Нормально распределенные случайные величины.

9.1. Текущая цена акции имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. Найти вероятность того, что цена акции

а) не выше 15,3 ден. ед.;

б) не ниже 15,4 ден. ед.;

в) от 14,9 до 15,3 ден. ед.

г) сформулировать правило трех сигм для текущей цены акции.

9.2. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х – количества сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов, равно 1 кг. С вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 г до 1100 г. Определить среднее квадратическое отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.

9.3. Нормально распределенная случайная величина имеет функцию распределения

Из какого интервала (1;2) или (2;6) она примет значение с большей вероятностью?

9.4. Квантиль уровня 0,15 нормально распределенной случайной величины равен 12, а квантиль уровня 0,6 равен 16. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

9.5. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием m=25. Вероятность попадания Х в интервал (10,15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35,40)?

9.6. Вес пачек с рисом имеет нормальное распределение с М(Х)= 1 кг и средним квадратическим отклонением, равным 10 г. Проверка показала, что 2,5% выпускаемых пачек имеет вес меньше минимально допустимого стандартом. Каков этот минимальный вес?

9.7. Производительность труда рабочих является нормальной случайной величиной с М(Х)=90 кг (за смену) и средним квадратическим отклонение 15 кг (за смену). Вычислите долю рабочих, производительность которых превышает 110 кг за смену. Какой следует установить норму дневной выработки, чтобы 90% рабочих её выполняли?

9.8. Вес пойманной рыбы распределен нормально с параметрами: m=375 г, σ=25 г. Найти вероятность того, что вес одной пойманной рыбы будет: а) от 300 г до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.

9.9. Диаметр детали является нормально распределенной случайной величиной с параметрами: m=4,5 см, σ=0,05 см. Найти вероятность того, что диаметр наугад взятой детали отличается от нормального размера не более чем на 1 мм.

9.10. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной нормально, равно 2, а математическое ожидание равно 16. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует ожидать значение случайной величины.

9.11. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: m=16 км, σ=100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами: а) не меньше 15,8 км; б) не более 16,25 км; в) от 15,75 км до 16,3 км.

9.12. Рост женщины распределен нормально с параметрами: m=164 см, σ=5 см. Какой процент сшитых на швейной фабрике костюмов должны быть размера L, если такой размер предполагает рост не менее 160 см и не более 170 см?

9.13. Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной распределенной нормально с дисперсией равной 0,0001, а математическим ожиданием – 2,5 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр наудачу взятой детали.

9.14. Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: m=170 см, σ²=36 см². Найти вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех мужчин будет иметь рост от 168 см до 172 см.

9.15. Ошибка прогноза температуры воздуха есть нормально распределенная случайная величина с m=0, σ=3°. Найти вероятность того, что в течение недели ошибка прогноза трижды превысит по абсолютной величине 4°.

9.16. Дано Х ~ N(m, 9), P(X>1)= 0,63

Найти 1) Р ( 3<X<4); 2) Р ( Х< 2); 3) x_0,23

9.17. Дано Х ~ N(m, 1), P(X<3)= 0,84

Найти 1) Р ( 0<X<1); 2) Р ( Х> 1); 3) x0,28

9.18. Дано Х ~ N(m, 1), P(X<0)=0,023

Найти 1) Р ( 2<X<3); 2) Р ( Х< 4); 3) x_0,25

9.19. Дано Х ~ N(m, 9); P(X>-1)=0,75

Найти 1) Р ( -2<X<0); 2) Р ( Х< 2); 3) x_0,6

9.20. Дано Х ~ N(2, σ²); P(X>3)=0,16

Найти 1) Р ( 3<X<4); 2) Р ( Х< 1); 3) x_0,1

9.21. Дано Х ~ N(m, 4); P(X<1)=0,84

Найти 1) Р ( -2<X<0); 2) Р ( Х< 2); 3) x_0,95

9.22. Дано Х ~ N(2, σ²); P(X<0)=0,2

Найти 1) Р ( 0<X<3) 2) Р ( Х< 1); 3) x_0,8

9.23. Дано Х ~ N(1, σ²); P(X<0)=0,4

Найти 1) Р (1<X<3); 2) Р ( Х> 2); 3) x_0,3

9.24. Дано Х ~ N(m,1); P(X<3)=0,8

Найти 1) Р ( 3<X<4); 2) Р ( Х>1); 3) x_0,2

10. Ответы.

Раздел 1.

1.1. 8. 1.2. а) 49; б) 12; в) 24; г) 25. 1.3. . 1.4. Р₇ = 7! = 7040.
1.5. а) ; б) . 1.6. а) ; б) ;
в) . 1.7. а) 36; б) 288; в) 4032. 1.8. а) ;
б) ; в) . 1.9. 2520
1.10.. 1.11. 840. 1.12. .
1.13. а) ; б) . 1.14. . 1.15. . 1.16. а) 6∙4∙3 – 1 = 71; б) . 1.17. а) ;
б) ; в) ; г) целая часть числа k / 2. 1.18. . 1.19. а) 67; б) 60; в) 24. 1.20. а) 2; б) 3.

Раздел 2

2.5. ; 2.6. Р(А)= ; Р(В)= ; Р(С)= ; Р(D)= ; P(E)= ; P(F)= ; 2.7. ; 2.8. P(A)= ; P(B)= ; P(C)= ; P(D)= ; 2.9. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 2.10. P(A)=0,8; P(B)=0,4; P(C)=0,6; 2.11. P(A)=0,27; P(B)=0,15; P(C)=0,12; P(D)=0,23; 2.12. 0,2; 2.13. 0,143; 2.14. ; 2.15. а) ; б) ; 2.16. а) ; б) ; 2.17. а) ; б) ; 2.18. ; 2.19. 0,22; 2.20. а); б) 0,789; 2.21. ; 2.22. ; 2.23. ; 2.24. 1) ; 2) ; 2.25. ; 2.26. 1) ; 2) ;

2.35. а) ; б) ; в) ; 2.36. ; 2.37. ; 2.38. а) ; б) ; в) ; 2.39. а) ; б) ; в) ; 2.40. ; 2.41. ; 2.42. ; 2.43. ; 2.44. ; 2.45. ; 2.46. ; 2.47. ; ; 2.48. ; ; ; ; ; ; 2.49. .

 

Раздел 3

3.20. Р(А)=0,188; Р(Б)=0,976; 3.21. Р(А)=0,63; Р(Б)=1; 3.22. 3/34; 3.23. 11/49; 3.24. -1/3; 3.25. 0,3; 3.26. 0,72; 3.27. 0,923; 0,784; 3.28. 0,994; 0,054; 3.29. 91/216; 3.30. 0,973; 0,189; 0,784; 3.31. 1/5!; 3.32. 1/30; 3.33.1) 44/45; 2) 0,4; 3.34. 1/22; 3.35. Р(А)=0,994; Р(В)=0,054; Р(С)=0,504; 3.36. а) 0,00033; б) 0,009; 3.37. 0,5; 3.38. Р(А)=3/364; Р(В)= 7/13; Р(С)=3/13; 3.39. 0,442; 3.40. а) 0,576; б) 0,928; 3.41. (11/12)⁴; 3.42. 0,9976; 3.43. 0,398; 3.44. ; 3.45. 11/22100; 3.46. 0,45; 3.47. 0,705; 3.48. 0,4; 3.49. 31/66; 3.50. 13/14; 3.51. 143/1150; 3.52. а) 0,8; б) 0,16; в) 0,032; г) 0,0064; 3.53. 1/10!; 3.54. 1/3; 3.55. 1/6; 3.56. 0,041; 3.57. 2/33; 3.58. а) 125/1296; б) 6/11.

Раздел 4

4.1.0,64; 4.2. 0,33; 4.3. 0,151; 4.4. 0,72; 4.5. 0,39; 0,23; 4.6. 0,07; 0,476; 4.7. 0,8; 4.8. 0,028; 4.9. 0,444; 4.10. 0,156; 4.11. 0,72; 4.12. 0,568; 4.13. В одном сундуке 2 черных и 1 белый, в другом – 1 белый шар; 4.14. 0,4; 4.15. 1/6; 4.16. 0, 073; 4.17. 0,18; 4.18. 0,44; 4.19. 27/28; 4.20. 1/5; 4.21. 7/144; 4.22. 0,59; 4.23. 0,066; 4.24. а) 0,0595; б) 0,202; 4.25. 0,38; 4.26. 1/21; 4.27. 1/24; 4.28. а) 3/7; б) 1/9; 4.29. а) 0,498; б) 0,469; 4.30. 4/13; 4.31. а) 0,43; б) 0,053; 4.32. а) 0,34; б) 7/33; 4.33. 1/16; 4.34. 0,25; 4.35. 0,0485; 4.36. 1/11; 4.37. 16/21; 4.38. 0,5; 4.39. а) 0,852; б) 3/52; 4.40. а) 2/3; б) 0,3; 4.41. а) 0,66; б) 5/17.

Раздел 5

5.1. 0,117; 5.2. 0,0081; 5.3. 0,9728; 5.4. 0,73728; 5.5. 0,264; 5.6. а) 0,2646; б) 0,416; в) 0,7599; 5.7. 0,074; 5.8. а) 0,4096; б) 0,73728; в) 0,67232; 5.9. 0,34464; 5.10. а) 0,246; б) 0,3466; 5.11. а) 0,3125; б) 0,5; в) 0,5; г) 0,625; 5.12. 0,5033; 5.13. 0,784; 5.14. 0,4877; 5.15. 0,0547; 5.16. 0,983; 5.17. 0,99144; 5.18. 0,05792; 5.19. 0,17; 5.20. 0,4096; 5.21. а) 0,896; б) 0,992; 5.22. а) 0,329; б) 0,461; в) 0,21; 5.23. 0,9728; 5.24. 0,25625; 5.25. две партии из четырех; 5.26. три партии из четырех; 5.27. нет; 5.28. 0,32076; 5.29. ; 5.30. а) 0,0984; б) 0,469; 5.31. Р₃(0)=0,027; Р₃(1)=0,189; Р₃(2)=0,441; Р₃(3)=0,343; 5.32. 2; 5.33. 48; 5.34. 6; 5.35. 309; 5.36. а) 0,4096; б) 3; 5.37. 12; 5.38. 17; 5.39. 0,031; 5.40. 0,117; 5.41. 0,047; 5.42. 0,52636; 5.43. 0,0094; 5.44. 9/е⁸; 5.45. 7,5е^-3; 5.46. 0,379; 5.47. 0,819; 5.48. 0,053; 5.49. а) 1/6е; б) 5/3е; 5.50. 0,054; 5.51. а) 5/е⁵; б) 1-1/е⁵; 5.52. 0,974; 5.53. а) 0,0749; б) 0,850; 5.54. а) 2/е²; б) 1-1/е²; 5.55. а) 0,024; б) 0,131; в) 0,131; 5.56. а) 0,976; б) (0,85)²⁵.

 

Раздел 6

Х
p