Действия над случайными событиями. Теоремы сложения и умножения.

 

3.1. Две игральные кости бросают один раз. Укажите, каким является следующее событие: случайным, достоверным или невозможным.

1) на первой кости - 3 очка. На второй - 5 очков;

2) сумма выпавших очков равна 1;

3) сумма выпавших очков равна 13;

4) на обеих костях по 3 очка;

5) сумма выпавших очков меньше 15.

3.2. Бросают игральную кость, у которой:

1) две грани красные, остальные желтого цвета;

2) три грани красные, остальные желтого цвета.
Равновозможны ли события - выпадение красной или желтой грани?

3.3. Совместны ли события:

1) А={квадратное уравнение имеет действительные корни}
В={дискриминант уравнения меньше нуля}

2) А={функция f(x) монотонно возрастает}
В={f(99)<f(100)}

3) А-{последовательность чисел является геометрической прогрессией}
В={первые два члена больше нуля, следующие два члена меньше нуля}

3.4. Укажите противоположные события:

1) Нового соседа по парте зовут Денис или Иван;

2) явка на выборы составит от 45% до 53%;

3) Из 5 выстрелов в цель попадут хотя бы два раза;

4) На контрольной работе я не решу как минимум 3 задачи из 5.

3.5. Три шара случайным образом раскладывают по трем ящикам. В каждый ящик может уместиться любое число шаров.

А={первый ящик пустой}; В={в каждый ящик попадет по одному шару}; С-{все шары в одном ящике}.

Что означают события: АС, А-С, С-А, АВС.

3.6. Игральную кость бросают два раза. События

А={оба раза выпадет число очков, кратное 3};

В={ни разу не выпадет 6 очков};

С={оба раза выпадет число очков больше 3};

D={оба раза выпадет одинаковое число очков}.

Описать события: АВ, АD, А-С, А-D, D-А, О-В, АВС, АВD.

3.7. При каких событиях А и В возможно равенство А+В=А?

3.8. Когда возможно равенство А+В=АВ?

3.9. Когда возможно равенство АВ=А?

3.10. Доказать, что .

3.11. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А – выбранное число делится на 5, событие В – данное число оканчивается нулем. Что означают события А-В и ?

3.12. Два шахматиста играют одну партию. Событие А – выигрывает первый игрок, В – выигрывает второй игрок. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

3.13. Событие А – хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие В – бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события и ?

3.14. В электрической цепи выход из строя элемента а – событие А, элемента b_k – событие B_k (k=1,2,3). Записать выражения для событий С и , если С означает разрыв цепи.

 

 

3.15. Из множества супружеских пар наудачу выбирается одна. Событие А – мужу больше 30 лет, В – муж старше жены, событие С – жене больше 30 лет. Что означают события , , ?

3.16. Бросают две игральные кости. Пусть А - событие, состоящее в том, что сумма очков равна 5, а В - событие, заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать события и

3.17.Событие А - спортсмен прыгнул дальше 7 метров, событие В - мужчина прыгнул дальше женщины, событие С - спортсменка прыгнула дальше 7 метров. Что означают события АВС, А-ВС, ?

3.18. Пусть А, В, С - три произвольных события. Найти выражение для событий, состоящих в том, что из А,В,С

1. Произошло только А;

2. Произошли А и В, но С не произошло;

3. Все три события произошли;

4. Произошло по крайней мере одно из событий;

5. Произошло по крайней мере 2 события;

6. Произошло ровно 2 из этих событий;

7. Ни одно событие не произошло;

8. Произошло не больше двух событий.

3.19. В группе из 1000 человек 452 имеют текущие счета, 336 - депозитные счета, а 302 - и текущие, и депозитные. Определить, являются ли события <обладание текущим счётом> и <обладание депозитным счётом> независимыми.

3.20. Вероятности попадания стрелков в цель равны р1=0.6, р2=0.7, р3=0.8. Найти вероятность:
А) попал только один стрелок,
Б) попал хотя бы один стрелок.

3.21. Реклама растворимого кофе «Гранд» передается по каналам ОРТ, РТР, НТВ. Вероятность того, что потребитель увидит эту рекламу на канале ОРТ, равна 0,7, на РТР - 0,9 и на канале НТВ - 1. Найти вероятность того, что потребитель увидит эту рекламу: а) по всем трем каналам; б) хотя бы по одному из этих каналов.

3.22. Из колоды в 36 карт вам дали туза и семерку. Какова вероятность

того, что третья сданная вам карта будет тузом?

3.23. В колоде 54 карты (две из них джокеры). Вам сдали 4 червы и 1 пику. Вы меняете одну карту (пику). Какова вероятность того, что в результате обмена у Вас будут все карты одной масти?

3.24. В корзине три красных и семь зелёных яблок. Из корзины вынули
одно яблоко и отложили в сторону. Это яблоко оказалось зелёным. После
этого из корзины берут ещё одно яблоко. Найти вероятность того, что оно будет красным.

3.25. Из корзины, содержащей три красных яблока и семь зелёных, вынимают по очереди все яблоки. Найти вероятность того, что вторым по счёту будет вынуто красное яблоко.

3.26. Наугад выбирается четырехзначное число. Найти вероятность того, что оно не содержит цифры три при условии, что оно нечетно.

3.27. В экзаменационном билете 3 вопроса. Вероятность ответить на любой из них равна 0,7. Какова вероятность ответа хотя бы на один вопрос ? Экзамен сдан успешно, если студент ответит не менее чем на два вопроса. Какова вероятность успешной сдачи экзамена?

3.28. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания для 1-го равна 0,8, для 2-го - 0,7 , для 3-го - 0,9. Найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина. Какова вероятность, что мишень будет поражена только третьим стрелком?

3.29. Студент знает ответы на 25 вопросов из 30. Найти вероятность того, что он ответит не на все вопросы из билета, в котором 3 вопроса.

3.30. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,7. Найти вероятности своевременного выполнения задания

а) хотя бы одним предприятием;

б) одним предприятием;

в) хотя бы двумя предприятиями.

3.31.Слово МОСКВА разрезали на буквы и случайно выложили подряд. Какова вероятность того, что получится то же слово?

3.32.Слово КОЛОКОЛ разрезали на буквы и случайно выложили подряд. Какова вероятность того, что получится то же слово?

3.33. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что

1) Среди наудачу извлеченных двух деталей хотя бы 1 стандартная;

2) Среди наудачу извлеченных шести деталей окажется не более одной нестандартной.

3.34. Для участия в финальной части конкурса жюри отбирает 7 человек из 12 участников, среди которых 7 юношей. У каждого участника равные шансы. Найти вероятность того, что в финале девушек будет больше, чем юношей.

3.35. Вероятность поражения цели 1-ым стрелком равна 0,8, 2-ым – 0,9, 3-им - 0,7. Найти вероятности следующих событий: А- цель поражена, В- попал в цель только 2-ой стрелок, С – все стрелки попали в цель.

3.36. Из колоды в 36 карт вынули 5 карт. Найти вероятность того, что:

а) все карты одной масти

б) среди этих пяти карт представлены все масти.

3.37. Бросаются три кости. Найти вероятность того, что хотя бы на одной из них выпало одно очко, если известно, что на всех костях выпали разные цифры.

3.38. В группе спортсменов два мастера спорта, шесть кандидатов в мастера и восемь перворазрядников. По жребию выбирается четыре спортсмена. Найти вероятность событий:
А - все четыре выбранные спортсмена оказались кандидатами в мастера спорта,
В - среди выбранных спортсменов хотя бы один оказался кандидатом в мастера спорта,
С - среди выбранных спортсменов оказалось два мастера спорта и два кандидата в мастера спорта.

3.39. Документ приобретает силу, если под ним согласятся поставить подписи не менее двух сопредседателей из трех. Первый сопредседатель согласится поставить свою подпись под документом с вероятностью 0,4, второй с вероятностью 0,3, третий с вероятностью 0,7. Какова вероятность принятия документа?

3.40. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый, второй вопросы равна по 0,8, на третий – 0,9. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить

а) на все вопросы;

б) по крайней мере, на два вопроса билета.

3.41. Среди вырабатываемых рабочим деталей в среднем каждая двадцатая деталь бракованная. Какова вероятность того, что среди взятых на проверку четырех деталей не найдется ни одной бракованной?

3.42. Рабочий обслуживает 4 станка, Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,8, второй – 0,9, третий – 0,6 и четвертый – 0,7. Найти вероятность того, что хотя бы один станок не потребует внимания рабочего.

3.43.Заводом послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия материала на первой базе равна 0,9, на второй – 0,7, на третьей и четвертой – 0,8. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.

3.44. В ящике лежит 8 красных, 10 зеленых и 12 синих шаров. Наудачу вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что хотя бы 2 из них одного цвета.

3.45. Из колоды в 52 карты наудачу извлекается 3 карты. Какова вероятность, что все 3 карты окажутся красной масти и при этом среди них будет два туза.

3.46. Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна 0,15, во вторую – 0,23, в третью – 0,17. Найти вероятность промаха.

3.47.Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 6% всей продукции является браком, а 75% небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

3.48. В цехе работает несколько станков. Вероятность того, что за смену потребует наладки один станок, равна 0,2. Вероятность того, что потребует наладки два станка – 0,13, более двух станков – 0,07. Какова вероятность того, что за смену придется производить наладку станков?

3.49. В корзине находятся 5 белых и 7 чёрных перчаток. Найти вероятность того, что пара, которую достали наугад, окажется одноцветной.

3.50. Из 10 книг 4 художественные. Найти вероятность того, что среди трех, взятых наугад книг будет хотя бы одна художественная.

3.51. Профсоюзной организацией для детей сотрудников выделено 12 путевок в оздоровительный лагерь, 8 – в туристический и 5 – в военно-спортивный. Какова вероятность того, что три друга попадут в один лагерь, если их родители независимо друг от друга приобрели по одной путевке?

3.52. Четыре охотника договорились стрелять по дичи в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждого из охотников равна 0,8. Найти вероятности того, что будет произведено

а) один; б) два; в) три; г) четыре выстрела.

3.53. Имеется 10 писем и столько же конвертов от них. Письма случайным образом раскладываются по конвертам. Найти вероятность того, что каждое письмо попадет в свой конверт.

3.54. Проводится проверка архива. Из каждых десяти документов выбирают два и проверяют правильность индексирования. В случае, если хотя бы один из проверенных документов заиндексирован неверно, проверяют всю группу. Найти вероятность того, что будет пропущена группа, содержащая 4 неправильно заиндексированных документа.

3.55. В урне 4 белых и 6 красных шаров. Шары вынимаются по одному до появления первого белого шара. Найти вероятность того, что процесс оборвется на 3-м шаре.

3.56. Из колоды в 36 карт вынимают карту за картой до появления двух тузов. Найти вероятность того, что второй туз появится на 7-м шаге.

3.57. Среди 12 ламп 2 неисправных. Лампы проверяют одну за другой до выявления двух неисправных. Найти вероятность того, что проверка закончится на пятой лампе.

3.58. Двое играют, поочередно бросая игральную кость. Выигрывает тот, у кого первого выпадет шесть очков. Найти вероятность того, что

а) игра закончится на 4-м броске

б) выиграет начавший игру первым.