Пусть также предикат

P{z, D(x, a)} (6.3)

означает, что "z является решением задачи D", иди иначе:

z = D(x, a).

Описанные функции и переменные Х могут быть детерминированными и стохастическими. В первом случае исходная задача управления может быть записана в виде:

(6.4)

Замечание 6.2. В задаче (6.4) целевая функция и система ограничений разделены фигурной скобкой

Эта запись означает: найти такое значение X, при котором функция f'(x) достигает экстремума при ограничении результата параметром b, а деятельность - лимитом а. Или, используя предикативную форму (6.3), запись (6.4) можно представить в виде:

(6.5)

Описание стохастической задачи сложнее и в данной главе не рассматривается.

Декомпозиция исходной системы или глобальной задачи производится путем применения принципов декомпозиции и координации. Первые определяют те свойства исходной системы (или задачи), на основе которых она будет разложена.

Рассмотрим следующие принципы декомпозиции:

по времени,

по видам деятельности,

по целям,

по результатам (по ресурсам или по ограничениям),

по аспектам.

При декомпозиции по времени исходная динамическая задача управления разбивается на различные по времени частные задачи, ориентированные на достижение долгосрочных, среднесрочных, краткосрочных целей. В практике планирования этот принцип традиционен.

Долгосрочные цели формируются, как правило, в первую очередь и имеют наибольший горизонт планирования. Затем вырабатываются средне- и краткосрочные цели для обеспечения долгосрочных целей.

Например, долгосрочная цель в отношении производительности системы: увеличить общую производительность на 25% за 5 лет. Среднесрочная цель: повышение производительности на 10% за 2 года. Краткосрочные цели планируются на сроки в пределах одного года и устанавливаются в конкретных областях: стоимость товарно-материальных запасов, повышение квалификации работников, модернизация оборудования, повышение эффективности использования производственных мощностей и так далее. Эта группа целей должна обеспечивать долгосрочные, среднесрочные цели, а также быть согласована с другими целями уровня.

Обозначим:

D - глобальная задача управления;

{D_i} - множество задач перспективного планирования,

{D_j} - множество задач среднесрочного планирования

{D_k} - множество задач краткосрочного планирования,

t_i ,t_j ,t_k - горизонты планирования.

Тогда:

(6.6)

где m- отношение связи между задачами уровня i, j, k;

l - отношение связи между уровнями.

При разложении исходной системы по объектам и видам деятельности основой декомпозиции служат структурные или функциональные элементы экономическою объекта. Такой подход также вполне традиционен в аналитическом исследовании. Структуризация системы при этом зависит от воли исследователя, который руководствуется целями анализа и требуемой степенью детализации.

Пусть S – исходная система, тогда :

, (6.7)

где {S_i} – множество ее подсистем или элементов,

m - отношение связи между ними.

В качестве элементов S, могут выступать предприятия, регионы, отрасли, цеха или технологические процессы и др.

Принцип целевого разложения применяется в случае использования комплексных, интегральных целевых показателей. Исходная задача может быть декомпонирована на локальные таким образом, чтобы аргументом целевой функции каждой частной задачи были один или несколько целевых показателей исходной задачи. Например, если аргументами целевой функции исходной задачи служат потребление и накопление, то можно составить две частные задачи - задачи максимизации потребления и накопления.

Целевая функция F исходной задачи может быть представлена алгебраическим выражением:

,

где R - алгебраическая операция,

{F_i} - целевые функции локальных задач.

Декомпозиция по результатам или ограничениям производится следующим образом. Исходная задача содержит систему ограничений на результаты, а также на значения экзогенных переменных. Следовательно, можно составить частные задачи, в которых присутствует только часть ограничений.

Поаспектная декомпозиция делится на два класса: проблемная и формальная. Так, комплексную в проблемном отношении систему можно разложить по проблемам. Например, комплекс факторов внешней среды организации можно разделить на семь областей: экономика, политика, рынок, социум, технология, конкуренция, международное положение.

Формальная декомпозиция системы может быть проиллюстрирована следующим образом. По формальным свойствам адекватная модель экономического объекта является стохастической, нелинейной, непрерывной, некоторые аргументы которой принимают только дискретные значения и т.д. Для решения задач управления такой системой можно составить систему из формально более простых задач, каждая из которых предназначена для изучения объекта в определенном аспекте. Например, одна задача линейная, но детерминирована, вторая - стохастическая, но линейная и непрерывная, третья - дискретна, но линейна и детерминирована.

Для создания декомпозиционного метода можно комбинировать несколько принципов разложения. Например, применить последовательно разложение по времени и по аспектам. В этом смысле можно говорить о принципах комбинированной декомпозиции.

Следует различать два основных способа использования перечисленных принципов:

дизъюнктивный тип декомпозиции;

конъюнктивный тип декомпозиции.

В первом случае подсистемы не пересекаются, а локальные задачи не имеют общих переменных. Во втором случае подсистемы пересекаются, а локальные задачи содержат общие показатели. Именно последний тип декомпозиции более сложен и более продуктивен при исследовании сложных аналитических проблем. Он не имеет общей формальной схемы реализации, но способен дать новые результаты в каждом конкретном случае, например, когда речь идет о согласовании конкретных целей (региональных и отраслевых, конкурентных и т.д.).

Для того, чтобы разложенные части глобальной задачи, представленные комплексом локальных задач, были связаны в единую систему, эквивалентную исходной, используются принципы координации.

В данном случае мы рассматриваем задачи управления в виде (6.4), то есть они имеют две основные компоненты: целевую функцию и систему ограничений. Таким образом, взаимосвязь частных задач может быть обеспечена путем введения координирующих параметров в целевые функции частных задач и/или в их ограничения.

При таком подходе говорят о двух основных принципах координации:

стимулирования;

лимитирования.

Стимулирующая координация локальных задач производится при помощи связующих сигналов, которые входят в целевую функцию частной задачи.

При лимитировании координирующие параметры содержатся в системе ограничений локальной задачи.

В рамках общего принципа стимулирования следует различать:

принципы цен;

принципы штрафов;

принципы целевой консультации.

Если целевая функция по сущности выступает как стоимостная, то цены в составе этой функции в определенном смысле "стимулируют" решение локальной задачи. Очевидно, что принцип цен может быть реализован в виде:

цены результаты;

цены деятельности.

В первом случае цены координируют результаты (например, выпуск продукции). Во втором - цены устанавливают применительно к показателям интенсивности деятельности.

Принципы штрафов стимулируют уменьшение нежелательных отклонений переменных и результатов от координирующих параметров. Соответственно, различаются:

штрафы за деятельности;

штрафы за результаты.

Принцип целевой консультации состоит в ситуационной корректировке цен, уже имеющихся в целевой функции глобальной задачи.

В рамках основного принципа лимитирования выделяются три принципа:

лимитирование результатов;

лимитирование деятельностей;

лимитирующие консультации.

Лимитирование результатов предполагает воздействие на локальные задачи с помощью ограничения результатов (например, лимитирование резервов) в системе ограничений задачи, а лимитирование деятельностей состоит в прямом ограничении переменных интенсивностей в частных задачах. Лимитирующие консультации предусматривают корректировку параметров функций в системе ограничений.

Перечисленные принципы координации применяются или отдельно (уникоординация) или комбинировано (мультикоординация). В прикладном аспекте наибольший интерес представляет сочетание различных принципов координации.

Исходная глобальная задача и применяемые к ней принципы декомпозиции, а также принципы координации определяют метод декомпозиции или систему локальных задач.

Построение метода на этой основе требует описания алгоритмов корректировки координирующих параметров.

Каждый метод декомпозиции имеет ряд свойств. Прежде всего, сюда относятся сходимость метода к решению исходной задачи и необходимые для этого предпосылки. Существенны также скорость сходимости, монотонность сходимости и т.д.

Одним из принципов декомпозиционного анализа является принцип моделирования. Он заключается в использовании систем локальных задач или методов декомпозиции в качестве так называемых моделей решающих систем. Решающая система - более общее понятие, чем система локальных задач. Поэтому для ее моделирования особенно подходят более общие методы, обладающие комбинированными связями разных направлений, а также иерархическими и обратно иерархическими структурами.

В моделировании решающей системы используются такие основные понятия, как число уровней и направление связей.

Для определения уровней локальные задачи подразделяем на:

задачи управления (выработки управляющих воздействий или планирования);

задачи координации.

Первые содержат независимые переменные исходной глобальной задачи, а вторые - не содержат. Предполагается, что координирующая задача в сравнении с управляющими находится на более высоком уровне, а управляющие - на каком-либо одном уровне. Связи между локальными задачами разных уровней называются вертикальными, а между локальными задачами одного уровня - горизонтальными.

Системы, где координирующая задача отсутствует, содержат только горизонтальные связи, являются одноуровневыми и называются децентрализованными.

Системы, содержащие несколько уровней, могут быть моно- или полицентрическими. В первом случае каждую локальную задачу координирует только одна координирующая задача, а во втором случае - их несколько.

Многоуровневые системы могут быть иерархическими или пирамидальными. В пирамидальных системах имеются только вертикальные связи, они называются централизовано координированными системами. В иерархических системах есть как вертикальные, так я горизонтальные связи, они называются системами с централизованно

- децентрализованной координацией.

Полицентрические системы делятся на типы в зависимости от того, находятся ли на низшем уровне одна или несколько частных задач, имеются ли только вертикальные или горизонтальные связи. Существуют понятия обратной иерархии и обратной пирамиды. Последние структуры складываются тогда, когда па низшем уровне имеется только одна частная задача.