Основное уравнение модели Солоу

Очевидно, что если бы удалось проследить во времени изменение величины фондовооруженности k, то можно было бы установить и изменения всех переменных модели (3.13)—(3.17).

Можно показать, что динамика величины k описывается дифференциальным уравнением

(3.18)

Согласно общей теории существования и единственности решения дифференциальных уравнений (условия которой в рассматриваемом случае выполнены), если задано начальное состояние k_н, то существует одна и только одна траектория k(t), которая удовлетворяет уравнению (3.18) и начинается из заданного состояния k_н=k(0).

Процедуре получения основного уравнения модели можно дать следующую интерпретацию.

Если бы прирост рабочей силы был нулевым, и основные фонды не изнашивались, то фондовооруженность увеличилась бы на S/L =sf. Износ фондов в объеме mК уменьшает это значение на mК/L = mk.

Чтобы фондами по норме k была вооружена и вновь вовлекаемая рабочая сила DL, требуется DLk единиц трудовых ресурсов, что в расчете на каждого занятого составит величину DLk/L, или в пределе L`k/L, что с учетом (3.17) равно gk. Таким образом, общий прирост фондовооруженности равен разности sf — mk — gk, о чем и свидетельствует уравнение (3.18).

Среди траекторий, удовлетворяющих уравнению (3.18) существует особая, стационарная, траектория, вдоль которой начальное значение фондовооруженности сохраняется постоянным на все моменты времени (рис. 3.5).

На рис. 3.5 f(k) — зависимость производительности труда от фондовооруженности; j(k) — зависимость прироста фондовооруженности от фондовооруженности; k* — стационарное значение фондовооруженности.

Проследим изменение основных переменных моделей при постоянной фондовооруженности. Прежде всего, чтобы фондовооруженность во времени не менялась, необходимо и достаточно, чтобы k(0) = K(0)/L(0) = k*, т.е. в нулевой момент времени необходимо находиться на стационарной траектории. Тогда на основании того, что K(t) = =L(t)k* и того, что L растет с постоянным темпом, следует .

Рис. 3.5. Графическая интерпретация

основного уравнения модели Солоу

Аналогично,

Y(0) =f(k*)L(0), Y(t) =f(k*)L(t),

и поэтому

Таким образом, вдоль стационарной траектории фондовооруженности все основные переменные модели растут с постоянным во времени темпом, равным темпу роста рабочей силы g. Отношения между основными переменными модели при этом не меняются. В частности, не изменяются средняя производительность труда Y(t)/L(t) =f(k*), средняя фондоотдача Y(t)/K(t) = k*f(k*), фонд потребления на одного занятого .

На стационарной траектории значение фонда накопления точно совпадает со значением, которое необходимо для поддержания фондовооруженности на первоначальном уровне. Для этого следует, во-первых, поддерживать на постоянном уровне фондовооруженность уже используемой рабочей силы и, во-вторых, вооружить по той же норме вновь вовлекаемую в процесс производства рабочую силу. Добиться такого совпадения удается только для одного значения фондовооруженности — для значения k*. При k(0)¹k* оказывается, что фондовооруженность автоматически стремится к значению k* (хотя никогда не достигает его). Иными словами, стационарная траектория k* является устойчивой.

Сходимость траекторий к k* происходит монотонно. Если значение k в некоторый момент времени больше значения k* , то j(k) < 0, или, что равносильно, k' < 0. Следовательно, величина k во времени мононотонно убывает. Скорость этого процесса характеризуется второй производной по времени k". Очевидно, что

Так как при k> k*функция j(k) убывает, то , поэтому k"<0.

Если в некоторый момент времени k< k * то и k">0. Величина k во времени монотонно возрастает. Вторая производная может быть как положительной, так и отрицательной. Существует такое значение , что при функция j(k) возрастает, , и поэтому k">0, а при производная и поэтому k"<0. Временные диаграммы при различных начальных значениях k_н представлены на рис. 3.6.

Вместе с тем очевидно, что при стабилизируются и выравниваются темпы роста основных переменных К, Y, С, S, приближаясь к темпу роста рабочей силы. Одновременно стабилизируются отношения между данными переменными. В этом смысле стационарная траектория описывает тенденцию, или направление развития экономики.