Формула полной вероятности. Теорема Байеса.

4.1. В группе 40% студентов – отличники, 20% - неуспевающие. Данную задачу отличник решает с вероятностью 0,9, неуспевающий – с вероятностью 0,2, а остальные – с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что наугад вызванный студент решит эту задачу?

4.2. Среди водителей 10% - робкие, 40% - лихачи, остальные солидные. Вероятность за год попасть в аварию для водителей этих категорий составляет соответственно 0,4, 0,7 и 0,2 соответственно. Какова вероятность того, что наугад взятый водитель за год попадет в аварию?

4.3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные органы, 20% - другие банки, остальные - физические лица. Вероятности того, что взятый кредит не будет возвращён, составляют 0,01, 0,05 и 0,2 соответственно. Определить, какая доля кредитов в среднем не возвращается.

4.4. Наугад взятое изделие из продукции трех заводов оказывается бракованным с вероятностью 0,3; 0,2 и 0,4 соответственно. На складе 20% изделий - с первого завода, 50% - со второго, а остальные - с третьего. Какова вероятность, что наугад взятое со склада изделие не окажется бракованным?

4.5. На курсе 30% студентов - брюнеты, 20% - блондины, а остальные - шатены. За время обучения в академии брюнеты женятся с вероятностью 0,3, блондины - с вероятностью 0,5, а шатены -0,4. Какова вероятность того, что наугад вызванный студент женится? Вызванный студент женился. Какова вероятность того, что этот студент - брюнет?

4.6. В двух цехах изготовляется однотипная продукция. Производительность первого цеха вдвое больше чем второго. Изделия высшего качества составляют в среднем для первого цеха 95%, для второго – 90%. Какова вероятность того, что наугад выбранное изделие окажется не высшего качества? Выбранное изделие оказалось не высшего качества. Какова вероятность того, что это изделие изготовили во втором цехе?

4.7. Жюри состоит из трёх судей, выносящих решение независимо друг от друга: двое из них, каждый с вероятностью 0,8, принимают правильное решение, а третий для вынесения решения подбрасывает монету. Окончательное решение принимается большинством голосов. Найти вероятность вынесения правильного решения.

4.8. Во время испытаний было установлено, что вероятность срабатывания реле в нормальных условиях равна 0,99; а в условиях вибрации 0,9. Найти вероятность отказа реле при работе в передвижной лаборатории (вероятность вибрации – 0,2).

4.9.На границе государств X и Y имеется три контрольно-пропускных пункта. Поток контрабанды, провозимой через границу, распределяется между этими пунктами в соотношении 3:1:4. На 1-ом пункте контрабанду обнаруживают с вероятностью 0,6; на 2-м – 0,65; на 3-м – 0,5. Какова вероятность провезти контрабанду через границу?

4.10. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в девяти находится по 2 черных и 2 белых шара, а в одной 5 белых и 1 черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из урны, содержавшей 5 белых шаров?

4.11. Билл и Боб одновременно стреляют по бутылкам с вероятностью попадания соответственно 0,8 и 0,5. Пуля Билла разбивает бутылку в 60% случаев, пуля Боба – в 80%, при двойном попадании бутылка разбивается всегда. Какова вероятность разбить бутылку одним залпом?

4.12. По танку производится три выстрела, вероятности попадания в которых равны соответственно 0,5, 0,6 и 0,8. Для уничтожения цели достаточно трех попаданий, при двух попаданиях танк поражается с вероятностью 0,6, а при одном попадании – с вероятностью 0,2. Какова вероятность поражения цели?

4.13. Шейх разгневался на звездочёта и приказал казнить его, но в последний момент передумал и решил дать звездочёту возможность спастись. Он взял два чёрных и два белых шара, отличающихся только цветом, и предложил звездочёту распределить их произвольным образом по двум одинаковым сундукам. Палач должен с завязанными глазами выбрать сундук и достать из него один шар. Если он достанет белый шар, шейх помилует звездочёта, в противном случае - казнит. Как звездочёт должен распределить шары по сундукам, чтобы иметь наибольшие шансы спастись?

4.14. Вероятность того, что недельный оборот торговца мороженым превысит 2000 руб. при солнечной погоде равна 80%, при переменной облачности - 50%, а при дождливой погоде - 10%. Найти вероятность того, что на следующей неделе оборот превысит 2000 руб., если вероятность солнечной погоды в данное время года составляет 20%, вероятность переменной облачности и вероятность дождливой погоды - по 40%.

4.15. Из урны, в которой лежат 5 белых шара и 2 черных наугад извлекают 2 шара, окрашивают в черный цвет и кладут обратно. Затем из урны вынули 1 шар - он оказался белым. Какова вероятность того, что первоначально вынутые 2 шара не меняли цвета (были черными)?

4.16.Из урны, в которой лежат 4 белых шара, 5 красных и 2 черных, случайно выпал шар. Затем из нее наугад извлекли три шара. Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров оказалось 2 белых и 1 черный?

4.17. Из урны, в которой лежат 5 белых шара и 2 черных, наугад извлекают два шара, окрашивают в черный цвет и кладут обратно. Затем из урны случайно вынимают шар. Какова вероятность того, что оказался черным?

4.18.Имеется 5 урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах находится по 2 белых и 3 черных шара, в 4-й и 5-й урнах – по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова вероятность того, что он белый?

4.19. В первой урне белых шаров в пять раз больше, чем черных, в остальных девяти урнах белых и черных шаров поровну. Найти вероятность того, что черный шар извлечен не из первой урны.

4.20. Из пяти изделий выбранное изделие оказалось бракованным. Если первоначально все количества бракованных изделий были равновозможны, то чему равна вероятность того, что было три бракованных изделия.

4.21. В одном стакане находится две игральных кости, в другом – три. Наугад выбранный стакан переворачивается. Найти вероятность того, что на выпавших костях сумма очков равна четырем.

4.22. Клапаны, изготовляемые в цехе, проверяются двумя контролерами. Вероятность того, что клапан попадет на проверку первому контролеру равна 0,6, а ко второму – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет забракована, для первого контролера равна – 0,06, а для второго – 0,02. При проверке забракованных клапанов обнаружен годный. Найти вероятность того, что этот клапан проверял первый контролер.

4.23. В условиях задачи 4.3. начальнику кредитного отдела доложили, что получено факсимильное сообщение о неисполнении обязательств по возврату кредита, в котором очень плохо пропечаталось имя клиента. Найти вероятность того, что кредит не возвращает какой-либо банк.

4.24.Магазин получает товар от трёх поставщиков: 55% товара поступает от первого поставщика, 20% от второго и 25% от третьего. Продукция, поступающая от первого поставщика, содержит 5% брака, поступающая от второго поставщика - 6% брака, а поступающая от третьего поставщика - 8% брака. Покупатель оставил в книге пожеланий покупателя жалобу о низком качестве приобретённого товара. Найти вероятность того, что плохой товар, вызвавший нарекания покупателя, поступил от второго поставщика.

4.25.В продукции кондитерской фабрики шоколадные конфеты составляют 40% ассортимента. В среднем 10 из 100 шоколадных конфет оказывается с браком. Для остальной продукции этот показатель равен 5 из 200. Выбранное наугад изделие оказалось без брака. Какова вероятность того, что это была шоколадная конфета?

4.26. Для сдачи экзамена студентам было необходимо подготовить 30 вопросов. Из 25 студентов 10 подготовили все вопросы, 8 – 25 вопросов, 5 – 20 вопросов, 2 -15 вопросов. Вызванный студент ответил на поставленный вопрос. Найти вероятность того, что этот студент подготовил только половину вопросов.

4.27. Наугад взятое изделие из продукции трех заводов оказывается бракованным с вероятностью 0,2; 0,1 и 0,3 соответственно. На складе 40% изделий – с первого завода, 10% – со второго, а остальные – с третьего. Взятое изделие оказалось бракованным. Какова вероятность, что оно сделано на втором заводе?

4.28. Из урны, в которой лежат 3 белых шара, 2 красных и 4 черных случайно выпал шар. Затем из нее наугад извлекли три шара. Какова вероятность того, что они оказались разноцветными? Какова вероятность того, выпавший шар был красным, если вынутые шары оказались разноцветными?

4.29. Из урны, в которой лежат 5 белых шара, 2 черных и 3 красных, наугад извлекают один шара, окрашивают его в черный цвет и кладут обратно. Затем из урны случайно вынимают два шара. Какова вероятность того, что они окажутся не черными? Какова вероятность того, что перекрашивали белый шар, если оба вынутых шара оказались черными?

4.30. В группе 40% студентов – отличники, 20% – неуспевающие. Данную задачу отличник решает с вероятностью 0,9, неуспевающий – с вероятностью 0,2, а остальные – с вероятностью 0,6. Какова вероятность того, что вызванный студент решит задачу? Какова вероятность того, что вызванный студент был отличником, если он не решил задачу?

4.31. В группе 30% студентов - отличники, 10% - неуспевающие. Данную задачу отличник решает с вероятностью 0,8, неуспевающий - с вероятностью 0,3, а остальные - с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что наугад вызванный студент не решит эту задачу? Какова вероятность того, что вызывали неуспевающего, если он решил задачу?

4.32. Руководитель компании А с вероятностью 0,65 оставит свой пост. Если он оставит, то компания В заключит договор с компанией А с вероятностью 0,8, а если не оставит – то с вероятностью 0,4. Какова вероятность того, что договор не будет заключен? Какова вероятность того, что руководитель компании А остался на месте, если договор был заключен?

4.33. В парикмахерской мастер бреет без порезов 90% клиентов, ученик – 70%. Желающему попасть к мастеру дают бросить игральную кость; если выпало меньше шести очков, то ему не повезло, и его отправляют к ученику. Клиента порезали… Какова вероятность того, что его брил мастер?

4.34. Для участия в розыгрыше приза участники трижды бросают монеты. Если орел выпал 3 раза, игрок получает приз с вероятностью 0,7. Если орел выпал 2 раза, вероятность получить приз равна 0,5. Остальные получают приз с вероятностью 0,1. Какова вероятность, что у получившего приз игрока орел выпал дважды?

4.35. В одной партии яиц 5% тухлых, а в другой – 3%. Из каждой партии взяли наугад по яйцу, одно из которых оказалось тухлым. Какова вероятность того, что тухлое яйцо было взято из первой партии?

4.36. Студент перед экзаменом выучил 20 вопросов из 30. Экзамен проходит в виде теста с одним вопросом и пятью вариантами ответов, один из которых – правильный. Если студент не знает правильного ответа, то отвечает наугад. Какова вероятность того, что студент, сдавший экзамен, отвечал наугад?

4.37. У Рона в шкафу стоят шесть винтовок, четыре из которых имеют оптические прицелы. Вероятность того, что Рон поразит цель при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,8, из винтовки без оптического прицела – 0,5. Рон поразил цель, сделав выстрел из наугад взятой винтовки. Какова вероятность того, что была взята винтовка с оптическим прицелом?

4.38. Вероятность заболеть болезнью А равна 0,01. Существует тест, который определяет, больны Вы или нет. В каждом случае тест может ошибиться с вероятностью 0,01. Какова вероятность, что Вы заболели болезнью А, если тест показал, что Вы заболели? Прокомментируйте результат из житейских соображений.

4.39. Для принятия решений о покупке ценных бумаг была разработана система анализа рынка. Из данных за прошлые периоды известно, что 5% всех ценных бумаг являются «плохими» - не подходящими для инвестирования. Предложенная система определяет 98% «плохих» ценных бумаг как «плохие», но при этом 15% ценных бумаг, пригодных для инвестиций, также определяет как «плохие». Найти а) вероятность того, что ценная бумага «хорошая»; б) вероятность того, что ценная бумага в действительности подходит для инвестирования, хотя данной системой анализа рынка она была определена как «плохая».

4.40. Константин Петрович живет один, и если календарь показывает число, делящееся на три, готовит себе любимую настойку. В двух случаях из десяти при этом он забывает добавить одну важную компоненту, и тогда, по принятии настойки, у него с вероятностью 0,8 болит голова. Впрочем, голова у него может болеть и так, с вероятностью 0,3. Какова вероятность того, что голова у него в данный день не болела? Какова вероятность того, что Константин Петрович готовил и пил настойку, если голова у него не болела?

4.41.Буфетчица на данном предприятии всегда обманывает молодых девушек, никогда не обманывает молодых людей, с вероятностью 0,7 обманывает взрослых женщин и с вероятностью 0,4 обманывает взрослых мужчин. Какова вероятность быть обманутым этой буфетчицей для работника данного предприятия, если число девушек, молодых людей, взрослых женщин и взрослых мужчин соотносятся как 3:1:4:2? Работник предприятия пересчитал деньги после посещения буфета и обнаружил, что он не был обманут. Какова вероятность, что это был молодой человек?