Постоянные затраты монополиста составляют 400 млн. руб. в год, переменные затраты на единицу продукции составляют 10 тыс. руб. Спрос в интервале цен от 30 до 50 тыс. штук описывается линейной функцией в тыс. шт.: 100- 1,4 'Р, где Р — цена в тыс. руб. При какой цене достигается максимум прибыли?
Решение:
Приведем решение с полным выводом всех формул. Пусть Р, q и П — неизвестные цена, количество и прибыль:П(Р, q) = R(P, q) - C(q), где R — выручка, а С — производственные затраты.
R(P, q) = P-q,
C(q) = F + V(q) = F + vq,
где F, V — постоянные и переменные расходы, v — удельные расходы (и = 10 тыс. руб./шт.).
Количество q ограничено спросом:
q < Dd(P) = D - d-P,
где D = 100 тыс. шт., a d = 1,4 тыс. шт./тыс. руб. = 1,4 шт./руб.
Итак, математически задача формулируется следующим образом:
П(Р, q) = P-q-vq-F-> max
при q < Dd(P) = D - d-P.
При цене (Р), большей, чем переменные издержки на единицу продукции (У), выгодно производить максимально возможное для продажи количество товаров, то есть ограничивающее неравенство превращается в равенство:
q = D - d-P,
и путем подстановки получаем:
- d-P2 + (D + d-v)-P - D-v - F -> max (по Р).
Максимум квадратичной формы с отрицательным коэффициентом при квадрате (-d) достигается в точке среднего арифметического корней:
Цена : P = p1 + p2 /2 = D + d *v /2d = 40,714 тыс. руб.;
Количество: q = D+d*v / 2 = 43 тыс. шт.,
где D = 100; d = 1,4; v = 10;
Максимальная прибыль:
П max = (D+d*v)2 / 4d – F = 1178 - 400 = 778 млн. руб.