) уровне может быть описан структурой, приведенной на рис. 1.1.

 

Рис. 1.1

Все входы и выход ЭО образованы материальными («жирные» линии), финансовыми («тонкие» линии) и информационными (пунктирные линии) потоками данных. Через эти потоки ЭО связывается с другими объектами. В то же время следует различать операционные (вход, выход) и управляющие (управление) потоки данных.

По входу и выходу состояние ЭО характеризуется его основными технико-экономическими показателями, совокупность которых (например, из N показателей) и образуют операционные потоки данных (производственная мощность, выпуск продукции в натуральном выражении, товарная продукция, …, прибыль). Некоторым выделенным компонентам таких потоков ставят в соответствие “N-мерный” вектор S_t = (S_t1, S_t2, … S_tN) состояния (State) ЭО, зависящий от дискретного времени Dt * t, где t = 0, 1, 2, … T, а Dt – основная единица времени существенного изменения состояния ЭО (квант времени). Изменяющиеся во времени (в общем случае разнородные) переменные S_nt называют динамическими переменными ЭО.

Не вдаваясь в иерархию внутренних и внешних связей ЭО, их структуру описывают “M-мерным” вектором P_t = (P_t1, P_t2, … P_tM) внутренних и внешних (определяемых рынком) структурных параметров (Parameters), также изменяющихся со временем (например, себестоимость товарной продукции, численность персонала, …, рыночная цена товара, коэффициенты инфляции и налогообложения, и т.п.). Естественно, что «текущее» состояние ЭО (состояние в данный “t-ый” момент времени) будет как функцией его внутренних и внешних структурных параметров, так и времени – S_t = F(P_t; t). Как правило, исследуют ЭО со стационарной или квазистационарной структурой, у которых вектор структурных параметров либо не изменяется со временем, либо изменяется значительно медленнее вектора состояния.

Вектор состояния ЭО возможно изменять с помощью дополнительного потока данных (управления), также связанного с материальными, финансовыми и информационными ресурсами. Этому потоку ставят в соответствие “L-мерный” вектор C_t = (C_t1, C_t2, … C_tL) управления (Control). Тогда текущее состояние ЭО будет также зависеть и от вектора управления S_t = F(C_t; P_t; t).

В настоящем пособии рассматривается управление именно состояниями (S_t) ЭО и не затрагивается управление их структурами (P_t).

В условиях неопределенности описания ЭО вводят также “Q-мерный” вектор H_t = (H_t1, H_t2, … H_tQ) неконтролируемых возмущений или, так называемых, помех (Hindrances), действующих на ЭО. Помехи могут непосредственно аддитивно воздействовать на структурные параметры ЭО (H_t º dP_t, P_t Þ P_t + dP_t), поток управляющих данных (H_t º dС_t, С_t Þ С_t + dС_t), или же примешиваться к вектору его состояния (H_t º dS_t, S_t Þ S_t + dS_t). В общем случае возможно совместное воздействие помех на ЭО в целом. Тогда текущее состояние ЭО будет зависеть как от контролируемых, так и неконтролируемых величин S_t = F(C_t; P_t; t½H_t). Поскольку поток помех является случайным процессом, то и поток состояний ЭО также условный случайный процесс – поток данных, обусловленный помехой, что отмечают знаком “½”.

Наконец, учитывают воздействие на текущий вектор состояния ЭО входного потока, но определяемого его предшествующими векторами состояний. Такое воздействие образуется благодаря обратной связи, организуемой через другие объекты (внешнюю по отношению к рассматриваемому объекту рыночную среду). Например, если скалярная динамическая переменная S_t обозначает объем выпускаемой продукции в “t-ый” период времени, то в условиях ее реализации и расширенного воспроизводства (возврата в производство части вырученных средств) данный объем будет через накопление зависеть от объемов продукции S_t-1, S_t-2, … S_t-m, выпущенной в “m” предшествующих периодов. Возможно также учесть эффект временного запаздывания и у других введенных выше величин – аргументов функции F. Поэтому в самом общем случае получают многомерное динамическое уравнение состояния ЭО в виде разностной зависимости («m»-го порядка) с соответствующими начальными условиями S₀, C₀, P₀

S_t = F(S_t-1, S_t-2,…S_t-m; C_t, С_t-1, С_t-2, …C_t-m; P_t, P_t-1, P_t-2,…P_t-m; t½H_t),

S_t=0 = S₀, C_t=0 = C₀, P_t=0 = P₀ . (1.1.1)

Зависимость или оператор F может задаваться с помощью формул (полиномиальных, тригонометрических, показательных или иных аналитических функций), графиков или таблиц. Так, например, одномерное динамическое уравнение состояния линейного ЭО в самом общем случае представляют линейным разностным уравнением:

S_t = ++ H_t , (1.1.2)

где скалярные параметры a_k и b_k являются компонентами вектора P структурных параметров ЭО.

Объекты, описываемые приведенными общими уравнениями, называют регрессионно-авторегрессионными объектами, или, кратко, РАР-объектами («m»-го порядка). Объекты, описываемые уравнениями частного вида

S_t = + H_t , S_t = + H_t , (1.1.3)

называют регрессионными объектами, или, кратко, Р-объектами («m»-го порядка). Второе уравнение описывает статический объект с «m» входами и одним выходом. Объекты, описываемые уравнением

S_t = + H_t , (1.1.4)

называют авторегрессиоными объектами, или, кратко, АР-объектами («m»-го порядка).

Для многих экономических задач при исследовании зависимости состояний ЭО от непрерывного времени “t” и аналитическом задании функции Fдинамическое уравнение состояния задают в виде дифференциального уравнения первого порядка

dS(t)/dt = F[S(t); C(t); P(t); t½H(t)], (1.1.5)

эквивалентного разностному уравнению частного вида (первого порядка) S_t = F(S_t-1; C_t; P_t; t½H_t) при дискретном времени “t”.

С учетом принятых обозначений ЭО можно рассматривать как функциональный или операционный элемент с P_t динамической структурой, рекуррентно (по шагам) преобразующий по закону F поток входных данных S_t-1, S_t-2, …S_t-r в поток выходных данных S_t при наличии управляющего потока C_t и помех H_t (рис. 1.1.2).

 

Рис. 1.1.2

 

1.2. Траектории состояний экономических объектов.

При заданных управлениях и отсутствии помех временную динамику (эволюцию) состояний ЭО можно изобразить графически с помощью серии N диаграмм (по числу скалярных величин вектора S_t), как показано на рис. 1.2.1.

 

 

 

Рис. 1.2.1

Как видно из рисунка, для разных управлений (C^* и C^**) будут реализованы различные траектории компонент вектора состояния ЭО.

Диаграммы, подобные изображенным на рис. 1.2.1, широко используют в системах контроля качества продукции при входном (метод Тагучи) и выходном контролях изделий по выбранным параметрам их состояний.

При наличии помех и заданном управлении данные траектории характеризуют случайные процессы. На рис. 1.2.2 показаны отдельные реализации таких процессов, соответствующие серии опытов над ЭО при одном и том же управлении C.

По рис. 1.2.1 и 1.2.2 видно, что, изменяя управление, возможно компенсировать нежелательное воздействие помех, т.е. формировать траектории компонент вектора состояния ЭО в нужном «направлении».

 

Рис. 1.2.2

Другое наглядное представление динамики состояний ЭО получают в, так называемом, фазовом пространстве состояний. Данное пространство образовано компонентами вектора состояний объекта, последовательность положений которого (во времени) образует фазовую траекторию. Фазовые траектории неявно зависят от времени. При наличии помех заданному управлению будет соответствовать серия траекторий, а при большом (теоретически бесконечном) числе опытов данная серия образует компактную трубку траекторий (рис. 1.2.3).

 

 

Рис. 1.2.3

Если при изменении управления изменяется форма трубки (как и отдельные траектории), а объект может быть переведен за конечное время T из одного (начального) состояния S₀ в другое заданное (конечное) S_T, то он считается управляемым. В общем случае невозможно изменять фазовую траекторию произвольным образом, поскольку существуют определенные ограничения на возможные совокупности значений компонент векторов состояний и управления. На рис. 1.2.3 такие ограничения на совокупность значений компонент вектора состояний показаны в виде областей (W₁, W₂, W₃), недоступных для этого вектора.

Выбор управления при наличии данных ограничений и некоторых дополнительных критериев (критериев качества управления) в условиях реальных помех и составляет основную задачу управления.

 

1.3. Оптимальные и условно-оптимальные управления

состояниями ЭО.

На рис. 1.3.1 показана схема взаимодействия ЭО с внешней средой (рынком), а также принцип управления его состояниями.

 

 

Рис. 1.3.1

Как уже отмечалось, функционирование ЭО и его взаимодействие с внешней рыночной средой описывают оператором F. Эволюция ЭО происходит под контролем некоторой системы управления (менеджера), на входе которой присутствует поток S^*_t задающего воздействия, представляющего собой некоторую плановую инструкцию (план) о том, какой должен быть поток состояний (фазовая траектория) объекта. Этот план должен конкретизировать цель управления, например, чтобы в идеальном случае удовлетворялось условие S_t = S^*_t. Причиной нарушения этого условия является рассмотренная выше помеха, порождаемая внешней средой, а также ограничением ресурсов управления.

Система управления реализует принцип обратной связи на основе коррекции потока состояний объекта в «сторону» плана по знаку и величине невязок – отклонений DS_nt = S_nt - S^*_nt компонент вектора состояний объекта. Критерий качества или целевой критерий управления оценивают с помощью вектора функционалов Á= (Á₁, Á₂, …Á_k … Á_K) – набора K чисел, зависящих от потока S_t состояний объекта, плана S^*_t, управления C_t, вектора P_t структурных параметров и времени t – Á_k = Á_k(S_t; S^*_t; C_t; P; t). Такие функционалы иногда называют траекторными, т.к. они непосредственно зависят от формы фазовых траекторий S_t, S^*_t ЭО и плана. Например, критерий среднеквадратичного отклонения (СКО) или среднеквадратичной невязки

Á = СКО = , (1.3.1)

где коэффициенты g_n вводят для устранения различий в размерности разнородных компонент s_n. Например, при g_n = 1/(max_t S^*_nt)², Á – безразмерная величина. Иногда используют критерий, связанный со скоростью изменений невязок

Á = . (1.3.2)

Управление, основанное на критериях типа (1.3.1, 1.3.2) и поддерживающее состояние ЭО на уровне заданного плана, называют регулированием.

Во многих экономических задачах используют траекторные функционалы Á_k = Á_k(S_t; C_t; P_t; t), не зависящие от плана, а определяемые лишь одними фазовыми траекториями S_t ЭО. С помощью аналогичных функционалов выражают также ограничения на возможные значения величин компонент векторов управления и состояния объекта. Так, например, критерий

Á = (1.3.3)

выражает суммарные денежные затраты на управление, если C_t(S_t; P_t; t) соответствует финансовому потоку, связанному с конкретными структурой P и траекторией S_t ЭО.

Математически цель управления можно рассматривать как достижение экстремума (максимума или минимума) величины Á_k (критерий оптимальности). Для критерия среднеквадратичного отклонения необходимо, чтобы Á_k = min. По величине разности Á _k – Á _min или какой-нибудь монотонной функции этой разности, обращающейся в нуль при Á_k = Á_min, можно судить о качестве работы системы управления. Для относительно простых задач (малая размерность вектора состояния объекта) методом динамического программирования из уравнения Á _k = Á _min находят как оптимальное управление, так и план – оптимальную траекторию S^*_t .

Для функционалов, характеризующих ограничения, выдвигают требования Á_k £ 0. Большое количество экономических задач, связанных с задачами оптимизации при дополнительных ограничениях, решают с помощью математического программирования (линейного, целочисленного, нелинейного).

Сложность оптимального управления ЭО заключается в том, что большинство реальных экономических задач связано не с одним, а многими целевыми критериями. В то же время, управление необходимо осуществлять в условиях неопределенности: наличии неизвестных помех H; при нестабильной внешней среде, когда изменяются структурные параметры P ЭО и приоритеты выбранных критериев, а иногда и сами критерии. Большой класс задач составляют задачи, решаемые в условиях неопределенности, когда целевые функциональные критерии Á_k = Á_k(S_t; C_t; P_t | H_t) зависят от неизвестных помех H_t, т.е. сами являются неопределенными. В таких ситуациях практически бесполезно формировать оптимальное управление. Невозможно оптимизировать неизвестную величину!

В таких ситуациях обычно ограничиваются условно-оптимальным управлением, используя ряд целевых критериев и ограничений, зарекомендовавших себя на практике и связанных с отдельными финансовыми и материальными компонентами вектора состояния ЭО. В зависимости от характера помех и условий возможны различные методы условно-оптимального управления. Так, например, критерий (1.3.1) квадратичного отклонения при наличии аддитивных случайных помех H_nt, когда S_tn = S^*_tn + H_tn, приводит к усредненному функционалу среднеквадратичного отклонения (СКО)

Á ^* = СКО = áÁ (S_t(C_t); S^*_t)ñ = (1.3.4)

= = .

Минимизация критерия (1.3.4) соответствует широко распространенному обобщенному методу (взвешенных) наименьших квадратов (ОМНК). Использование усредненных функциональных критериев приводит к условно-оптимальному управлению – управлению при условии «оптимальности в среднем» или иных ограничений.

Условно-оптимальное управление ЭО как раз и рассмотрено в пособии.

 

1.4. Подготовка принятия управленческих решений,

экспертный подход ситуационного управления.

В последнее время в рамках условно-оптимального управления сформировался подход, связанный с подготовкой принятия решений (ППР) для лиц, принимающих эти решения (ЛПР). Подход хорошо зарекомендовал для достаточно узкого круга задач, с относительно стационарными внешними условиями и там, где уже существует некоторый управленческий опыт в различных ситуациях. При этом считается, что для некоторых эталонных ситуаций, описываемых различными векторами P_m структурных параметров (m = 1, 2, … M), уже существуют некоторые условно-оптимальные траектории S_mt и соответствующие им управления C_mt, определенные опытными специалистами - экспертами. Для всех эталонных траекторий определены также функционалы Á_m = Á(S_mt; C_mt; P_m; t).

Далее, для некоторой новой ситуации P ¹ P_m необходимо подготовить принятие управленческого решения – определить возможные управления. Приближенно, экспертный подход, используемый для решения задачи ситуационного управления, можно описать с помощью следующих шагов.

1. Вычисляют некоторые меры m_m = m_m(P, P_m) сходства между векторами структурных параметров новой и всех эталонных ситуаций.

2. Выбирают наиболее похожую/похожие эталонные ситуации, для которых m_m = m_m(P, P_m) максимальны.

3. Нормируют меры сходства выбранных ситуаций m_m = m_m(P, P_m) Þ m^*_m, åm^*_m = 1.

4. Строят начальное приближение нового вектора управления на основе интерполяции, например, линейной – в виде выпуклой линейной комбинации управлений C_mt для выбранных эталонных ситуаций, т.е. C^*_t = å_m m^*_m C_mt (управление по ситуациям).

5. Регистрируют в течение некоторого времени t реальную траекторию S_t вектора состояний ЭО и вычисляют нормированные меры сходства h^*_m = h^*_m(S_t, S_mt) между реальной и эталонными траекториями.

6. Вычисляют значения Á = Á(S_t; C_t; P; t) и Á_m = Á(S_mt; C_mt; P_m; t) функционалов для реальной и эталонных траекторий.

7. Вычисляют нормированные меры сходства c^*_m = c^*_m(Á,Á_m) между функционалами Á и Á_m.

8. На основании полученных мер h^*_m и c^*_m сходства выдают рекомендации для ЛПР. Например, – скорректировать управление, пересчитав его в виде C^**_t = å _m h^*_m C_tm, или C^**_t = å _m c^*_m C_tm (управление по состояниям).

 

Пример 1.4.1. Некоторые эталонные динамические уравнения состояний курса доллара ($) на фондовом рынке, на коротком интервале времени, могут быть описаны в разных ситуациях моделями линейных трендов (см. рис. 1.4.1)

S_1t = P₁₁ * t + P₁₀ – курс 1 (ситуация 1), P₁₁ = 0,5; P₁₀ = 1;

S_2t = P₂₁ * t + P₂₀ – курс 2 (ситуация 2), P₂₁ = -0,5; P₂₀ = 1,5;

S_3t = P₃₁ * t + P₃₀ – курс 3 (ситуация 3), P₃₁ = -0,7; P₃₀ = 1,4,

где P₁ = (P₁₁, P₁₀), P₂ = (P₂₁, P₂₀), P₃ = (P₃₁, P₃₀) – векторы структурных параметров фондового рынка в разных ситуациях. Пусть некая фирма принимает эталонные управления (решения): C₁ = = (C₁₁, C₂₁) – покупать количество C₁₁ (C₁₁ < 0) валюты 1 (марки) и продавать (C₂₁ > 0) валюту 2 (франки) в ситуации 1; C₂ = (C₁₂, C₂₂) – покупать валюту 1 (C₁₂ < 0) и продавать количество C₂₂ валюты 2 (C₂₂ > 0) в ситуации 2; C₃ = (C₁₃, C₂₃) – продавать количество C₁₃ валюты 1 и продавать количество C₂₃ валюты 2 в ситуации 3. Тем самым, фирма управляет своим состоянием на фондовым рынке, а косвенно и самим рынком.

Какое же решение принять фирме в незапланированной ситуации курса $ с линейным трендом (см. рис. 1.4.1)

S_?t = P₁ * t + P₀ .

при векторе P = (P₁, P₀) структурных параметров? Пусть, например,

P₁ = 0,3, а P₀ = 1,3.

Из рисунка видно, что ситуация все время изменяется, складываясь вначале на условном интервале времени (0 ¸ t^*) в пользу решений C₂, C₃, а на интервале времени (t^*¸ t) – в пользу решений C₁, C₂. Воспользуемся рассмотренными выше шагами экспертных решений для более точных оценок ситуационного управления.

 

 

 

Рис. 1.4.1

 

Решение примера 1.4.1.

1. Вычислим меры m_m = m_m(P, P_m) сходства между новой и всеми эталонными ситуациями, например как

. (1.4.1)

Отсюда получим:

m₁ = 2*(0,3*0,5+1,3*1)/[(0,3²+1,3²)+(0,5²+1²)] = 0,957; (1.4.2)

m₂ = 2*(-0,3*0,5+1,3*1,5)/[(0,3²+1,3²)+(0,5²+1,5²)] = 0,841;

m₃ = 2*(-0,3*0,7+1,3*1,4)/[(0,3²+1,3²)+(0,7²+1,4²)] = 0,761.

2. Исходя из (1.4.2) определяем, что наиболее похожими к неизвестной являются ситуация 1 и ситуация 2.

3. Нормируем меры сходства выбранных ситуаций

m^*₁ = m₁/(m₁ + m₂ + m₃) = 0,957/(0,957+0,841+0,761) = 0,374;

m^*₂ = m₂/(m₁ + m₂ + m₃) = 0,841/(0,957+0,841+0,761) = 0,329;

m^*₃ = m₃/(m₁ + m₂ + m₃) = 0,761/(0,957+0,841+0,761) = 0,297;

m^*₁ +m^*₂ +m^*₂ = 1. (1.4.3)

4. Построим начальное приближение нового вектора управления

C^* = = m^*₁ C₁ + m^*₂ C₂ +m^*₃ C₃ или (1.4.4)

C^*₁ = m^*₁ C₁₁ +m^*₂ C₁₂+m^*₃ c₁₃ = 0,374 C₁₁ +0,329 C₁₂+0,297 C₁₃;

C^*₂ = m^*₁ C₂₁ +m^*₂ C₂₂+m^*₃ C₂₃ = 0,374 C₂₁+0,329 C₂₂+0,297 C₂₃.

Нормирование, проведенное в п. 3, дает возможность в любой эталонной ситуации, а также в неизвестной ситуации предоставлять на операцию с валютой 1 и 2 фиксированную сумму C_å = C₁₁ + C₂₁ = C₁₂ + C₂₂ = C₁₃ + C₂₃ = C^*₁ + C^*₂, т. е. диверсифицировать (разделять) средства для операции с двумя валютами. Это соответствует вполне реальной и разумной стратегии управления в условиях риска.

5. Вычислим нормированные меры сходства h^*_m = h^*_m(S_t, S_mt) между реальной и эталонными траекториями по аналогии с мерами (1.3.1)

h_m = (1.4.5)

= .

Отсюда, например, лишь для двух эталонных ситуаций, получим:

h₁ =;

h₂ = ; (1.4.6)

h^*₁ = h₁/(h₁+h₂); h^*₂ = h₂/(h₁+h₂).

Меры сходства h^*₁ и h^*₂, вычисленные для разных t по формулам 1.4.6, показаны на диаграмме рис. 1.4.2.

Рис. 1.4.2

 

Из диаграммы наглядно видно, что, начиная с момента t^** = = 1,25 приоритет следует отдавать покупке валюты 1 в пропорции h^*₁, что согласуется с рис. 1.4.1

 

6. Вычислим значения Á = Á(S_t; C_t; P; t) и Á_m = Á(S_mt; C_mt; P_m; t) функционалов для реальной и эталонных траекторий, задавая их в виде

Á =; (1.4.7)

Á _m = .

Отсюда получим:

Á = 0,3 * t²/2 + 1,3 * t, (1.4.8)

Á₁ = 0,5 * t²/2 + t, Á₂ = – 0,5 * t²/2 + 1,5 * t.

7. Вычислим нормированные меры сходства c^*_m = c^*_m(Á,Á_m) между функционалами Á и Á_m

c_m(Á,Á_m) = 2*(Á * Á _m) / ( Á ² +Á ²_m ), (1.4.9)

c^*₁= c₁ / (c₁+c₂), c^*₂ = c₂ / (c₁+c₂).

Меры сходства c^*₁ и c^*₂, вычисленные для разных t по формулам (1.4.8 и 1.4.9), показаны на диаграмме рис. 1.4.3.

Рис. 1.4.3

Сравнивая диаграммы рис. 1.4.2 и 1.4.3, можно сделать вывод о том, что выбор вида функционалов 1.4.2 и 1.4.6 незначительно влияет на меры сходства. В связи с этим в дальнейшем предпочтение отдается функционалам типа Á_k = Á_k(S_t; C_t; P_t; t), определяемым лишь одними фазовыми траекториями S_t ЭО. Тем самым, выбирается управление по состояниям ЭО.

8. Заключительная рекомендация для выработки управления (управленческого решения) по двум эталонным ситуациям может быть сформулирована в виде:

- выделять средства на валюту 1 в количестве

C^*₁ (t) = c^*₁ (t) C₁₁ + c^*₂ (t) C₁₂; (1.4.10)

- выделять средства на валюту 2 в количестве

C^*₂ (t) = c^*₁ (t) C₂₁ + c^*₂ (t) C₂₂.

Рассмотренный пример справедлив, как уже отмечалось, для короткого интервала времени. Понятия коротких интервалов для фондового рынка относительны. Так, например, реальная траектория для курса валют в некотором выбранном масштабе времени выглядит, как показано на рис. 1.4.4. В этом случае необходимо разбивать траекторию на линейные краткосрочные участки и применять к ним вышерассмотренный подход.

 

Рис. 1.4.4

Как видно из рисунка, возможны короткие интервалы различной длительности.

Уже отсюда видно, что в реальных условиях большого числа коротких временных интервалов и большого числа различных валют количество эталонных ситуаций может быть огромным. Информация о них должна храниться в памяти ЭВМ в виде базы данных (БД). При этом необходимо производить и огромное число вычислений типа (1.4.1 ¸ 1.4.10). Алгоритмы данных вычислений и правила использования результатов вычислений должны храниться в памяти ЭВМ в виде базы знаний (БЗ). Вместе с тем необходима соответствующая автоматизация рутинных работ по вводу информации, ее организации, управлению вычислениями. В настоящее время для этого существуют специализированные программные средства – системы управления базами данных (СУБД), пример использования которых дан в специальном модуле.

Вопросы для самопроверки к главе 1

2. Объясните на известном простом примере такие понятия. как: состояния, структура, управление, помехи ЭО. Что такое динамические переменные ЭО,… 3. Дайте содержательную трактовку линейного разностного уравнения (1.1.2)… 4. Изобразите фазовую траекторию состояний ЭО, соответствующую линейной зависимости динамических переменных от…

Глава 2. Описание характерных неопределенностей

Экономических объектов

Характерные неопределенности, встречающиеся в описании состояний ЭО как помехи, условно можно разделить на два класса: вероятностные и нечеткие. Вероятностные помехи различных значений динамических переменных ЭО описываются… Нечеткие помехи различных значений динамических переменных ЭО задаются лишь диапазонами их значений и некоторыми…

Вопросы для самопроверки к главе 2

2. Как связана выборочная вероятность или частость случайного экономического события с его теоретической вероятностью? Приведите содержательный… 3. Поясните природу помех в авторегрессионных моделях, описывающих динамику… 4. Что такое статистически независимые события? Как математически описываются вероятности независимых событий?

Тренировочные задания

1. Проведите самостоятельный вывод формулы (1.4.5) в примере 1.4.1 (стр. 19).

2. Решите пример 1.4.1. (стр. 16), используя в качестве нового вектора структурных параметров вектор P = (P₁, P₀), где значения P₁ и P₀ задайте самостоятельно, но такими, чтобы они удовлетворяли соотношениям:

-1 ≤ P₁ ≤ 1, а 1 ≤ P₀ ≤ 2.

Решение примера проведите до пункта 4 включительно по алгоритму, изложенному на стр. 18. Постройте диаграмму, подобную диаграмме рис. 1.4.1 на стр. 17.

3. С помощью диаграммы Венна (рис. 2.1.2, стр. 28) изобразите множество

[A È (B’ Ç C)]’.

Используя правило де’ Моргана (стр. 29) преобразуйте данное выражение.

4. Используя пример 2.2.1 (стр. 37) найдите вероятности событий для ситуаций, изображенных в таблице.

 

Автомобили	Тип двигателя
A	B	C
Тип кузова	D	x	y	z
E	f	g	h
F	p	q	r

Количество всех выпускаемых автомобилей N = x + y + z + f + g + h + p + q + r. Какова вероятность покупки автомобиля с кузовом типа E при условии, что двигатель будет типа C?

5. Решите пример 2.2.2 (стр. 38) при условии, что

q₁ = 30%, q₂ = 40%, q₁₂ = 20%, q₀ = 50%,

p₁ = 50%, p₂ = 30%.

6. Решите пример 2.2.3 (стр. 39) при условии, что 60% приборов собираются из высококачественных деталей. Для приборов, собранных из высококачественных деталей, вероятность безотказной работы за время гарантии – 96%. Для приборов, собранных из обычных деталей, вероятность безотказной работы за время гарантии – 80%.

7. Решите пример 2.2.4 (стр. 40) при условии, что вероятность выигрыша для 1-го брокера изменяется от 80% до 40% с шагом 10%. Постройте график зависимости апостериорной вероятности выигрыша 1-го брокера.

8. Решите пример 2.2.5 (стр. 41) при условии, что производилось неудачное испытание одной единицы оборудования, трех единиц оборудования.

9. Решите пример 2.3.1 (стр. 42) при условии, что переговоры проводятся с пятью фирмами, а вероятность заключения сделки – 50%. Найдите вероятность заключения трех сделок. Найдите вероятность заключения 5 сделок при переговорах с 10 фирмами.

10. Решите пример 2.3.3 (стр. 45) при условии, что переговоры проводятся с 5-ю фирмами, а p₅ = 0,5.

11. Решите пример 2.3.4 (стр. 45) при условии, что менеджер 6 раз обратился к одной и той же фирме по телефону.

12. Фондовый рынок описывается нечетким распределением (типа 2.6.6, стр. 61) валют (доллары и рубли) в некоторых диапазонах. Доллары – в диапазоне $100000 ¸ $500000; рубли – в диапазоне 3000000 р. ¸ 15000000р. Найти значение нечеткой функции распределения, учитывая текущий курс отношения доллара к рублю.

 

Тесты по темам модуля

1. Состоянием (вектором состояния) экономического объекта (ЭО) называется: 1.1 Зависимость от времени целенаправленно изменяемых параметров… 1.2 Совокупность изменяемых во времени основных параметров экономической деятельности;

Список рекомендованной литературы

1. Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. – М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998. - 400 с.

Словарь основных понятий и сокращений

S – вектор состояния ЭО (набор параметров, определяющих динамику основных показателей ЭО). P – вектор структурных параметров ЭО (набор параметров, определяющих… C – вектор управления ЭО (набор параметров, определяющих поток данных (управления), связанных с материальными,…