Минэкономразвития России

ВСЕРОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ

ВНЕШНЕЙ ТОРГОВЛИ

Минэкономразвития России

Кафедра информатики и математики

 

А.А.Басистов

А.А.Мановцев

Н.Е.Москаленко

И.В.Найден

Т.А.Спиридонова

М.Н.Сыщикова

Г.А.Шапошникова

 

 

СБОРНИК ЗАДАЧ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Для 2 курса ФЭМ, ФВМ, ФМФ

 

Москва

ВАВТ

 

Содержание

1. Элементы комбинаторики.

2. Классическая вероятностная модель.

3. Действия над случайными событиями. Теоремы сложения и умножения.

4. Формула полной вероятности. Теорема Байеса.

5. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли и предельные теоремы.

6. Дискретные случайные величины.

7. Двумерные случайные величины.

8. Непрерывные случайные величины.

9. Нормально распределенные случайные величины.

Элементы комбинаторики.

1.2. Из Калининграда в Минск (или обратно) можно поехать через Польшу тремя способами, а через Литву – четырьмя. а) Сколькими способами можно… 1.3. Надо послать 4 срочных письма. Сколькими способами это можно сделать с… 1.4. Сколькими способами могут выполнить команду «Выходи по одному!» семь человек, находящиеся в одной комнате?

Классическая вероятностная модель.

 

2.1. Ученые заповедника окольцевали 50 птиц. На следующий день среди 20 отловленных птиц 4 оказалось окольцованными. Оценить количество

птиц в заповеднике.

2.2.По выходе из дома на улицу есть две возможности: или встретить тигра или не встретить. Какова вероятность встретить тигра? По формуле получаем: m=1, n=2. Следовательно, р = 0,5. Что неверно?

2.3. Опыт: берут наугад 2 карты из колоды в 36 карт. Рассматриваются события:

А={хотя бы один раз появилась шестерка}

В={оба раза появилась шестерка}

С={шестерка не появилась ни разу}

Д={обе карты красной масти}

Е={обе карты черной масти}

К={одна карта черной масти, а другая – красной}

М={обе карты дамы черной и красной масти}

Указать среди этих событий

a. равновозможные

b. совместные и несовместные

c. событие, противоположное событию А

d. полную группу событий

Найти вероятности следующих событий: р(С), р(М), р(Е), р(В)

2.4. В колоде 36 карт. Наудачу извлекаются две карты. Рассматриваются следующие события: А= {обе карты «картинки»}, В = {обе карты одной масти}, Е = {обе карты красной масти}, К = {обе карты черной масти} С = {обе карты шестерки}, D = {нет ни одной шестерки }, М = {обе карты дамы красных мастей}, N = {одна карта красной масти, а другая - черной}. Указать среди этих событий: а) равновозможные (не вычисляя вероятностей); б) совместные и несовместные; в) противоположные для А, М, N; г) полные группы событий

2.5. В коробке 7 карандашей: 3 красных, 4 синих. Наугад берут один карандаш. Какова вероятность что он красный?

2.6. Игральную кость бросили 2 раза. Найти вероятности событий:

А={хотя бы один раз выпала цифра 1}

В={сумма выпавших очков не менее 10}

C={сумма выпавших очков больше чем их произведение}

D={сумма очков делится нацело на 4}

Е={на одной кости втрое больше очков, чем на другой}

F={первая выпавшая цифра больше чем вторая}

2.7.Брошены три игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5?

2.8. На карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Карточки раскладываются в ряд случайным образом. Найти вероятности следующих событий:

A={число начинается с цифр 12}

B={число делится на 5 без остатка}

C={число нечетное}

D={первая цифра больше последней}

2.9. Три игральные кости выбрасывают один раз. Найти вероятность того, что:

1) на каждой грани 5 очков;

2) на всех гранях одинаковое число очков;

3) на двух гранях 1, а на третьей - другое число очков;

4) на двух гранях одинаковое число очков, а на третьей - другое число очков;

5) на всех гранях разное число очков.

2.10. Статистика, собранная среди студентов одного из вузов, обнаружила следующие факты: 60% всех студентов занимаются спортом, 40% участвуют в научной работе на кафедрах и 20% занимаются спортом и участвуют в научной работе на кафедрах. Корреспондент местной газеты подошел к наудачу выбранному студенту. Найти вероятности следующих событий:

A={студент занимается по крайней мере одним из двух указанных видов деятельности};

B={студент занимается только спортом};

C={студент занимается только одним видом деятельности}.

2.11. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают английский язык, 40 – французский и 35 – немецкий. Английский и французский языки знают 20 студентов, английский и немецкий – 8, французский и немецкий – 10. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудитории. Найти вероятности следующих событий:

A={вышедший знает только английский язык};

B={вышедший знает только французский язык };

C={вышедший знает только немецкий язык};

D={вышедший знает ровно два языка}.

2.12.Случайно повернули три барабана кодового замка с цифрами от 0 до 9. Какова вероятность того, что получилось число, делящееся на 5?

2.13.Случайно повернули три барабана кодового замка с цифрами от 0 до 9. Какова вероятность того, что получилось число, меньшее, чем 143?

2.14.В группе 28 студентов, из них 6 отличников. Какова вероятность того, что при делении группы пополам все отличники попали в одну половину?

2.15. В коробке 3 белых и 4 черных шара. Достают 2 шара. Найти вероятность того, что

а) шары будут одного цвета

б) разного цвета.

2.16.Из урны, в которой 5 белых шаров и 4 черных, вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что: а) все вынутые шары - черные; б) среди вынутых белых больше, чем черных.

2.17.Из урны, в которой 6 белых шаров и 4 черных, вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что: а) все вынутые шары - белые; б) среди вынутых 3 белых и 1 черный шар.

2.18. Из 12 деталей – 4 нестандартных. Для контроля берут 4 детали. Какова вероятность того, что среди них окажется 3 стандартных детали?

2.19. Среди 10 фотографий две разыскиваемых. Наугад берут 5 фотографий. Какова вероятность того, что среди них нет разыскиваемых?

2.20. Среди 20 лотерейных билетов 2 выигрышных. Наудачу взяли 10 билетов. Найти вероятность того, что среди них

а) один выигрышный;

б) хотя бы один выигрышный.

2.21. Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются 2. Найти вероятность того, что среди пяти купленных билетов ровно 1 выигрышный.

2.22.В группе 28 студентов, из них 8 человек учатся отлично, 10 – хорошо, 8 – удовлетворительно. Для проверки случайным образом вызваны три студента. Какова вероятность, что это отличники.

2.23. В группе из 25 человек 10 учится на «отлично», 8 на «хорошо» и 7 на «удовлетворительно». Найти вероятность того, что из взятых наугад 8 человек 3 человека учатся на «отлично».

2.24. Из урны, в которой 6 белых и 4 черных шара вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что

1) Все вынутые шары белые;

2) Среди вынутых 3 белых и 1 черный шар.

2.25. В группе 30 студентов, из них 6 – отличники. Какова вероятность того, что при делении группы пополам все отличники попали в одну группу.

2.26. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов будет:

1) 5 отличников;

2) Хотя бы три не отличника.

2.27. Из 40 экзаменационных вопросов студент выучил 30. Какова вероятность того, что он ответит: а) на три заданных вопроса; б) на 2 из 3 заданных вопросов?

2.28. Из урны с 5 белыми и 7 черными шарами наугад берут 4 шара. Найти вероятности событий: а) взято 2 белых шара; б) взято белых шаров больше, чем черных.

2.29. Из колоды в 36 карт наугад берут 4 карты. Найти вероятности следующих событий: а) все карты имеют одну масть; б) все карты красные; в) все карты - тузы.

2.30. В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачу батарейки окажутся новыми?

2.31. Колода в 52 карты случайным образом делится на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой половине окажется по 2 туза.

2.32. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что 6 из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые попавшиеся 5 телевизоров. Какова вероятность того, что 2 из них нуждаются в общей настройке?

2.33. В магазине имеются 10 женских и 6 мужских шуб. Для анализа качества случайным образом отобрали 3 шубы. Определите вероятность, что среди отобранных шуб окажутся а) только женские, б) только женские или только мужские.

2.34. В вазе лежит 2 яблока, 3 груши и 5 апельсин. Ваня решил взять в школу наугад 3 фрукта. Какова вероятность того, что ими окажутся

а) 1 яблоко, 1 груша и 1 апельсин

б) три апельсина

в) 2 апельсина и 1 груша

г) 2 яблока, а третий - или груша, или апельсин.

2.35. При игре в преферанс колода из 32 карт раздается следующим образом: по 10 карт каждому из 3 игроков и 2 карты идут в прикуп. Найти вероятность того, что в прикупе

а) 2 туза;

б) нет тузов;

в) обе карты пиковой масти.

2.36. Студент знает ответы на 12 вопросов из 20. Найти вероятность того, что он ответит на два заданных ему вопроса.

2.37.1 сентября на первом курсе одного из факультетов запланировано по расписанию три лекции по разным предметам. Всего на первом курсе изучается 10 предметов. Студент, не успевший ознакомиться с расписанием, пытается его угадать. Какова вероятность успеха в данном эксперименте, если считать, что любое расписание из трех предметов равновозможное?

2.38. Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают пять человек на предстоящую конференцию. Найти вероятности следующих событий:

A={будут выбраны одни третьекурсники};

B={все первокурсники попадут на конференцию};

C={не будет выбрано ни одного второкурсника}.

2.39. В семье трое детей. Найти вероятность того, что:

а) все трое мальчики

в) в семье два мальчика и девочка

с) в семье не меньше двух мальчиков.

2.40. Буквы слова ПОКОЛЕНИЕ выписаны на карточках. Наудачу взяли 4 карточки. Найти вероятность того, что из этих карточек можно составить слово ПОЛЕ.

2.41. Слово ВЕРОЯТНОСТЬ разделили на буквы. Из них наугад выбрали 8 букв. Какова вероятность, что из этих букв можно составить слово ВЕРНОСТЬ?

2.42. Колода в 36 карт случайным образом делится на 2 равные части. Найти вероятность того, что в каждой половине окажется по два туза.

2.43.Из коробки с пятью парами перчаток разных размеров вынули две перчатки. Какова вероятность того, что вынуты перчатки разных размеров?

2.44.Из коробки с пятью парами перчаток разных размеров вынули две перчатки. Какова вероятность того, что обе вынутые перчатки – левые?

2.45.На пятиместную скамейку в случайном порядке рассаживается семья (родители и трое детей). Какова вероятность того, что родители будут сидеть рядом?

2.46.На шестиместную скамейку в случайном порядке рассаживаются 6 человек из трех семейных пар. Какова вероятность того, что все мужчины будут сидеть рядом?

2.47. Двери лифта закрылись на первом этаже прямо перед Петей, который успел только заметить, что в лифт вошли шесть человек. В общежитии шесть этажей, и лифт, если откроется на каком-либо из них двери, стоит там целую минуту. Петя живёт на шестом этаже и очень не хочет идти по лестнице. Он размышляет, каковы вероятности следующих событий: а) все шестеро выйдут на одном этаже; б) все шестеро выйдут на разных этажах. Найти эти вероятности.

2.48. В 80-е гг. XX в. в СССР была популярна игра <Спортлото>. Играющий отмечал на карточке пять чисел от 1 до 36 и получал призы различного достоинства, если он угадал одно, два, три, четыре и пять чисел, объявленных тиражной комиссией. Найти вероятности следующих событий: не угадать ни одного числа из 36, угадать одно, два, три, четыре и пять чисел из 36.

2.49. Гардеробщица выдала одновременно номерки четырем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятность события D={ровно одно лицо получит свою шляпу}.

2.50. Среди 10 красных и 10 синих носков случайным образом выбирают 2 носка. Найти вероятность того, что они составят пару. Сколько носков необходимо взять, чтобы среди них с достоверностью оказалась пара?

2.51. В лифт семиэтажного дома вошли трое. Найти вероятность того, что:

а) все трое выйдут на одном этаже

в) все выйдут на разных этажах.

2.52. В очереди за стипендией стоят 10 студентов. Найти вероятность того, что между Ивановым и Петровым находится 3 студента.

2.53. Среди десяти книг две одинаковые. Найти вероятность того, что при случайной расстановке на полке всех книг одинаковые окажутся рядом.

2.54. В архиве 18 документов. Поступило 6 заявок на выдачу документов. Найти вероятность того, что никакие две заявки не потребуют один и тот же документ.

2.55. На малом предприятии работают десять семейных пар. Чтобы никому не было обидно, на ежегодном собрании акционеров совет директоров, состоящий из восьми человек, выбирается случайным образом. Найти вероятности следующих событий: а) в совете директоров отсутствуют семейные пары; б) в совете директоров есть ровно одна семейная пара.

 

Действия над случайными событиями. Теоремы сложения и умножения.

3.1. Две игральные кости бросают один раз. Укажите, каким является следующее событие: случайным, достоверным или невозможным. 1) на первой кости - 3 очка. На второй - 5 очков; 2) сумма выпавших очков равна 1;

Формула полной вероятности. Теорема Байеса.

4.2. Среди водителей 10% - робкие, 40% - лихачи, остальные солидные. Вероятность за год попасть в аварию для водителей этих категорий составляет… 4.3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные… 4.4. Наугад взятое изделие из продукции трех заводов оказывается бракованным с вероятностью 0,3; 0,2 и 0,4…

Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли и предельные теоремы.

5.2. Найдите вероятность того, что среди взятых наугад пяти деталей две стандартные, если вероятность детали быть стандартной равна 0.9. 5.3.Найти вероятность того, что событие А произойдет не менее 2 раз в 4… 5.4. Событие В произойдет в случае, если событие А наступит не менее 4-х раз. Найти вероятность наступления события В,…

Дискретные случайные величины.

6.2. Составить закон распределения числа появлений события А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании… 6.3. Монета подбрасывается 9 раз. Найти закон распределения случайной величины… 6.4. В мишень стреляют 6 раз. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле 0.7. Найти закон распределения…

Двумерные случайные величины.

7.2. Независимые дискретные случайные величины Х и Y принимают два значения 1 и 2. При этом Р(Х=1)=0,7; Р(Y=1)=0,2. Найдите . 7.3. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите… 7.4. Дано двумерное распределение дискретных случайных величин (Х, Y). Найдите одномерные законы распределения Х и Y,…

Непрерывные случайные величины.

8.2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [-4; 1]. Найти функцию распределения этой случайной величины. 8.3. Найти математическое ожидание случайной величины X, равномерно… 8.4. Найти дисперсию случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке [7; 10].

Нормально распределенные случайные величины.

а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед.

6.1.

M(X)=np=0,5; D(X)=npq=;

Х
p	0,064	0,288	0,432	0,216

6.2.

 

M(X)=np=1,8; D(X)=npq=0,72;

6.3. M(X)=np=4,5; D(X)=npq=2,25; 6.4. M(X)=np=4,2; D(X)=npq=1,26; наивероятнейшее число попаданий равно 4.

6.5. Число опечаток распределено по закону Пуассона λ=1.

р₁=Р(Х=0)=е^-1=0,367879; р₂=Р(Х=1)=е^-1=0,367879; р₃=Р(Х=2)=е^-1/2=0,18394; р₄=Р(Х=3)=е^-1/6=0,061313; р₅=Р(Х=4)=е^-1/4!=0,015328;

р₆=Р(Х=5)=е^-1/5!=0,003066; M(X)=λ=1; D(X)=λ=1;

6.35. х₃=2; р₂=0,1;

6.37. 1) M(X)=0; D(X)=3; σ(X)=; 2) ; 3) р=0,7;

 

z	-7
p	0,14	0,3	0,21	0,35

6.40. 1)

2) M(Z)=1,7; D(Z)=14,91.

Раздел 7

7.1. P(XY=0)=9/16; P(X+Y=0)=1/32; 7.2. 0,62; 7.3. М(Х/Y=3)=1,84; М(Y/Х=3)=3,06; cov(X,Y)=-0,096; r(X,Y)=-0,087; 7.4. М(У/Х=5)=3,73; М(Х/У=5)=4,47; cov(X,Y)= -0,0516; r(X,Y)=-0,084; 7.5. М(У/Х=1)=4; М(Х/У=5)=2,06; cov(X,Y)=-0,088; r(X,Y)= -0,068; 7.7. cov(XY,X+Y)=0,0045; r(XY,X+Y)=0,003; X и Y – зависимые случайные величины; 7.8. cov(X+Y,X-Y)= -0,414; r(X+Y,X-Y)=-0,093; 7.9. cov(3X+2,2Y-3)= =0,155; r(3X+2,2Y-3)=0,061; 7.10. 0,62; 7.11. 0,41; 7.12. 109; 7.13. -1; 7.16. 0,56;

7.17. 0,46; 7.18. cov(X,Y)=-28/75; r(X,Y)=-1;

XY
	0,1	0,2	0,1
	0,2	0,1	0,1
	0,1	0,1

7.19.

 

 

7.20.

XY
	0,16	0,16	0,08
	0,16	0,16	0,08
	0,08	0,08	0,04

 

 

7.22. Р(Х=1/Y=1)=8/13; Р(Y=-1/Х=1)=5/26; M(Z)=0; D(Z)=1,06; 7.23. Р(Х=-1/ Y>-1)=0,3; Р(Y=-1/Х < 2)=0,19; M(Z)=1,2; D(Z)=0,56; 7.24. 0; 7.25. 1.

Раздел 8

8.1. ; 8.2. ; 8.3. -2; 8.4. 0,75; 8.5. ; M(X)=0; D(X)=1/3; ;

8.6.; ; M(X)=3,5; D(X)=25/12; 8.10. ; ; 8.11. 0,13; 8.12. M(X)= =σ(X)=0,2; D(X)=1/25.

 

Раздел 9

9.8. а) 0,9759; б) 0,9986; в) 0,9986; 9.9. 0,9545; 9.10. ; 9.11. а) 0,9772; б) 0,9938; в) 0,9924; 9.14. 0,7016.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Таблица 1. Функция Гаусса

		0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,3989	0,3989	0,3989	0,3988	0,3986	0,3984	0,3982	0,3980	0,3977	0,3973
0,1	0,3970	0,3965	0,3961	0,3956	0,3951	0,3945	0,3939	0,3932	0,3925	0,3918
0,2	0,3910	0,3902	0,3894	0,3885	0,3876	0,3867	0,3857	0,3847	0,3836	0,3825
0,3	0,3814	0,3802	0,3790	0,3778	0,3765	0,3752	0,3739	0,3725	0,3712	0,3697
0,4	0,3683	0,3668	0,3653	0,3637	0,3621	0,3605	0,3589	0,3572	0,3555	0,3538
0,5	0,3521	0,3503	0,3485	0,3467	0,3448	0,3429	0,3410	0,3391	0,3372	0,3352
0,6	0,3332	0,3312	0,3292	0,3271	0,3251	0,3230	0,3209	0,3187	0,3166	0,3144
0,7	0,3123	0,3101	0,3079	0,3056	0,3034	0,3011	0,2989	0,2966	0,2943	0,2920
0,8	0,2897	0,2874	0,2850	0,2827	0,2803	0,2780	0,2756	0,2732	0,2709	0,2685
0,9	0,2661	0,2637	0,2613	0,2589	0,2565	0,2541	0,2516	0,2492	0,2468	0,2444
1,0	0,2420	0,2396	0,2371	0,2347	0,2323	0,2299	0,2275	0,2251	0,2227	0,2203
1,1	0,2179	0,2155	0,2131	0,2107	0,2083	0,2059	0,2036	0,2012	0,1989	0,1965
1,2	0,1942	0,1919	0,1895	0,1872	0,1849	0,1826	0,1804	0,1781	0,1758	0,1736
1,3	0,1714	0,1691	0,1669	0,1647	0,1626	0,1604	0,1582	0,1561	0,1539	0,1518
1,4	0,1497	0,1476	0,1456	0,1435	0,1415	0,1394	0,1374	0,1354	0,1334	0,1315
1,5	0,1295	0,1276	0,1257	0,1238	0,1219	0,1200	0,1182	0,1163	0,1145	0,1127
1,6	0,1109	0,1092	0,1074	0,1057	0,1040	0,1023	0,1006	0,0989	0,0973	0,0957
1,7	0,0940	0,0925	0,0909	0,0893	0,0878	0,0863	0,0848	0,0833	0,0818	0,0804
1,8	0,0790	0,0775	0,0761	0,0748	0,0734	0,0721	0,0707	0,0694	0,0681	0,0669
1,9	0,0656	0,0644	0,0632	0,0620	0,0608	0,0596	0,0584	0,0573	0,0562	0,0551
2,0	0,0540	0,0529	0,0519	0,0508	0,0498	0,0488	0,0478	0,0468	0,0459	0,0449
2,1	0,0440	0,0431	0,0422	0,0413	0,0404	0,0396	0,0387	0,0379	0,0371	0,0363
2,2	0,0355	0,0347	0,0339	0,0332	0,0325	0,0317	0,0310	0,0303	0,0297	0,0290
2,3	0,0283	0,0277	0,0270	0,0264	0,0258	0,0252	0,0246	0,0241	0,0235	0,0229
2,4	0,0224	0,0219	0,0213	0,0208	0,0203	0,0198	0,0194	0,0189	0,0184	0,0180
2,5	0,0175	0,0171	0,0167	0,0163	0,0158	0,0154	0,0151	0,0147	0,0143	0,0139
2,6	0,0136	0,0132	0,0129	0,0126	0,0122	0,0119	0,0116	0,0113	0,0110	0,0107
2,7	0,0104	0,0101	0,0099	0,0096	0,0093	0,0091	0,0088	0,0086	0,0084	0,0081
2,8	0,0079	0,0077	0,0075	0,0073	0,0071	0,0069	0,0067	0,0065	0,0063	0,0061
2,9	0,0060	0,0058	0,0056	0,0055	0,0053	0,0051	0,0050	0,0048	0,0047	0,0046
3,0	0,0044	0,0043	0,0042	0,0040	0,0039	0,0038	0,0037	0,0036	0,0035	0,0034
3,1	0,0033	0,0032	0,0031	0,0030	0,0029	0,0028	0,0027	0,0026	0,0025	0,0025
3,2	0,0024	0,0023	0,0022	0,0022	0,0021	0,0020	0,0020	0,0019	0,0018	0,0018
3,3	0,0017	0,0017	0,0016	0,0016	0,0015	0,0015	0,0014	0,0014	0,0013	0,0013
3,4	0,0012	0,0012	0,0012	0,0011	0,0011	0,0010	0,0010	0,0010	0,0009	0,0009
3,5	0,0009	0,0008	0,0008	0,0008	0,0008	0,0007	0,0007	0,0007	0,0007	0,0006
3,6	0,0006	0,0006	0,0006	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0005	0,0004
3,7	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003
3,8	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0003	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002
3,9	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0002	0,0001	0,0001

 

Таблица 2. Функция Лапласа

		0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0	0,50000	0,50399	0,50798	0,51197	0,51595	0,51994	0,52392	0,52790	0,53188	0,53586
0,1	0,53983	0,54380	0,54776	0,55172	0,55567	0,55962	0,56356	0,56749	0,57142	0,57535
0,2	0,57926	0,58317	0,58706	0,59095	0,59483	0,59871	0,60257	0,60642	0,61026	0,61409
0,3	0,61791	0,62172	0,62552	0,62930	0,63307	0,63683	0,64058	0,64431	0,64803	0,65173
0,4	0,65542	0,65910	0,66276	0,66640	0,67003	0,67364	0,67724	0,68082	0,68439	0,68793
0,5	0,69146	0,69497	0,69847	0,70194	0,70540	0,70884	0,71226	0,71566	0,71904	0,72240
0,6	0,72575	0,72907	0,73237	0,73565	0,73891	0,74215	0,74537	0,74857	0,75175	0,75490
0,7	0,75804	0,76115	0,76424	0,76730	0,77035	0,77337	0,77637	0,77935	0,78230	0,78524
0,8	0,78814	0,79103	0,79389	0,79673	0,79955	0,80234	0,80511	0,80785	0,81057	0,81327
0,9	0,81594	0,81859	0,82121	0,82381	0,82639	0,82894	0,83147	0,83398	0,83646	0,83891
1,0	0,84134	0,84375	0,84614	0,84849	0,85083	0,85314	0,85543	0,85769	0,85993	0,86214
1,1	0,86433	0,86650	0,86864	0,87076	0,87286	0,87493	0,87698	0,87900	0,88100	0,88298
1,2	0,88493	0,88686	0,88877	0,89065	0,89251	0,89435	0,89617	0,89796	0,89973	0,90147
1,3	0,90320	0,90490	0,90658	0,90824	0,90988	0,91149	0,91308	0,91466	0,91621	0,91774
1,4	0,91924	0,92073	0,92220	0,92364	0,92507	0,92647	0,92785	0,92922	0,93056	0,93189
1,5	0,93319	0,93448	0,93574	0,93699	0,93822	0,93943	0,94062	0,94179	0,94295	0,94408
1,6	0,94520	0,94630	0,94738	0,94845	0,94950	0,95053	0,95154	0,95254	0,95352	0,95449
1,7	0,95543	0,95637	0,95728	0,95818	0,95907	0,95994	0,96080	0,96164	0,96246	0,96327
1,8	0,96407	0,96485	0,96562	0,96638	0,96712	0,96784	0,96856	0,96926	0,96995	0,97062
1,9	0,97128	0,97193	0,97257	0,97320	0,97381	0,97441	0,97500	0,97558	0,97615	0,97670
2,0	0,97725	0,97778	0,97831	0,97882	0,97932	0,97982	0,98030	0,98077	0,98124	0,98169
2,1	0,98214	0,98257	0,98300	0,98341	0,98382	0,98422	0,98461	0,98500	0,98537	0,98574
2,2	0,98610	0,98645	0,98679	0,98713	0,98745	0,98778	0,98809	0,98840	0,98870	0,98899
2,3	0,98928	0,98956	0,98983	0,99010	0,99036	0,99061	0,99086	0,99111	0,99134	0,99158
2,4	0,99180	0,99202	0,99224	0,99245	0,99266	0,99286	0,99305	0,99324	0,99343	0,99361
2,5	0,99379	0,99396	0,99413	0,99430	0,99446	0,99461	0,99477	0,99492	0,99506	0,99520
2,6	0,99534	0,99547	0,99560	0,99573	0,99585	0,99598	0,99609	0,99621	0,99632	0,99643
2,7	0,99653	0,99664	0,99674	0,99683	0,99693	0,99702	0,99711	0,99720	0,99728	0,99736
2,8	0,99744	0,99752	0,99760	0,99767	0,99774	0,99781	0,99788	0,99795	0,99801	0,99807
2,9	0,99813	0,99819	0,99825	0,99831	0,99836	0,99841	0,99846	0,99851	0,99856	0,99861
3,0	0,99865	0,99869	0,99874	0,99878	0,99882	0,99886	0,99889	0,99893	0,99896	0,99900
3,1	0,99903	0,99906	0,99910	0,99913	0,99916	0,99918	0,99921	0,99924	0,99926	0,99929
3,2	0,99931	0,99934	0,99936	0,99938	0,99940	0,99942	0,99944	0,99946	0,99948	0,99950
3,3	0,99952	0,99953	0,99955	0,99957	0,99958	0,99960	0,99961	0,99962	0,99964	0,99965
3,4	0,99966	0,99968	0,99969	0,99970	0,99971	0,99972	0,99973	0,99974	0,99975	0,99976
3,5	0,99977	0,99978	0,99978	0,99979	0,99980	0,99981	0,99981	0,99982	0,99983	0,99983
3,6	0,99984	0,99985	0,99985	0,99986	0,99986	0,99987	0,99987	0,99988	0,99988	0,99989
3,7	0,99989	0,99990	0,99990	0,99990	0,99991	0,99991	0,99992	0,99992	0,99992	0,99992
3,8	0,99993	0,99993	0,99993	0,99994	0,99994	0,99994	0,99994	0,99995	0,99995	0,99995
3,9	0,99995	0,99995	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99996	0,99997	0,99997

 

 

Таблица 3. Квантили нормального распределения z_p , определяемые равенством:

(при р<0,5 z_p = -z_1-p )

 

р		0,001	0,002	0,003	0,004	0,005	0,006	0,007	0,008	0,009
0,50		0,0025	0,0050	0,0075	0,0100	0,0125	0,0150	0,0175	0,0201	0,0226
0,51	0,0251	0,0276	0,0301	0,0326	0,0351	0,0376	0,0401	0,0426	0,0451	0,0476
0,52	0,0502	0,0527	0,0552	0,0577	0,0602	0,0627	0,0652	0,0677	0,0702	0,0728
0,53	0,0753	0,0778	0,0803	0,0828	0,0853	0,0878	0,0904	0,0929	0,0954	0,0979
0,54	0,1004	0,1030	0,1055	0,1080	0,1105	0,1130	0,1156	0,1181	0,1206	0,1231
0,55	0,1257	0,1282	0,1307	0,1332	0,1358	0,1383	0,1408	0,1434	0,1459	0,1484
0,56	0,1510	0,1535	0,1560	0,1586	0,1611	0,1637	0,1662	0,1687	0,1713	0,1738
0,57	0,1764	0,1789	0,1815	0,1840	0,1866	0,1891	0,1917	0,1942	0,1968	0,1993
0,58	0,2019	0,2045	0,2070	0,2096	0,2121	0,2147	0,2173	0,2198	0,2224	0,2250
0,59	0,2275	0,2301	0,2327	0,2353	0,2378	0,2404	0,2430	0,2456	0,2482	0,2508
0,60	0,2533	0,2559	0,2585	0,2611	0,2637	0,2663	0,2689	0,2715	0,2741	0,2767
0,61	0,2793	0,2819	0,2845	0,2871	0,2898	0,2924	0,2950	0,2976	0,3002	0,3029
0,62	0,3055	0,3081	0,3107	0,3134	0,3160	0,3186	0,3213	0,3239	0,3266	0,3292
0,63	0,3319	0,3345	0,3372	0,3398	0,3425	0,3451	0,3478	0,3505	0,3531	0,3558
0,64	0,3585	0,3611	0,3638	0,3665	0,3692	0,3719	0,3745	0,3772	0,3799	0,3826
0,65	0,3853	0,3880	0,3907	0,3934	0,3961	0,3989	0,4016	0,4043	0,4070	0,4097
0,66	0,4125	0,4152	0,4179	0,4207	0,4234	0,4261	0,4289	0,4316	0,4344	0,4372
0,67	0,4399	0,4427	0,4454	0,4482	0,4510	0,4538	0,4565	0,4593	0,4621	0,4649
0,68	0,4677	0,4705	0,4733	0,4761	0,4789	0,4817	0,4845	0,4874	0,4902	0,4930
0,69	0,4958	0,4987	0,5015	0,5044	0,5072	0,5101	0,5129	0,5158	0,5187	0,5215
0,70	0,5244	0,5273	0,5302	0,5330	0,5359	0,5388	0,5417	0,5446	0,5476	0,5505
0,71	0,5534	0,5563	0,5592	0,5622	0,5651	0,5681	0,5710	0,5740	0,5769	0,5799
0,72	0,5828	0,5858	0,5888	0,5918	0,5948	0,5978	0,6008	0,6038	0,6068	0,6098
0,73	0,6128	0,6158	0,6189	0,6219	0,6250	0,6280	0,6311	0,6341	0,6372	0,6403
0,74	0,6433	0,6464	0,6495	0,6526	0,6557	0,6588	0,6620	0,6651	0,6682	0,6713
0,75	0,6745	0,6776	0,6808	0,6840	0,6871	0,6903	0,6935	0,6967	0,6999	0,7031
0,76	0,7063	0,7095	0,7128	0,7160	0,7192	0,7225	0,7257	0,7290	0,7323	0,7356
0,77	0,7388	0,7421	0,7454	0,7488	0,7521	0,7554	0,7588	0,7621	0,7655	0,7688
0,78	0,7722	0,7756	0,7790	0,7824	0,7858	0,7892	0,7926	0,7961	0,7995	0,8030
0,79	0,8064	0,8099	0,8134	0,8169	0,8204	0,8239	0,8274	0,8310	0,8345	0,8381
0,80	0,8416	0,8452	0,8488	0,8524	0,8560	0,8596	0,8632	0,8669	0,8706	0,8742
0,81	0,8779	0,8816	0,8853	0,8890	0,8927	0,8965	0,9002	0,9040	0,9078	0,9116
0,82	0,9154	0,9192	0,9230	0,9269	0,9307	0,9346	0,9385	0,9424	0,9463	0,9502
0,83	0,9542	0,9581	0,9621	0,9661	0,9701	0,9741	0,9782	0,9822	0,9863	0,9904
0,84	0,9945	0,9986	1,0027	1,0069	1,0110	1,0152	1,0194	1,0237	1,0279	1,0322
0,85	1,0364	1,0407	1,0451	1,0494	1,0537	1,0581	1,0625	1,0669	1,0714	1,0758
0,86	1,0803	1,0848	1,0893	1,0939	1,0985	1,1031	1,1077	1,1123	1,1170	1,1217
0,87	1,1264	1,1311	1,1359	1,1407	1,1455	1,1503	1,1552	1,1601	1,1650	1,1700
0,88	1,1750	1,1800	1,1850	1,1901	1,1952	1,2004	1,2055	1,2107	1,2160	1,2212
0,89	1,2265	1,2319	1,2372	1,2426	1,2481	1,2536	1,2591	1,2646	1,2702	1,2759
0,90	1,2816	1,2873	1,2930	1,2988	1,3047	1,3106	1,3165	1,3225	1,3285	1,3346
0,91	1,3408	1,3469	1,3532	1,3595	1,3658	1,3722	1,3787	1,3852	1,3917	1,3984
0,92	1,4051	1,4118	1,4187	1,4255	1,4325	1,4395	1,4466	1,4538	1,4611	1,4684
0,93	1,4758	1,4833	1,4909	1,4985	1,5063	1,5141	1,5220	1,5301	1,5382	1,5464
0,94	1,5548	1,5632	1,5718	1,5805	1,5893	1,5982	1,6072	1,6164	1,6258	1,6352
0,95	1,6449	1,6546	1,6646	1,6747	1,6849	1,6954	1,7060	1,7169	1,7279	1,7392
0,96	1,7507	1,7624	1,7744	1,7866	1,7991	1,8119	1,8250	1,8384	1,8522	1,8663
0,97	1,8808	1,8957	1,9110	1,9268	1,9431	1,9600	1,9774	1,9954	2,0141	2,0335
0,98	2,0537	2,0748	2,0969	2,1201	2,1444	2,1701	2,1973	2,2262	2,2571	2,2904
0,99	2,3263	2,3656	2,4089	2,4573	2,5121	2,5758	2,6521	2,7478	2,8782	3,0902