Метод последовательных уступок

Предположим, что критерии расположены в порядке убывающей важности: сначала основной (главный) критерий W, затем другие, второстепенные — K1, К2, КЗ,.... Для простоты будем считать, что каждый из них максимизируется (заметим, что, если требуется минимизировать критерий, достаточно изменить его знак).

Процедура нахождения компромиссного решения сводится к следующему. Сначала ищем решение, обращающее в максимум показатель эффективности W. Затем назначается, более или менее произвольно, «уступка» DW этом показателе, которую мы согласны допустить, чтобы обратить в максимум следующий критерий (например, мы согласны на теплотрассе вместо 10% потерь иметь 12%, если этой ценой можно обратить в максимум число жилых зданий, обслуживаемых этой теплотрассой). Далее налагаем на показатель эффективности условие, чтобы он был не меньше W_max — DW, и при этом ограничении находим решение, обращающее в максимум критерий К1.

Снова назначаем «уступку» DК1 в критерии К1, за счет чего обращаем в максимум следующий критерий К2 и т.д.

Такой способ последовательного построения компромиссного решения удобен тем, что мы всегда видим, ценой какой уступки в одном критерии приобретаем выигрыш в другом.

Отметим, что свобода выбора решения, приобретаемая ценой даже незначительных уступок, может оказаться существенной, так как в районе максимума обычно эффективность решения меняется очень слабо.

Вопрос о методах свертывания критериев тесно соприкасается и даже является частью более общей постановки вопроса о методах объединения операций или, что то же самое, вопроса о методах разбиения операции на более мелкие.

При формировании единого критерия объединенной операции можно представить себе две различные ситуации.

1. Суммарный критерий объединенной операции имеет вид

Wc = F(W₁, W₂, ..., Ws),

где Wj — значения критерия для j-го компонента операции, т.е. критерий суммарной операции есть функция только критериев частных операций.

2. Суммарный критерий может быть представлен только как функция фазовых координат новой операции, но не сводится к функции частных критериев. В этом случае операция не имеет ничего общего по своей цели с частными критериями и, значит, является новой операцией, только базирующейся на активных средствах прежних частных операций.

Чтобы понять эти две различные ситуации, представим, что при проектировании какого-либо микрорайона решаются ряд задач:

—прокладка транспортных маршрутов, где в качестве критерия выбрано минимальное время нахождения пассажиров в пути;

—проектирование сетей теплоснабжения, где критерием является минимум тепловых потерь на трассе;

—проектирование жилой застройки, где в качестве критерия выбран максимум числа поселяемых жителей;

—проектирование торговых центров, где критерием выбран максимум пропускной способности магазинов и т.д.

Можно представить себе объединенную операцию — проектирование микрорайона в целом с единым критерием — минимальные суммарные затраты на строительство. При этом единый критерий представляет собой некоторую функцию перечисленных критериев задач, так как очевидно от них зависит.

В качестве фазовых координат задачи, или, иначе говоря, ее параметров, могут выступать застраиваемая площадь, объемы расходуемых строительных материалов, типы и количество используемой строительной техники, расход топлива, электроэнергии и т.п.

Если же на этой же территории решено строить стартовую площадку космических кораблей, где в качестве единого критерия также выбрана минимальная стоимость строительства, то этот критерий никак не связан с частными критериями, рассмотренными ранее, так как новая операция не имеет ничего общего по своим целям с предыдущей, хотя также использует в качестве фазовых координат площадь застройки, объемы строительных материалов, строительную технику и т.п.

Естественно поэтому, что под объединением операций и получением комплексного, единого критерия следует понимать только первый случай.

5.3. Метод построения операционных математических моделей

Основной особенностью операционной методологии является поиск оптимального решения на базе математической модели и использование для ее анализа математического аппарата. Предшествующий построению математической модели всесторонний количественный анализ той или иной задачи оптимизации — неотъемлемая часть методологии исследования операций. Этот анализ осуществляется в соответствии с принципами системного подхода и предполагает, как уже отмечалось, выявление всех существенных элементов задачи и их взаимосвязей.

Степень соответствия хода операции поставленной цели характеризуется достигаемым значением функционала

- критерия оценки (показателя эффективности).

Процесс проектирования как операция имеет целью получение оптимального объекта проектирования, имеющего наилучшие возможные свойства: минимальный вес, минимальную стоимость, максимальную энерговооруженность, максимальную прибыль, минимальный срок окупаемости, минимум капиталовложений и т.п. В такой постановке создание оптимального объекта (например, системы управления производством) формализуется в виде задачи математического программирования, в которой критерий оценки отражает основную цель операции, а система ограничений обеспечивает выполнение всех требований к объекту проектирования. При этом автоматизированное проектирование оптимальных объектов и систем на основе математических методов с использованием компьютеров содержит две основные задачи:

— разработка математической модели объекта проектирования, содержащей все основные технико-экономические требования к создаваемому объекту или системе (работоспособность, технологичность, допустимая стоимость и т.п.);

— организация такого вычислительного процесса, который автоматизирует выполнение всех требований математической модели.

Схема метода построения операционных математических моделей оптимальных объектов проектирования, позволяющих на основе формализованного представления процесса проектирования как операции синтезировать оптимальные по заданному критерию параметры объекта, представлена на рис. 5.3. Семантическая модель проектируемого объекта, представляющая собой словесное описание требований, обеспечивающих процесс функционирования конструкции на всех этапах ее существования, формируется на основании технического задания.

Каждое из требований, записанное в виде математических выражений (для аналитических моделей), графов или матриц (для топологических моделей) или семантических правил (для семантических моделей), устанавливает основные взаимосвязи оптимизируемых параметров:

— геометрические, позволяющие по полученным значениям
искомых оптимизируемых параметров х₁, x₂, х₃, ..., х_п, а также по совокупности параметров а₁ а₂, а₃, ..., а_т, заданных в качестве исходной информации, воспроизвести объект с той степенью детализации, которая необходима проектировщику при решении данной конкретной задачи;

— энергетические, устанавливающие зависимость энергосиловых характеристик объекта от оптимизируемых параметров;

— механические, описывающие кинематические и динамические характеристики объекта (взаимное расположение узлов и деталей конструкции в процессе ее функционирования, внешние усилия, инерционные силы, силы трения, масса конструкции и т.п.);

— прочностные, обеспечивающие работоспособность конструкции в целом и отдельных ее узлов из условий прочности, жесткости, долговечности;

— конструкторско-технологические, описывающие специальные конструкторские требования, а также технологические ограничения;

— экономические, включающие в себя ограничения ресурсов проектной задачи, требования к сбыту, торговле, организационной системе.

В случае невозможности формализовать какое-либо из требований в виде математических зависимостей необходимы дополнительные теоретические и экспериментальные исследования.

Из указанных зависимостей в соответствии с основной целью проектирования формируется целевая функция:

Ф =f(x_p х₂, х₃, ... , х_п; а,, а₂, а₃, ... , а_т)

Остальные связи параметров, записанные в виде равенств и неравенств, являются ограничениями, составляющими вместе с целевой функцией математическую модель объекта, которая на этом этапе создания должна быть подвергнута испытаниям на компьютере и, в случае необходимости, скорректирована на уровне качественной модели или математического описания.

Построенная таким образом математическая модель воспроизводит образ проектируемого объекта, отвечающего всем технико-экономическим требованиям, предъявляемым в рамках данных конкретных задач проектирования, и может быть занесена в банк математических моделей информационной системы, поддерживающей разработку управленческих решений.

Если полученная таким образом математическая модель состоит из линейной целевой функции, и входящие в систему ограничения равенства и (или) неравенства также линейны, то такая модель относится к классу оптимизационных задач линейного программирования, и в этом случае могут быть использованы характерные для такого класса задач методы решения (графический, симплекс-метод).

Таким образом, операционная математическая модель представляет собой агрегат (совокупность) алгоритмов, описывающих функциональные свойства проектируемого объекта. Эта модель в пространстве фазовых координат, образованных гиперповерхностями входящих в модель ограничений, воспроизводит (синтезирует) образ проектируемого объекта, отвечающего всем технико-экономическим требованиям, предъявляемым в рамках данных конкретных задач проектирования.

Одной из проблем принятия решений в современных условиях становится лавинообразный рост информации, сопутствующий процессу принятия решения. Вступив в информационную эпоху, человечество может или зайти в тупик, если объем информации превысит наши возможности по ее восприятию и обработке, или же сделает качественный скачок, если придет к экстрасенсорному восприятию информации — восприятию ее в образах, переводя речь и письмо на вспомогательный уровень.

В свете изложенного одной из серьезных задач информационного общества является развитие эффективных методов организации информационного пространства и «упаковки», концентрации информации. В качестве инструмента организации пространства сегодняшние информационные технологии предлагают базы данных и всевозможные СУБД, дающие возможность организовать информационные потоки (аналогично стеллажам хранилища книг в библиотеке) и осуществить, таким образом, первый уровень упаковки, свертки информации.

Следующим уровнем упаковки информации применительно к объектам и процессам событийного пространства (главным образом, объектов материальной природы)являются так называемые эконометрические модели (корреляционные зависимости), позволяющие математически описать статистически значимую связь каких-либо параметров объекта, представив в виде формулы информационный образ какого-либо определенного свойства объекта (например, зависимость объемов продаж от дальности перевозок продукции). Такая свертка информации способна одной формулой заменить огромную совокупность точек информационного пространства, описывающих определенный процесс событийного пространства и хранящихся, например, в базах данных в виде таблиц, отчетов, ведомостей и т.п.

Более высоким уровнем свертки информации для материальных объектов и процессов является операционная модель объекта или системы, особенности которой описаны выше. Поскольку операционная математическая модель представляет собой агрегат алгоритмов, описывающих все основные свойства объекта, именно она является полноценным информационным образом этого объекта, позволяющим осуществить материальное воспроизводство этого объекта в событийном пространстве. Можно вместе с тем утверждать, что сегодня операционная математическая модель является высшим уровнем плотности упаковки информации применительно к объектам искусственной среды, по крайней мере, в классе математических моделей. В то же время имеются объективные трудности при создании математических моделей сложных систем и суперсистем, к которым относятся социально-экономические системы, с одной стороны, из-за сложности их математического описания, с другой стороны — из-за проблем компьютерной обработки таких моделей. Последнее обстоятельство, правда, с развитием информационных технологий становится все менее значимым.

Но даже в этом случае, при достаточно достоверном и адекватном математическом описании объекта вопрос об однозначном материальном его воспроизведении на основе информационного образа остается открытым. Все определяется полнотой и степенью детализации информационного образа. Совершенно очевидно, что при описании (моделировании) объекта на макроуровне создаются объективные предпосылки неоднозначности воспроизведения, что порождается неопределенностью информации, неполнотой описания объекта, дающей определенную свободу действий или материализации информационного образа. Таким образом, по одной и той же модели могут быть получены различные материальные объекты.

Еще наглядней эта неоднозначность проявляется в объектах, информационные образы которых представлены не математическими моделями, а другими субстанциями. Так, например, обстоит дело с объектами архитектурного творчества. Продукт творчества архитектора — это информационный образ, который может быть реализован в событийном пространстве десятками различных способов: здесь и различные конкретные конструктивные исполнения заданного архитектурного решения (число конструктивных элементов, способ их сочленения), и разнообразные строительные и отделочные материалы, и использование тех или иных технологий строительства.

Как видим, даже в относительно простых случаях, относящихся к объектам искусственной среды, нельзя гарантировать статистически значимую однозначность воспроизводства материального объекта по его информационному образу. Вместе с тем, если вернуться к рассмотрению упомянутых объектов архитектуры, то совершенно ясно, что, несмотря на множество различий в конкретных воспроизводимых материально объектах, ни у кого не возникнет сомнений, что речь идет об одном и том же произведении архитектуры. Любой, рассматривающий в целом этот объект (или группу таких объектов), не усомнится в их идентичности в целом, на уровне замысла архитектора, независимо от того, что на уровне статистически значимых различий в материалах, технологии и т.п. такой идентичности нет. Таким образом, и в этих случаях, не являющихся уникальными явлениями, в полной мере действует сформулированный К.Г. Юнгом принцип «синхронистичности», являющийся, как отмечает Юнг, «оценкой ситуации в целом».

Вот эта «оценка ситуации в целом» крайне важна как концептуальный признак возможного направления в поиске эффективных методов упаковки информации: для определенных уровней иерархических систем предоставлять информацию, упакованную по этому принципу,«в целом», обеспечивая с одной стороны, соблюдение принципа синхронистичности (и тем самым — адекватности), с другой стороны, избавляя, например, топ-менеджмент от перегрузки деталями, актуальными на других, более низких уровнях принятия решений.

5.4. Оптимизация бизнес-проектов на основе операционных математических моделей

Операционная математическая модель является достаточно универсальным средством поддержки управленческих решений, поскольку она является, по сути, информационным образом проектируемого объекта (бизнес-проекта). Подход, основанный на операционной методологии, с учетом высоких вычислительных возможностей современных программно-технических комплексов, позволяет отказаться от традиционного взгляда на классы математических моделей. В условиях работы с современными информационными системами и информационными технологиями становится практически безразлично, является ли полученная операционная математическая модель линейной или нелинейной, относится ли она к классу транспортных задач или задач управления запасами. Важным является лишь грамотная формализация бизнес-проекта и использование эффективного метода математического программирования. Современные программные средства поддерживают решение достаточно сложных оптимизационных задач. В частности, в программном продукте Microsoft Excel имеется мощный решатель «Поиск решения», в который встроены наиболее эффективные вычислительные алгоритмы метода сопряженных градиентов и метода Ньютона.

Таким образом, операционная математическая модель базируется на инвариантной по отношению к виду бизнес-проекта процедуре определения типовой триады эффективного управления:

1) определение цели проектас формализацией этой цели
ввиде критерия эффективности;

2) определение управляемых переменных, изменение которых
влияет на достижение поставленной цели;

3) описание ограниченных ресурсов бизнес-проекта, которые формализуются в виде системы ограничений задачи математического программирования.

Что касается ресурсов, то их следует понимать достаточно широко в качестве тех факторов, которые в общем случае препятствуют достижению цели. Это могут быть внутренние ресурсыпредприятия, выражающие ограниченные производственные мощности по всем аспектам производства продукции, препятствующие получению большей прибыли. К внешним ресурсаммогут быть отнесены ограниченные возможности сбыта готовой продукции (емкость рынка), обязательные поставки продукции по договорам (заметим, что договорные обязательства также относятся к ограниченным ресурсам, так как по договорам поставки продукции необходимо производить, даже если это оказалось экономически невыгодно). Такие ограничения также препятствуют получению большей прибыли.

Рассмотрим задачу управления производством на основе операционной математической модели. Основной формой деятельности любого предприятия является производство тех или иных видов продукции. При этом в процессе производства предприятие потребляет (расходует) определенные виды ресурсов: труд, сырье, оборудование, денежные средства, природные ресурсы и т.п. Поскольку обычно размеры ресурсов ограничены, возникают определенные проблемы их рационального распределения. Если предприятие выпускает продукцию нескольких видов с использованием одних и тех же ресурсов (например, оборудование, трудовые ресурсы), то администрация должна решить, какое количество продукции каждого вида производить. Принятое решение будет направлено на удовлетворение определенной цели администрации. Для удовлетворения этой цели администрация располагает управляющими переменными решения. Переменные решения — это количество продукции каждого вида, которое необходимо произвести за данный период времени.

В общем случае цель менеджмента предприятия состоит вопределении наиболее эффективного метода такого распределения ресурсов по соответствующим переменным, которое оптимизирует некоторый результат функционирования системы.

Таким образом, постановка задачи управления высшего уровня (первого лица или первых лиц фирмы) может быть сформулирована так: при сложившейся номенклатуре выпускаемой продукции определить оптимальные объемы выпуска каждого вида продукции за определенный период, обеспечивающие при ограниченных ресурсах максимальную суммарную прибыль компании.

Такая задача эффективно решается с использованием математического моделирования в среде информационных технологий.

В общем виде такая задача математически формулируется следующим образом: