рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Доверительные интервалы

Доверительные интервалы - раздел Экономика, ЭКОНОМЕТРИКА   Введем Случайную Величину ...

 

Введем случайную величину

. (13.1)

Нетрудно проверить, что xÎN(0,1), вследствие чего

.

Полагая , получим после элементарных преобразований, что с

вероятностью a выполняется неравенство

. (13.2)

Интервал называется доверительным интервалом, отвечающим доверительной вероятности a . Если, к примеру, k=2, доверительная вероятность a=0.955. Значению k=3 отвечает вероятность a = 0.997 (правило «трех сигм»). Но для использования указанных доверительных интервалов на практике нужно знать стандартное отклонение s. Если значение s неизвестно, для его оценки используется величина . В этом случае можно ввести случайную величину

,

которая имеет распределение Стьюдента с n-1 степенью свободы [3]. Не выписывая здесь соответствующей функции распределения, приведем несколько значений доверительной вероятности a(k, n), отвечающих доверительному интервалу

. (13.3)

При k=2 и n=3 имеем a=0.817; при k=2 и n=7 вероятность a=0.908 ;

a(3,3)=0.905; a(3,5)=0.96. С ростом n различие между распределением Стьюдента и Гауссовым распределением становится меньше, при n=20 этим различием в большинстве случаев можно пренебречь.

Регрессионные модели мы строим по данным наблюдениям (xi,yi), i = 1,2,....n. Пусть значения x = x* не совпадают с xi. Чему будет равна величина y = y* и с какой погрешностью ее можно найти?

Попытаемся ответить на этот вопрос для случая парной линейной регрессии с нулевым свободным членом

yi = bxi + ei ,

где eiÎN(0,s), i = 1,2...n.

Параметр b оцениваем методом наименьших квадратов:

Sei2 = S(bxi – yi)2 ® min,

S(bxi – yi)xi = 0,

= (13.4)

Из формулы (13.4) следует, что оценка является гауссовой случайной величиной с математическим ожиданием

E= = = b

(оценка несмещенная) и дисперсией

D= (13.5)

Величина σ2 , как правило, неизвестна и ее следует оценить. Для этого составим сумму квадратов ошибок

Sei2 = S(bxi – yi)2 = S(bxi xi +xi - yi)2 =

= Sxi2 (b-)2 + Σ(xi –yi)2+ 2Sxi(b-)(xi- yi). (13.6)

Математическое ожидание ESei2 = SЕei2 = nσ2.

Вычисление математического ожидания в правой части равенства (13.6) дает

Sxi2 D+ EΣ(xi –yi)2,

так как математическое ожидание последнего слагаемого равно нулю. Поэтому

nσ2 = Sxi2 D+ EΣ(xi –yi)2.

С учетом формулы (13.5) получим

(n-1)σ2 = EΣ(xi –yi)2 .

Теперь ясно, что величина

S 2 = Σ(xi –yi)2 (13.7)

будет несмещенной оценкой для σ2. Множитель (n-1) указывает на то, что, располагая только одним наблюдением (x1, y1), нельзя получить оценку S 2, так как возникает неопределенность вида 0/0.

Для определения доверительного интервала оценки , отвечающего доверительной вероятности α, рассмотрим случайную величину

ξ = (b-),

имеющую нормальное распределение N(0,1). Заменив σ оценкой S , придем к случайной величине

η = (b-),

имеющей распределение Стьюдента с (n-1) степенями свободы. Для прогнозируемого значения y* регрессионная модель дает значение

y* =x* + e,

 

при этом Ey* = bx*, Dy*=( x*)2D+ De = σ2 .

Заменим дисперсию σ2 оценкой S2 из (13.7):

(Sy*)2 = S 2 .

Доверительный интервал для прогнозируемых величин y* будет определяться распределением Стьюдента. Его границы вычисляются по формуле

y = y* ± Sy*t(n-1, 1-a/2),

где a - доверительная вероятность (например, a = 0,95), (n-1) – число степеней свободы. Статистические пакеты вычисляют эти границы и дают их графическое представление.

Совершенно аналогично рассматривается общий случай множественной линейной регрессии

y =Fq + e.

Можно показать, что

Dy* = (x*)TQ x* + s2,

где xi = (x1,x2,...xn)*; Q = covq= s2(FTF)-1. Поэтому

Dy* = s2[(x*)T (FTF)-1x* +1].

Несмещенной оценкой для s 2 является число

S 2 = . (13.8)

Поэтому оценка среднеквадратичного отклонения y* будет

Sy* = S[(x*)T (FTF)-1x* +1]1/2,

а граница доверительного интервала

y = y* ± Sy*t(n-m, 1-a/2).

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЭКОНОМЕТРИКА

На сайте allrefs.net читайте: экономических специальностей...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Доверительные интервалы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Состав исходной информации
Основной базой исходной информации для эконометрических исследований служат данные статистики либо данные бухгалтерского учета. Исследуемые эконометрикой взаимосвязи стохастичны по своей природе, т

Интерполяционный полином Лагранжа.
  Пусть имеется зависимость y = f(x) между величинами x и y, для которой нам известны отдельные точки (xi,yi), i = 0,1,2,…,

Случай 1.
Через одну точку (x0, y0) можно провести пучок прямых y = y0+b(x-x0) (2.1) (а также вертикальную пря

Случай 2.
Через две различные точки (x0,y0), (x1,y1) проходит одна и только одна прямая. Если x0 ¹

Случай 3.
Многочлен второй степени (квадратичная функция), график которой проходит через три точки (x0,y0), (x1,y1), (x2

Случай n.
Теперь ясно, что интерполяционный полином Лагранжа n-ой степени, график которого проходит через n+1 точку (xi,yi), i=0,1,2,…,n, можно записать в ви

Парная линейная регрессия. Метод наименьших квадратов
  Пусть имеется n пар чисел (xi, yi), i=1,2,…,n, относительно которых предполагается, что они отвечают линейной зависимости между величинами x и y:

Множественная линейная регрессия.
  Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Но, существует обычно нескол

Нелинейные модели.
  Мы изучили применение метода наименьших квадратов для определения параметров, которые входят в функциональные зависимости линейно. Поэтому для них в параграфах 3 и 4 получились сист

Системы одновременных эконометрических уравнений.
  Объектом статистического изучения в социально-экономических науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии

Составляющие временного ряда
  Временной ряд x(t) – это множество значений величины x, отвечающих последовательности моментов времени t, т.е. это функция t®x(t), которая обычно считает

Определение составляющих временного ряда
  Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость последовательных значений

При этом коэффициенты ak, bk будут равны
Если функция x (t) четная, т.е. выполняется равенство x (-t) = x (t ), то в

Временной ряд как случайный процесс
  Пусть значение экономического показателя x( t ) в любой момент времени t представляет собой случайную величину X (t ). Предположим, что слу

Модели ARIMA
  В эконометрике анализ временных рядов с использованием оценки спектральной плотности (спектральный анализ) играет, как правило, вспомогательную роль, помогая установить периоды хара

Учет сезонных составляющих
  Обобщение модели ARIMA, позволяющие учесть периодические (сезонные) составляющие временного ряда было предложено Дж. Боксом и Г. Дженкинсом [2]. Этот метод реализован в систе

Анализ погрешностей исходной информации
  Значения экономических показателей обычно известны неточно, с некоторой погрешностью. Рассмотрим основные правила обработки данных, содержащих погрешности, или ошибки измерений. Пус

Расчет погрешностей.
  Эмпирические данные часто подвергаются математической обработке – над ними выполняются арифметические операции сложения, вычитания, умножения и деления, в некоторых случаях

Коэффициент детерминации.
  Коэффициент детерминации характеризует качество регрессионной модели. Значения различных величин, получ

Средняя ошибка аппроксимации.
  Фактические значения интересующей нас величины отличаются от рассчитанных по уравнению регрессии. Чем меньше это отличие, чем ближе рассчитанные значения подходят к эмпирическим дан

Принцип максимального правдоподобия. Построение регрессионных моделей при гетероскедастичности ошибок
Для нахождения неизвестных величин по результатам измерений, содержащих случайные погрешности, служит метод наименьших квадратов (МНК). Определяемые величины обычно связаны уравнениями, образующими

Статистические гипотезы
  В предыдущих параграфах рассматривалась методика моделирования взаимосвязей экономических показателей и процессов. С помощью полученных уравнений регрессии моделировалась эта связь.

F – статистика
  Значимость регрессионной модели определяется с помощью F-критерия Фишера. Для этого вычисляется отношение

T – статистика
  Для оценки значимости отдельных параметров регрессионной модели y=a+bx+e их величина сравнивается с их стандартной ошибкой. При этом рассчитывается так называемый

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги