Реферат Курсовая Конспект
Доверительные интервалы - раздел Экономика, ЭКОНОМЕТРИКА Введем Случайную Величину ...
|
Введем случайную величину
. (13.1)
Нетрудно проверить, что xÎN(0,1), вследствие чего
.
Полагая , получим после элементарных преобразований, что с
вероятностью a выполняется неравенство
. (13.2)
Интервал называется доверительным интервалом, отвечающим доверительной вероятности a . Если, к примеру, k=2, доверительная вероятность a=0.955. Значению k=3 отвечает вероятность a = 0.997 (правило «трех сигм»). Но для использования указанных доверительных интервалов на практике нужно знать стандартное отклонение s. Если значение s неизвестно, для его оценки используется величина . В этом случае можно ввести случайную величину
,
которая имеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы [3]. Не выписывая здесь соответствующей функции распределения, приведем несколько значений доверительной вероятности a(k, n), отвечающих доверительному интервалу
. (13.3)
При k=2 и n=3 имеем a=0.817; при k=2 и n=7 вероятность a=0.908 ;
a(3,3)=0.905; a(3,5)=0.96. С ростом n различие между распределением Стьюдента и Гауссовым распределением становится меньше, при n=20 этим различием в большинстве случаев можно пренебречь.
Регрессионные модели мы строим по данным наблюдениям (xi,yi), i = 1,2,....n. Пусть значения x = x* не совпадают с xi. Чему будет равна величина y = y* и с какой погрешностью ее можно найти?
Попытаемся ответить на этот вопрос для случая парной линейной регрессии с нулевым свободным членом
yi = bxi + ei ,
где eiÎN(0,s), i = 1,2...n.
Параметр b оцениваем методом наименьших квадратов:
Sei2 = S(bxi – yi)2 ® min,
S(bxi – yi)xi = 0,
= (13.4)
Из формулы (13.4) следует, что оценка является гауссовой случайной величиной с математическим ожиданием
E= = = b
(оценка несмещенная) и дисперсией
D= (13.5)
Величина σ2 , как правило, неизвестна и ее следует оценить. Для этого составим сумму квадратов ошибок
Sei2 = S(bxi – yi)2 = S(bxi –xi +xi - yi)2 =
= Sxi2 (b-)2 + Σ(xi –yi)2+ 2Sxi(b-)(xi- yi). (13.6)
Математическое ожидание ESei2 = SЕei2 = nσ2.
Вычисление математического ожидания в правой части равенства (13.6) дает
Sxi2 D+ EΣ(xi –yi)2,
так как математическое ожидание последнего слагаемого равно нулю. Поэтому
nσ2 = Sxi2 D+ EΣ(xi –yi)2.
С учетом формулы (13.5) получим
(n-1)σ2 = EΣ(xi –yi)2 .
Теперь ясно, что величина
S 2 = Σ(xi –yi)2 (13.7)
будет несмещенной оценкой для σ2. Множитель (n-1) указывает на то, что, располагая только одним наблюдением (x1, y1), нельзя получить оценку S 2, так как возникает неопределенность вида 0/0.
Для определения доверительного интервала оценки , отвечающего доверительной вероятности α, рассмотрим случайную величину
ξ = (b-),
имеющую нормальное распределение N(0,1). Заменив σ оценкой S , придем к случайной величине
η = (b-),
имеющей распределение Стьюдента с (n-1) степенями свободы. Для прогнозируемого значения y* регрессионная модель дает значение
y* =x* + e,
при этом Ey* = bx*, Dy*=( x*)2D+ De = σ2 .
Заменим дисперсию σ2 оценкой S2 из (13.7):
(Sy*)2 = S 2 .
Доверительный интервал для прогнозируемых величин y* будет определяться распределением Стьюдента. Его границы вычисляются по формуле
y = y* ± Sy*t(n-1, 1-a/2),
где a - доверительная вероятность (например, a = 0,95), (n-1) – число степеней свободы. Статистические пакеты вычисляют эти границы и дают их графическое представление.
Совершенно аналогично рассматривается общий случай множественной линейной регрессии
y =Fq + e.
Можно показать, что
Dy* = (x*)TQ x* + s2,
где xi = (x1,x2,...xn)*; Q = covq= s2(FTF)-1. Поэтому
Dy* = s2[(x*)T (FTF)-1x* +1].
Несмещенной оценкой для s 2 является число
S 2 = . (13.8)
Поэтому оценка среднеквадратичного отклонения y* будет
Sy* = S[(x*)T (FTF)-1x* +1]1/2,
а граница доверительного интервала
y = y* ± Sy*t(n-m, 1-a/2).
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
На сайте allrefs.net читайте: экономических специальностей...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Доверительные интервалы
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов