ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ИГР

Цель: ознакомиться с методами решения экономических задач в условиях конфликтных ситуаций используя математическую модель теории матричных игр на ЭВМ.

Рассмотрим методы принятия управленческих решений в условиях конфликта, когда в ситуации участвуют две стороны, интересы которых противоположны. Это могут быть, например, отношения продавца и покупателя, банка и заемщика, истца и ответчика. Для решения таких задач используют методы теории игр, для анализа которых удобно использовать ЭВМ.

Пусть в игре участвуют два игрока А и В. Игрок А имеет n чистых стратегий, а игрок В – m стратегий. А выигрывает у В сумму a_ij, если А выбрал вариант i (i=1,2,…,n), а В выбрал вариант j (j=1,2,…,m). Тогда платежная матрица игры имеет вид:

a₁₁ a₁₂ …a_1m

A = [a_ij ] = a₂₁ a₂₂ …a_2m

………..

a_n1 a_n2 …a_nm

Для нахождения вероятностей p_i и q_j оптимальных смешанных стратегий необходимо решать прямую и двойственную задачи линейного программирования (ЗЛП) вида:

а) прямая ЗЛП – минимизировать Z= x₁+x₂+…+x_n

при ограничениях

a₁₁x₁+a₂₁x₂+…+a_n1x_n ≥ 1,

a₁₂x₁+a₂₂x₂+…+a_n2x_n ≥ 1, (5.1)

……………………. ……

a_1mx₁+a_2mx₂+…+a_nmx_n≥ 1,

x₁, x₂,…,x_n ≥ 0.

Обращаем внимание: строка ограничения формируется из столбца платежной матрицы!

Решая ее, находим оптимальное решение x₁*, x₂*,…,x_n*, откуда, разделив на Z*=x₁*+x₂*+…+x_n*, получаем оптимальную стратегию для игрока А (р₁*, р₂*,.., р_n*), которая заключается в применении i-й чистой стратегии с частотой р_i*= х_i*/ Z*.

б) двойственная ЗЛП – максимизировать F=y₁+y₂+…+y_m→max;

при ограничениях

a₁₁y₁+ a₁₂y₂+ …+ a_1my_m ≤1;

a₂₁y₁+ a₂₂y₂+ …+ a_2my_m ≤1; (5.2)

…………………………..

a_n1y₁+ a_n2y₂+ …+ a_nmy_m ≤1;

y₁≥0; y₂≥0; … y_m ≥0.

Здесь строка ограничения формируется из строки платежной матрицы.

Решая данную ЗЛП, находим оптимальное решение у₁*, у₂*,…,у_m*, откуда, разделив на F*=y₁*+y₂*+…+y_m*, получаем оптимальную стратегию для игрока B (q₁*, q₂*,.., q_m*), которая заключается в применении j-й чистой стратегии с частотой q_j*= y_j*/ F*.

Затем находим цену игры g =1/Z*=1/F*.

ПРИМЕР 5.1.Две конкурирующие коммерческие организации А и В выпускают продукцию одного вида. Каждая организация планирует проведение рекламной акции, причем маркетологи каждой компании предложили четыре сценария ее проведения A₁, A₂, A₃, A₄ – для компании А и B₁, B₂, B₃, B₄ – для компании В. Ожидаемая прибыль для кампании А при каждой ее стратегии A_i и ответе B_j представлена в платежной матрице:

Ai Bj	B1	B2	B3	B4
A1
A2
A3
A4

Необходимо найти оптимальные стратегии для обоих игроков А и В в предположении, что чем больше выигрыш одного игрока, тем он меньше для другого. Определить среднюю прибыль А.

Рассмотрим задачу со стороны игрока А. Для ее решения нужно составить соответствующую задачу линейного программирования, то есть необходимо найти минимум функции

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ →min;

при ограничениях:

70x₁ + 60x₂ + 20x₃ + 50x₄≥1;

30x₁ + 50x₂ + 60x₃ + 70x₄ ≥1;

20x₁ + 40x₂ + 80x₃ + 30x₄ ≥1;

50x₁ + 80x₂ + 60x₃ + 50x₄ ≥1;

x₁ ≥0; x₂ ≥0; x₃ ≥0; x₄ ≥0.

Для решения данной ЗЛП на ЭВМ также используют надстройку EXCEL «Поиск решения».

Подготовим предварительно в электронной таблице данные.

Запускаем программу MS Excel, вводим в ячейку А1 открывшейся электронной таблицы подпись «Переменные», а в следующие ячейки В1-Е1 произвольные значения переменных x₁, x₂, x₃, x₄. Это вначале могут быть произвольные числа, например единицы. Далее, в ячейку А2 вводим подпись «Целевая», а в соседнюю ячейку В2 значение целевой функции (переключившись в английский режим набора текста): «=B1+С1+D1+Е1» или =SUMM(B1:E1), что означает формулу x₁ + x₂ + x₃ + x₄. В третьей строке вводятся левые части системы ограничений. Для этого переводим курсор в ячейку А3 и вводим в ней текст «Ограничения», а в ячейку В3 формулу «=70*В1+60*C1+20*D1+50*E1», которая соответствует левой части первого ограничения системы. Три остальных ограничения вводим в ячейки С3-В3, а именно,

в ячейку С3: «=30*В1+50*C1+60*D1+70*E1»,

в D3: «=20*В1+40*C1+80*D1+30*E1»,

в ячейку Е3: «=50*В1+80*C1+60*D1+50*E1».

После этого вызываем надстройку Сервис/Поиск решения, в поле «Установить целевую ячейку» даем ссылку на В2. Ниже, в области «Равной», поставить переключатель на минимальное значение. Ставим курсор в поле «Изменяя ячейки», и даем ссылки на переменные, обводя мышью ячейки В1-Е1.

Далее, переводим курсор в поле «Ограничения», и вводим ограничения. Для этого нажимаем на кнопку «Добавить» и в появившемся окне в поле «Ссылка на ячейку» даем ссылку на ячейки, содержащие левые части всех четырех ограничений, которые хранятся в ячейках В3:Е3 (то есть переводим курсор в поле «Ссылка на ячейку» и обводим мышью ячейки В3:Е3). В центральном поле выбираем знак неравенства – ограничения : «≥», в поле «Ограничение» вводим единицу. Нажимаем «ОК». Для ввода дополнительных ограничений x₁≥0; x₂≥0; x₃≥0; x₄≥0 нажимаем «Добавить», в поле «Ссылка на ячейку» ставим курсор и обводим ячейки В1-Е1, выводим в центральное поле «≥», ограничение «0», нажимаем «ОК». Результат на рис.5.1.

Рисунок 5.1 Окно «Поиск решения» прямой ЗЛП

Для запуска вычислений нажимаем кнопку «Выполнить». Появляется надпись, что решение найдено. Выбираем «Сохранить найденное решение» и нажимаем «ОК» – видим результат (рис.5.2): x₁=0, x₂ =0,015, x₃ =0,05, x₄ =0, что видно из ячеек В1-Е1.

Рисунок 5.2 Решение прямой ЗЛП примера 5.1

Вводим в А5 подпись «Цена игры», а в соседнюю В5 формулу (переключаясь на английский язык) «=1/(В1+С1+D1+Е1)» или =1/В2. Результат: 50. Это средняя вероятность выигрыша для игрока А. Находим вероятности чистых стратегий в смешанной стратегии р. Для этого вводим в А6 подпись «Р1=», а в соседнюю В6 формулу «=В5*В1», вводим в А7: «Р2=», а в В7 формулу «=В5*С1», в А8: «Р3=», а в В8: «=В5*D1», в А9: «Р4=», в В9: «=В5*Е1». Данные показатели и есть решение задачи (рис.5.3).

Рисунок 5.3 Решение примера 5.1 для игрока А

Рассмотрим теперь решение относительно игрока В.

ЗЛП для игрока В имеет вид:

y₁+ y₂+ y₃+ y₄→ max;

70y₁+30y₂+ 20y₃+ 50y₄≤1;

60y₁+ 50y₂+ 40y₃+ 80y₄≤1;

20y₁+ 60y₂+ 80y₃+ 60y₄≤ 1;

50y₁+ 70y₂+ 30y₃+50y₄≤1;

y₁≥0; y₂≥0; y₃≥0; y₄≥0.

Переходим на «Лист2» электронной таблицы, щелкнув на соответствующей закладке внизу таблицы. Вводим в ячейки открывшейся чистой электронной таблицы в ячейку А1 надпись «Переменные», а в следующие ячейки В1-Е1 произвольные значения переменных, например, цифры 1. В ячейку А2 вводим подпись «Целевая». Вводим в ячейку В2 значение целевой функции (переключившись в английский режим набора текста): «=B1+С1+D1+Е1», что означает формулу y₁+ y₂+ y₃+ y₄. В третьей строке вводятся левые части системы ограничений. Для этого переводим курсор в ячейку А3 и вводим в ней текст «Ограничения». Переключившись в английский режим клавиатуры, вводим в ячейку В3 формулу «=70*В1+30*C1+20*D1+50*E1», которая соответствует левой части первого ограничения системы.

Вводим в ячейку С3: «=60*В1+50*C1+40*D1+80*E1»,

в D3: «=20*В1+60*C1+80*D1+60*E1»,

в ячейку Е3: «=50*В1+70*C1+30*D1+50*E1».

После этого вызываем в меню «Cервис» надстройку «Поиск решений». В поле «Установить целевую ячейку» даем ссылку на В2. Ниже, в области «Равной», поставить переключатель на максимальное значение.

Ставим курсор в поле «Изменяя ячейки», и даем ссылки на переменные, обводя мышью ячейки В1-Е1. Далее, переводим курсор в поле «Ограничения», и вводим ограничения. Для этого, нажимаем на кнопку «Добавить» и далее в поле «Ссылка на ячейку» обводим ячейки В3:Е3, содержащие левые части всех четырех ограничений, в центральном поле выбираем знак неравенства – ограничения: «≤», в поле «Ограничение» вводим единицу. Нажимаем «ОК». Для ввода дополнительных ограничений y₁≥0; y₂≥0; y₃≥0; y₄≥0 нажимаем «Добавить», в поле «Ссылка на ячейку» ставим курсор и обводим ячейки В1-Е1, выводим в центральное поле «≥», ограничение «0», нажимаем «ОК». Результат на рис.5.4.

Рисунок 5.4 Окно «Поиск решения» обратной ЗЛП

Далее запускаем программу, нажимая «Выполнить». Результат решения обратной ЗЛП в ячейках В1-Е1. Вводим в А5 подпись «Цена игры», а в соседнюю В5 формулу (переключаясь на английский язык) «=1/(В1+С1+D1+Е1)». Находим вероятности чистых стратегий q в смешанной стратегии игрока В. Для этого вводим в А6 подпись «q1=», а в соседнюю В6 формулу «=В5*В1», вводим в А7: «q2=», а в В7 формулу «=В5*С1», в А8: «q3=», а в В8: «=В5*D1», в А9: «q4=», в В9: «=В5*Е1». Данные показатели и есть решение задачи для игрока В (рис.5.5).

Рисунок 5.5 Решение примера 5.1 для игрока В

ПРИМЕР 5.2.Построить прямую и двойственную задачи линейного программирования для решения матричной игры, заданной платежной матрицей:

A=

Прямая и двойственная задачи линейного программирования

имеют вид:

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ →min;

ax₁ + 3x₂ + 4x₃ + 6x₄ + 7x₅ ≥1;

6x₁ + ax₂ + 2x₃ + 3x₄ + x₅ ≥1;

3x₁ +5x₂ +ax₃ +2x₄ +8x₅ ≥1;

9x₁ +2x₂ +6x₃ + ax₄ +3x₅ ≥1;

x_i ≥0; i=1,2,3,4,5.

 

y₁ + y₂ + y₃ + y₄ →max;

ay₁ + 6y₂ + 3y₃ + 9y₄ ≤1;

3y₁ + ay₂ + 5y₃ + 2y₄ ≤1;

4y₁ + 2y₂ + ay₃ +6y₄ ≤1;

6y₁ + 3y₂ + 2y₃ + ay₄ ≤1;

7y₁ + y₂ + 8y₃ + 3y₄ ≤1;

y_j≥0; j=1,2,3,4.

Из решения игры можно найти цену игры

g =1/( x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅) =1/( y₁ + y₂ + y₃ + y₄)

и вероятности состояний

p_i = x_i g, (i = 1,2,3,4,5); q_j = y_j g, ( j =1,2,3,4) .

Задание 5.1. Самостоятельно с использованием ЭВМ решить поставленные в примере 5.2 ЗЛП и найти оптимальные смешанные стратегии для игроков А и В.

Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта.

Отчет должен содержать решения поставленных ЗЛП (значения переменных x_i u y_j , значения целевых функций), смешанные стратегии для обоих игроков и цену игры g.

Задание 5.2. Директор предприятия А заключает договор с конкурирующей фирмой В о реализации своей продукции на конкретной территории областного центра. Конкурирующие стороны выделили пять районов области. Каждая из них может развивать свое производство в этих пяти районах: A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ – для стороны А и B₁, B₂, B₃, B₄, B₅ – для В. Вероятности успеха для стороны А приведены в платежной матрице:

AiBj	B1	B2	B3	B4	B5
A1
A2					30+а
A3	30+а
A4
A5			30+а

Определить оптимальные стратегии для каждой стороны.

Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта.

Отчет должен содержать математические модели ЗЛП, составленные для игроков А и В, их решения, оптимальные смешанные стратегии для игроков А и В, цену игры g, выводы, в каких районах предприятие А должно реализовывать свою продукцию и в каких пропорциях, чтобы получить оптимальную прибыль вне зависимости от поведения конкурента В и чему равна эта прибыль.

Задание 5.3. Решить игру, описанную платежной матрицей для обоих игроков (матрица приведена для игрока А).

АiВj	В1	В2	В3	В4	В5
А1		a
А2			a
А3				а
А4					a

Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта.

Отчет должен содержать математические модели ЗЛП, составленные для обоих игроков, полученные в результате решения на ЭВМ смешанные стратегии для обоих игроков и цену игры g.