СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ЭКОНОМИКЕ

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ЭКОНОМИКЕ

Феофанов В.Н.

Предисловие. 2 Введение. 4 Раздел 1. Общая теория статистики. 15

Предисловие

Статистика в современном менеджменте является мощным инструментом позволяющим принимать оптимальные решения основываясь на имеющейся информации о экономических и социальных явлениях большая часть которых носит случайный (стохастический) характер. В условиях жесткой конкуренции недопустимо принятие управленческих решений, которые основываются на интуитивных началах. Основой для принимаемых решений должны быть количественные оценки, полученные методами статистического анализа на базе имеющихся (собранных) данных оказывающих воздействие на объект управления. Для эффективного использования этого инструмента необходимо освоить предмет и методическую основу статистической науки, которые лежат в основе методов анализа адекватных природе случайности.

К сожалению в практике отечественного менеджмента (особенно в малом бизнесе) пока еще не нашли широкого распространения методы статистического анализа. Это положение обусловлено целым рядом причин, к наиболее значимым из которых, можно отнести:

· Низкий уровень подготовки практикующих специалистов в области статистического анализа, который в свою очередь предопределен также рядом обстоятельств:

Ø отсутствием в программе средней школы методов статистического анализа, хотя многие из них весьма просты и полезны;

Ø в системе высшего образования методам статистического анализа отводится незначительное место (даже в вузах с усиленным курсом математики);

Ø курсы статистики (математическая статистика общая статистика, прикладная статистика, социальная статистика, эконометрика и т.д.) читаемые в технических и гуманитарных вузах в основном ориентированны на формальный аппарат обработки данных (т.е. на математическую статистику), а не на возможности использования статистики в прикладных задачах с иллюстрацией примеров взятых из реальной практики;

Ø слабое использование в практической части читаемых по статистике курсов инструментальных средств получения, обработки и анализа данных;

· Незначительное распространение в профессиональной среде инструментальных средств получения, обработки и анализа данных. Это обстоятельство, также связано с рядом причин, основным из которых можно отнести:

Ø отсутствие до недавнего времени на рынке программных средств (ПС) продуктов позволяющих решать профессиональные задачи с использованием методов статистического анализа пользователям с невысоким уровнем подготовки в области компьютерных технологий и статистики;

Ø отсутствие методического обеспечения по инструментальному анализу ориентированного на практикующих менеджеров;

Ø слабая эффективность рекламной деятельности разработчиков ПС в среде профессиональных управленцев и экономистов;

· Дискредитация статистки в глазах большинства населения страны в связи с недобросовестным получением и представлением данных, как в прошлом – «советская» статистика выдавала желаемое за действительное, так и в настоящее время, когда под заказчика формируется нужные ему результаты статистических исследований;

· Отсутствие понимания определенной частью управленцев и экономистов, того, что для эффективного управления можно использовать не только так называемую «учтенную» часть деятельности, но и «временно не учтенную» часть бизнес деятельности.

 

Введение

Сегодняшнее положение России характеризуется уникальной ситуацией, экономическая система перешла в новое состояние, а ее исполнительные механизмы, системы и методы управления остались на предшествующем уровне организации. Следствием этого является низкая конкурентоспособность и эффективность производственно-хозяйственной деятельности и в особенности в секторе малого бизнеса.

Основой принятия управленческих решений в практике большинства российских малых предприятий является интуитивное начало и ограниченный набор исходных данных. Такой подход имеет смысл только при условии стационарности внешних и внутренних условий деятельности бизнеса, поскольку основой интуиции в рутинной управленческой практике, является благоприобретенный опыт, формируемый по мере накопления повторяющихся данных. В рыночной же среде с высокой степенью конкуренции стационарность является скорее исключением, чем правилом.

В мировой практике принятию решений предшествует численный анализ ситуации на базе всей имеющейся совокупности данных, который обеспечивает принятие лучшего из возможных решений. Основой анализа, в большинстве случаев, являются методы математической статистики и имитационного моделирования, реализуемые в виде программного обеспечения с дружественным к пользователю интерфейсом. Такой подход к формированию управленческого решения принято называть инструментальным менеджментом.

Следует иметь в виду, что Россия уже является членом общемировых организаций, поддерживающих свободную конкуренцию (Международный Валютный Фонд, Всемирный банк и др.) и в ближайшее время войдет в другие аналогичные организации (ВТО, ОЭСР и др.), соответственно следует ожидать массового прихода на отечественный рынок иностранных производителей со сложившейся практикой инструментального менеджмента. Следовательно, переход российских управленцев к современным управленческим технологиям должен проходить в ускоренном темпе, что требует формирование понимания экономической целесообразности и возможности освоения инструментального менеджмента в среде управленцев, а также разработки и популяризации технологий принятия решений на основе программных инструментов и их максимальной адоптации к уроню подготовке и требованиям менеджеров.

Использование в малом бизнесе методов статистического анализа, несомненно, повышает его эффективность и конкурентоспособность. Данное заключение может быть проиллюстрировано несколькими примерами, взятыми из практики бизнеса. Приводимые примеры сознательно упрощенны, для получения эффекта большего понимания прикладного значения статистического анализа.

Следует особо подчеркнуть, что во всех ниже приводимых примерах, в качестве основы для анализа используются данные, которые есть у всех хозяйствующих субъектовне зависимо от применяемой учетной системы, режима налогообложения и процента открытия результатов деятельности в целях налогообложения.

Наиболее актуальной и часто встречающейся задачей в бизнесе является определений объема закупок материалов (товаров) на следующий период деятельности (в случае торговой организации - торговую сессию). Очевидно, что существенным основанием для решения этой задачи является результаты продаж за предыдущий период. Опросы представителей малого бизнеса показывают, что в подавляющем большинстве при выборе объемов закупок принимается к вниманию только средняя реализация за период и результаты нескольких последних торговых сессий.

Рассмотрим задачу определения объема закупок на примере самого простого вида бизнеса, торговля через ларек. Несколько утрируя, можно утверждать, что остатки товаров на прилавках в конце торгового дня служат наглядным подтверждением не эффектности управленческих решений о закупках. Соответственно, остаток товара в конце торговой сессии может служить количественной мерой оценки неэффективности принятых решений о его закупке.

Исходные данные. Предположим, имеются два независимых ларька расположенных в разных районах города, торгующие однотипными товарами. Для простоты и наглядности будем рассматривать ситуацию в разрезе только одного товара, относящегося к категории быстро портящихся (например, вареная колбаса, срок реализации которой истекает к концу следующего дня). Средний уровень реализации товара (объем реализации может быть представлен в штуках, Кг или в денежном эквиваленте) за рассматриваемый период времени у ларьков одинаков. Одинаков и итог реализации по нескольким предшествующим торговым сессий (в общем случае торговая сессия может быть выражена в часах, днях, месяцах и т.д.). Итог последнего дня реализации в ларьках в два раза превысил среднее значение реализации за весь предшествующий период времени. Графическое отражение этой ситуации в каждом ларьке, см. рис. 1 и 2.

 

Рис. 1

Рис. 2

Необходимо определить объем запаса (закупки) товара на следующий торговый день (на следующую торговую сессию).

Как уже указывалось выше, в большинстве случаев, в реальной практике малого бизнеса, объем закупок (запаса на следующую сессию) определяется на основе среднего уровня и итогов последних торговых сессий. Следовательно, для приведенного гипотетического случая, объем закупок в ларьках очевидно равный (какой, в данном случае не рассматривается). Однако, если «открыть» картину реальной реализации (см. рис. 3 и 4), то даже на уровне интуитивной оценки становиться очевидным, что вероятность наступления события последней торговой сессии в ларьках – разная, следовательно, разными должны быть и уровни закупок. Следует обратить внимание, что по условиям задачи, следствием неправильно принятого решения о закупках, будет не только потеря упущенной выгоды от не полной реализации, но и потеря всех средств вложенных в оставшийся после торговой сессии товар.

Рис. 3

Рис. 4

Приведенный пример призван показать, что принятие решения на основании ограниченного набора данных, аналогично принятию решения на принципах случайного выбора. Образно говоря такой выбор аналогичен принятию решений при игре в рулетку в казино. Соответственно, можно утверждать, что при разовых играх игрок может и выиграть, однако при постоянной (систематической) игре обязательно проиграет.

Следовательно, интуитивная оценка не позволяет количественно оценить степень разности динамики продаж в ларьках, от которой очевидно зависит решение по закупкам на следующую сессию. Такая оценка возможна на основе интегральных статистических показателей (квадратичное отклонение, дисперсия; моменты разного рода, частотные показатели и вероятностные характеристики), которые позволяют количественно определить разность предысторий и оценить вероятность наступления последующего события, а, следовательно, позволяют принять решение о закупках на основании всех имеющейся в распоряжении данных. Таким образом, даже самые простые статистические показатели по известной динамике продаж, дают очевидные преимущества по сравнению с вариантом опоры на среднее и последние реализации.

Если продолжить рассмотрение ситуацию с ларьками, то можно предположить два гипотетических варианта объясняющих резкое повышение уровня продаж в последний день реализации.

Первый. Автобус с туристами после длительного пути, случайно остановился недалеко от ларька (вне поля видимости) и ларек оказался ближайшей торговой точкой, где оказался нужный товар. В этом случае последующая реализация скорей всего вернется к предшествующей этому случаю динамике (см. рис. 5).

 

Рис. 5.

Второй. Туристическая фирма разработала тур, в котором автобус с туристами будет останавливаться недалеко от ларька с некоторой периодичностью (о которой в ларьке могут не знать). В этом случае последующая реализация будет иметь повышенные уровни реализации в моменты времени соответствующие периодичности туров (см. рис. 6).

 

Рис. 6

 

Из рисунка 6, кроме прочего видно, что если будет выявлена скрытая периодичность (которая выявляется путем декомпозиции известной динамики реализации и является аналогом всем понятного сезонного фактора), то предприниматель оправдано будет закупать (завозить) товар в соответствующие дни в повышенном количестве. Уже одно это создаст ему существенные конкурентные преимущества по сравнению с вариантом принятия решения на базе ограниченной информации.

Все выше приведенное является только наглядной иллюстрацией к тому, что принятие управленческих решений на основе ограниченных данных и (или) интуиции по сравнению с возможностью количественной оценки по интегральным показателям вариации (моментально рассчитывающимся в Excel) создает ощутимые конкурентные преимущества. Однако в инструментальном менеджменте задача о закупках решается путем прогнозирования.

Прогнозирование (аппроксимация, экстраполяция будущего поведения временного ряда) является развитием приведенного выше примера, когда управленческое решение принимается с учетом не только интегральных статистических показателей по совокупности имеющихся данных, но и позволяет учитывать значения каждой единицы этой совокупности в будущих реализациях (например, спрос на продукцию, цены на сырье, значения макроэкономических показателей и т.д.). Например, как один из вариантов прогнозирования, с помощью статистического пакета подбирается некоторое аналитическое уравнение — строится регрессионная модель. Если предполагается, что на интересующий показатель влияют некоторые другие факторы, их тоже можно включить в модель, предварительно (с помощью того же статистического пакета) проверив существенность (значимость) этого влияния. Затем на основе построенной модели можно сделать прогноз и указать его точность.

Использование прогнозирования в малом бизнесе позволяет оптимизировать все бизнес процессы: начиная с вопросов планирования производства и обеспечения производства необходимыми ресурсами, и формирования ассортиментной политики, до реализации готовой продукции. Основой для прогнозирования являются внутрифирменные данные (динамика цен по поставщикам, итоги реализации продукции, динамика дебиторской задолженности и т.д.), а также показатели рыночной конъюнктуры (динамика цен конкурентов, стоимость трудовых ресурсов, уровня инфляции, стоимость заемных средств и т.д.).

Для прогнозирования временных рядов целесообразно использовать инструментальные средства, которые реализуют статистические методы анализа. Сегодня рынок предлагает широкий выбор статистических пакетов, в которых с тем или иным уровнем сервиса, реализована возможность подбора прогнозной модели и само прогнозирование: Statistica, SPSS, SAS, BMDP, Statgraphics, ODA, winstat, Stadia, КВАЗАР, ОЛИМП и др. Прогнозирование можно проводить как на основании данных об одном временном ряде, так и многофакторное, когда для прогноза используются данные об изменении нескольких факторов во времени.

Оптимизации рекламной деятельностиявляется одной из наиболее распространенных задач реального менеджмента. Постановочно задача формулируется следующим образом: предприятие ведет рекламную деятельность, которая состоит из ряда мероприятий проводимых одновременно (т.е. реклама размещается в различных местах и формах). Соответственно необходимо оценить эффективность каждого рекламного мероприятия. Для решения этой задачи используется факторный анализ динамических рядов или дисперсионный анализ, которые позволяют оценивать вклад каждого мероприятия в результативный показатель, на основании чего проводится перераспределение рекламных затрат. Например, анализ может проводится по динамическим рядам (значение данных привязанные ко времени): потоку денежных средств от продаж и потокам затрат на реализацию каждого рекламного мероприятий.

Эта же задача может быть решена и путем построения диаграммы рассеивания по каждому мероприятию, когда по одной координате откладываются значения объема реализации, а по другой затрат на мероприятие. Задавая форму тренда можно оценивать «качество» связи между ними. Кроме того, в этом случае задав доверительный интервал определяющий качество связи, для моментов времени, когда связь меньшая чем в доверительном интервале позволяет оптимально управлять потоками затрат по временным периодам.

Анализ эффективности инновационного мероприятия (например, изменение системы оплаты труда, выпуск новой продукции, использование новой техники и технологии и т.п.) Постановочно задача формулируется следующим образом: при проведении инновационного мероприятия необходимо убедится в не случайности положительного инновационного эффекта, поскольку эффект может быть определен не инновационным мероприятием, а естественной случайностью. Для решения этой задачи надо сформировать два набора чисел, каждый из которых содержит интересующий показатель эффективности (например, потоки денежных средств от реализации продукции/услуги до и после нововведения) проводятся статистические оценки сравнения двух выборок и статистические критерии выборок покажут, случайны или неслучайны различия этих двух рядов чисел.

Контроль и управление качеством продукции, которые необходимы для предотвращения потерь от выпуска некачественной продукции, рекламаций и сокращения рынка сбыта. Постановочно задача формулируется следующим образом: необходимо обеспечить контроль качества продукции (услуги) с наименьшими затратами соответствующими ожидаемому уровню потерь. Решение этой задачи заключается в определении размера репрезентативной выборки (части продукции повергающейся контролю). Актуальность этой задачи такова, что все статистические программы имеют соответствующую сервисную функцию «Статистические методы контроля качества».

Значение данной задачи можно проиллюстрировать примером внедрения статистических методов контроля в широкую практику в японской промышленности, в которой на большинстве предприятий неукоснительно применяются методы статистического контроля. Контролем качества занимаются не только менеджеры, но и сами рабочие, для этого были отобраны наиболее простые правила для оценивания динамики изменения качества и его наглядного представления. Эти правила выражены общеупотребимыми (без использования научной терминологии) словами, и рабочие выучивают их наизусть. Что позволяет каждому рабочему контролировать производственный процесс (своевременно подстраивать оборудование самому или вызывать наладчиков).

Оптимизация работы с покупателями, которым был предоставлен товарный кредит (с так называемыми дебиторами). Необходимость этого возникает в связи с тем, что с одной стороны товарное кредитование позволяет расширить объем реализации за счет покупателей, которые в данный момент, по каким либо причинам не могут сразу расплатится за товар, но в принципе покупатели кредитоспособны и способны расплатится за купленный товар. С другой стороны, очевидно, что риски при работе с такими покупателями существенно выше (это подтверждается на практике тем, что нередки случае несвоевременной расплаты за взятый товар, то есть возникновением дебиторской задолженности), чем у покупателей, которые расплачиваются по факту приобретения. Таким образом, при использовании товарного кредитования постоянно возникает необходимость решать вопрос о том, можно или нельзя, отпускать товар при существующей дебиторской задолженности (аналогичная ситуация возникает и в случае, когда внутрифирменная организация работы с менеджерами по продажам предусматривает передачу товара на реализацию с учетом имеющийся дебиторской задолженности или когда решается вопрос о выборе поставщика при условии высокой значимости своевременной поставки). Следует учитывать и то, что дебиторская задолженность у покупателей может быть разная по разным товарам и, соответственно, кредитный рейтинг должен формироваться не только по дебиторами, но и по их дебиторской задолженности в ассортиментных разрезах.

В сложившейся практике малого бизнеса эта задача решается на основании интуитивной оценки рисков, которые характеризуются высокой степенью субъективности (часто решение об отгрузке принимается персоналом на основании личностных предпочтений), либо, как в вышеприведенном случае, на основании средней оценки предыдущей задолженности и (или) последних задолженностей. При этом имеющаяся в распоряжении динамика дебиторской задолженности (кредитная история) не используется для принятия управленческого решения.

В тоже время во всей мировой менеджерской практике по каждому дебитору на основании имеющейся кредитной истории формируется кредитный рейтинг. Базой для рейтинга служит вся имеющаяся в распоряжении динамика дебиторской задолженности, по которой формируются численные оценки. Соответственно по каждому дебитору, имеющему кредитную историю, формируется на основании статистических показателей кредитный рейтинг, который сравнивается с допустимым значением и на основании этого решается вопрос «отпускать или не отпускать товар».

Следует отметить, что крупный бизнес в России уже давно использует инструментальные средства по оптимизации дебиторской задолженности, в которых реализованы методы статистического анализа (например, полнофункциональные комплексы бизнес-решений «Галактика», «Босс-Корпорация», «БЭСТ» и др.), в модулях расчетов с дебиторами и кредиторами которых, на основании имеющихся статистических данных формируются кредитные рейтинги и в случае превышения их критичных значений, учетная система автоматически исключает подготовку документов на отгрузку.

Оценка рисков кредитования потенциальных заемщиков.Задача актуальна в банковской деятельности, при использовании предприятиями товарного кредитования для потенциальных покупателей или при оценке рисков несвоевременной поставки продукции потенциальными поставщиками. Постановочно задача формулируется следующим образом. Необходимо определиться в рисках не возврата (несвоевременного возврата) кредита (несвоевременной доставки) по потенциальному заемщику при условии отсутствия предыстории отношений с ним. Для решения этой задачи используется кластерный и (или) дискриминантный анализ. Принцип, которого заключается в группировки объектов в компактные группы (кластеры) позволяющие определить «схожесть» «несхожесть» новых объектов относительно имеющихся кластеров. Во многих случаях имеющиеся объекты удается сгруппировать в несколько кластеров, которые могут быть качественно определены (например, «плохие» или «хорошие») по которым можно принимать управленческие решения. Например, кредитовать заемщиков, которые «схожи» с теми, которые себя хорошо зарекомендовали, и не выдавать тем, которые «схожи» с неплательщиками или мошенниками. Кластерный анализ проводится по совокупности показателей деятельности заемщиков (портрету) с которыми уже осуществлялись заемные операции (например, размер основных фондов, валюту баланса, вид деятельности, объем реализации, аналитические коэффициенты, длина нок секретарши и т.д.). Аналогичная постановка и решение у множества других прикладных управленческих задач, например:

· Кластерный анализ проводится при оптимальном выборе товара в соответствии с покупательной способностью своей группы населения. Так в случае, когда требуется подобрать оптимальную марку пива для группы покупателей с низким уровнем доходов (то есть определить есть ли среди дешевых сортов пива образцы, по совокупности других потребительских свойств, близких к престижным дорогим сортам), проводится кластерный анализ имеющиеся данные о различных сортах пива (каждый из которых характеризуется множеством переменных: цвет, содержание алкоголя, других веществ, калорийность и т.п.);

· При оптимизации маркетинговых исследований и рекламных компаний проводится кластерный анализ потенциальных покупателей, который позволят в случае наличия компактных групп существенно сократить накладные расходы, а в противном случае оправдано использовать индивидуальный подход (например, при продаже дорогих марок автомобилей).

Выявление и предупреждение рисков мошенничества и злоупотреблений в бизнесе.

Необходимость в выявлении и предупреждении рисков мошенничества и злоупотреблений такой постановки задачи возникает, например, в банках, инвестиционных институтах, крупных торговых предприятиях (например, при выявлении злоупотреблений среди персонала при проведении ими розыгрышей и лотерей среди покупателей направленных на стимулирование спроса).

Решение задачи достигается с помощью построения логико-вероятностной модели (ЛВМ). Модель включает логические взаимосвязи так называемых инициирующих факторов (качественно-количественные показатели сотрудников по которым можно проводить мониторинг), которые имеют вероятностную оценку вклада в наступление факта мошенничества. Для эффективного выявления мошенничества разрабатывается «дерево событий» связывающее инициирующие события (которые ассоциируются с мошенничеством) с известными вероятностями и производными от них функциями «и» и «или». Например, в ЛВМ мошенничества работника включаются вероятности мошенничества вследствие необычных отклонений от нормальных значений аналитических признаков (изменений в финансовой отчетности, манипуляций с учетными регистрами, нестандартные данные в отчетности и др.), личностные показатели (соответствия уровня трат уровню доходов, наличие вне семейных связей, наличие дорогостоящих хобби и т.д.

Анализ рынка труда. Для выявления требований к нанимаемому персоналу целесообразно выявить влияние на уровень вознаграждения таких факторов как: стаж работы по специальности; образование; возраст; владение менеджерскими инструментами, знание языков и т.д. На базе многофакторной регрессионной модели и данных исследования рынка труда (посредством сбора статистических данных через электронные рекрутинговые агенства) можно определиться в значимости всех влияющих факторов.

Основной целью данной книги является убедить читателя в эффективности использования методов статистического анализа в повседневной практике менеджеров и экономистов, а также дать представления о самих методах и инструментарии для их реализации. В соответствии с этой целью сама теория статистики излагается только в минимально достаточном объеме позволяющем раскрыть прикладной смысл приемов статистического анализа. Математические выкладки затронутых в пособии подходов приведены в качестве справочного материала в приложении. Кроме того, приводится обширная литература, в которой в полной мере отражены все формальные алгоритмы расчетов статистических показателей, приемов и методов статистического анализа.

Целью раздела по экономическому моделированию пособия является формирование представление о методах исследования (проверки, обоснования, оценивания) количественных закономерностей и качественных утверждений (гипотез) в экономике на основе анализа статистических данных. Эти методы являются составной частью эконометрики - науки, изучающей экономические явления с количественной точки зрения. Эконометрика устанавливает и исследует количественные закономерности в экономике на основе методов теории вероятности и математической статистики, адаптированных к обработке экономических данных.

Закономерности в экономике выражаются в виде связей и зависимостей экономических показателей, математических моделей их поведения. Такие зависимости и модели могут быть получены только путем обработки реальных статистических данных, с учетом внутренних механизмов связи и случайных факторов. Модель может быть получена и апробирована на основе анализа статистических данных, и изменения в поведении последних говорят о необходимости уточнения и развития модели. Особенно важен эконометрический анализ в макроэкономике, где взаимосвязи величин зачастую неочевидны и изменчивы. Нередко встречается ситуация, когда модель перестает "работать" в связи с появлением или активизацией какого-то фактора, и такие ситуации обусловливают развитие макроэкономической теории. Поэтому предлагаемый материал "привязан" к макроэкономическим проблемам и моделям. Эконометрический анализ дает возможность обосновать и уточнить форму зависимостей в рассматриваемых макроэкономических моделях, лучше понять механизмы взаимосвязи макроэкономических показателей.

Книга включает два раздела: курс общей теории статистики и статистическое моделирование.

В приложении приведены материалы расширяющие некоторые разделы первой части, а также экзаменационные вопросы.

 

Раздел 1. Общая теория статистики

Значение статистики, ее задачи и организация

Статистика изучает числа, чтобы обнаружить в них закономерности. Часто явления (ситуации), в которых результат полностью определяется влияющими на… Для описания, явлений с неопределенным исходом (в бизнесе, науке, в… Таблица 1.1 Диаметры 200 головок заклепок, мм 13.39 13.43 13.54 13.64 …

Статистические наблюдения

К статистическим данным, пригодным для обобщений, предъявляется ряд требований: · данные должны быть максимально полными; · данные должны быть достоверными и точными;

Отображение статистической информации

Статистические таблицы

Обязательная часть таблицы - заголовок, показывающий, о чем идет речь в таблице, к какому месту и времени она относится. Подлежащее – это объект исследования: название региона, отрасли, предприятия;… Сказуемое - это система показателей, которыми характеризуется объект изучения, т.е. подлежащее таблицы (то есть это…

Графическое отображение

При всем своем многообразии статистические графики классифицируются по ряду признаков: способу построения, форме применяемых графических образов,… По способу построения статистические графики подразделяются на диаграммы,…    

Абсолютные и относительные статистические показатели

Все используемые в статистической практике показатели по форме выражения классифицируются на абсолютные, относительные и средние. Абсолютные показатели. Показатели отражают физические характеристики изучаемых… В статистической практике для аналитических целей широко применяются относительные показатели, которые представляют…

Пример

Таблица 1.2

Исходные показатели

Показатель
Объем производства

Рассчитываем относительные показатели динамики с переменной и постоянной базой сравнения:

Таблица 1.3

Результаты расчетов

Переменная база сравнения (цепные показатели)	Постоянная база сравнения (базисные показатели)
6808/4745*100%=143,5% 6077/6808*100%=89,3% 6567/6077*100%=108,0%	6808/4745*100%=143,5% 6077/4745*100%=128,1% 6567/4745*100%=138,4%

Относительные показатели динамики с переменной и постоянной базой сравнения взаимосвязаны между собой следующим образом: произведение всех относительных показателей с переменной базой равно относительному показателю с постоянной базой за исследуемый период. Так для данных в примере 1,435*0,893*1,08=1,384 или 138,4%.

Относительные показатели плана и реализации плана. Все субъекты финансово-хозяйственной деятельности в той или иной степенью осуществляют как текущее, так и стратегическое планирование, а также сравнивают реально достигнутые результаты с ранее намеченными. Для этой цели используются относительные показатели плана (ОПП) и реализации плана (ОПРП):

. (1.2)

. (1.3)

Первый из показателей характеризует напряженность плана, т. е. во сколько раз намечаемый объем производства (или какой-либо финансовый результат деятельности предприятия) превысит достигнутый уровень или сколько процентов от этого уровни составит. Второй показатель отражает фактический объем производства в процентах или коэффициентах по сравнению с первым уровнем.

Пример.Оборот фирмы в 2005 г. составил 2,0 млн. руб. Планируемый на 2006 оборот 2,8 млн. руб. Соответственно относительный показатель плана 2,8/2,0*100%=140%. Фактический оборот фирмы за 2006 г. составил 2,6 млн. руб. Тогда относительный показатель реализации плана, определяемый как отношение фактически достигнутой величины к ранее планирован, составит 92,9% (2,6/2,8*100%).

Между относительными показателями плана, реализации плана и динамики существует следующая взаимосвязь:

ОПД = ОПП • ОПРП. (1.4)

В нашем примере: 1.4*0,929=1,3, или 2,6/2,0=1,3.

Основываясь на этой взаимосвязи по любым двум известным величинам, при необходимости всегда можно определить третью неизвестную величину.

Относительный показатель структуры (ОПС) представляет собой соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого:

. (1.5)

Выражается ОПС в долях единицы (доли) или в процентах (удельный вес) и показывают, какой долей обладает или какой имеет та или иная часть в общем итоге.

Пример

Рассчитанные в последней графе таблицы 9 проценты представляют собой относительные показатели структуры (в данном случае - удельные веса). Сумма всех удельных весов всегда должна быть строго равна 100%.

Таблица 1.4

Структура валового внутреннего продукта РФ

Показатель	Объем
Млрд. руб	%к итогу
ВВП – всего, в том числе:
производство товаров		38,6
производство услуг		49,2
чистые налоги на продукты		12,2

Относительный показатель координации (ОПК) представляет собой отношение одной части совокупности к другой части этой же совокупности:

Часто в качестве базы сравнения выбирается часть имеющая наибольший удельный вес или та которая приоритетна с точки зрения проводимого анализа. Показатель позволяет определить во сколько раз сравниваемая часть больше базисной, или сколько процентов от нее составляет, или сколько единиц данной структурной части приходится на 1 единицу (иногда — на 100, 1000 и т. д. единиц) базисной структурной части. Так, на основе выше приведенных данных вычисляется, что на каждый миллиард рублей произведенных товаров приходится 4452/3490=1,28 млрд. руб. произведенных услуг и — 1099/3490=0,31 млрд руб. налогов.

Относительный показатель интенсивности (ОПИ) характеризует степень распространения изучаемого процесса или явлении и представляет собой отношение исследуемого показателя к размеру присущей ему среды:

 

. (1.6)

Данный показатель получают сопоставлением разноименных, но взаимосвязанных в своем развитии величин. Поэтом; наиболее часто он представляет собой именованную величину, и может быть выражен и в процентах, промилле, продецимилле.

Обычно относительный показатель интенсивности рассчитывается в тех случаях, когда абсолютная величина оказывается недостаточной для формулировки обоснованных выводов о масштабах явления, его размерах, насыщенности, плотности распределения. Например, в официальной статистики для определения уровня обеспеченности населения легковыми автомобилями рассчитывается число автомашин, приходящихся на 100 семей; для определения плотности населения рассчитывается число людей, приходящихся на 1 КМ².

Пример. На конец 2000 г. численность граждан, состоящих на учете в службе занятости, составляла 1037 тыс. чел., а число заявленных предприятиями вакансий — 610 тыс. Отсюда следует, что на каждых 100 незанятых приходилось 59 свободных мест (610/1037*100%).

Разновидностью относительных показателей интенсивности являются относительные показатели уровня экономического развития, характеризующие производство продукции в расчете на душу населения и играющие важную роль в оценке развития экономики государства. Так как объемные показатели производства по своей природе являются интервальными, а показатель численности населения - моментным, в расчете используют среднюю за период численность населения (например, среднегодовую).

 

Пример

ВВП России в 2001 г. составил 9041 млрд. руб., а среднегодовая численностью населения страны 144,4 млн. чел. (которая в простейшем случае рассчитывается как половина суммы численности населения на начало и на конец года). В результате размер ВВП на душу населения составит 9041 млрд. руб./0, 1444 млн чел.=62,6 тыс. руб.

Относительный показатель сравнения (ОПСр) представляет собой соотношение одного и того же абсолютного показателя, характеризующего разные объекты (предприятия, районы, страны и т.д.):

. (1.7)

Пример. По данным за 2000 г., среднегодовая численность населения России составляла 145 млн чел., США — 275 млн чел., Индии — 1002 млн чел., Китая — 1275 млн чел. Таким образом, по численности населения США превышали Россию в 1,9 раза(275/145), Индии – в(1002/145), Китай – в 8,8 раза (1275/145).

Средние показатели

Важнейшее свойство средней заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности. Значения признака… Для того, чтобы средний показатель был действительно типизирующим, он должен… Основные принципы применения средних величин.

Основные свойства средней арифметической.

2) Если от каждого варианта вычесть или к каждому варианту прибавить… 3) Если каждый вариант умножить или разделить на какие-либо число, то среднее уменьшится или увеличится во столько же…

Примеры расчета среднего

Пример №1. По данным табл. 1.5 требуется рассчитать среднюю заработную плату в целом по трем предприятиям.

Таблица 1.5

Заработная плата на предприятиях

Предприятие	Численность промышленно-производственного персонала (ППП), чел.	Месячный фонд заработной платы, тыс. руб.	Средняя заработная плата, руб.
А
		564,84
		332,75
		517,54
Итого		1415,13	?

Исходное соотношение средней для показателя «средняя заработная плата» независимо от имеющихся в распоряжении данных может быть получена только через следующее отношение:

. (1.9)

Однако конкретная расчетная формула зависит от того, какие данные табл. 10 являются исходными. Соответственно возможны варианты: данные столбцов 1 (численность ППП) и 2 (месячный ФОТ); либо - 1 (численность ППП) и 3 (средняя ЗП); или 2 (месячный ФОТ) и 3 (средняя ЗП).

Если имеются только данные столбцов 1 и 2. Итоги этих граф содержат необходимые величины для расчета искомой средней. Используется формула средней агрегатной:

где w_i=x_i*f_i;

x_i — i-й вариант осредняемого признака;

f_i, - вес i-го варианта.

Если имеются только данные столбцов 1 и 3, то известен знаменатель исходного соотношения, но не известен его числитель. Однако фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на численность ППП. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:

Необходимо учитывать, что вес (f_i) в отдельных случаях может представлять собой произведение двух или даже трех значений.

Кроме того, в статистической практике находит применение и средняя арифметическая невзвешенная:

. (1.10)

где n — объем совокупности.

Эта средняя используется тогда, когда веса (f_i) отсутствую (каждый вариант признака встречается только один раз) или равны между собой.

Если имеются только данные столбцов 2 и 3., т. е. известен числитель исходного соотношения, но не известен его знаменатель. Численность ППП каждого предприятия можно получить делением ФОТ на среднюю ЗП. Тогда расчет средней ЗП в целом по трем предприятиям проводится по формуле средней гармонической взвешенной:

 

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

При равенстве весов (f_i) расчет среднего показателя может быть произведен по средней гармонической невзвешенной:

. (1.11)

В нашем примере использовались разные формы средних, но получили один и тот же ответ. Это обусловлено тем, что для конкретных данных каждый раз реализовывалось одно и то же исходное соотношение средней.

Средние показатели могут рассчитываться по дискретным и интервальным вариационным рядам. При этом расчет производится по средней арифметической взвешенной. Для дискретного ряда данная формула используется так же, как и в приведенном выше примере. В интервальном же ряду для расчета определяются середины интервалов.

Пример №2. По данным табл. 1.6 определим величину среднедушевого денежного дохода за месяц в условном регионе.

Таблица 1.6

Исходные данные (вариационный ряд)

Среднедушевой денежный доход в среднем за месяц, х, руб.	Численность населения, % к итогу/
До 400	30,2
400 - 600	24,4
600 - 800	16,7
800 - 1000	10,5
1000-1200	6,5
1200 - 1600	6,7
1600 - 2000	2,7
2000 и выше	2,3
Итого

Среднедушевой денежный доход 688,5 руб.

Пример №3. Требуется исчислить производительность труда рабочей силы, если 1-ому рабочему требуется для изготовления единицы продукции 0,25 часа, второму 1/3 часа, а третьему 1/2 часа. Расчёт ведется по формуле средней гармонической взвешенной:

.

Пример №4. Требуется вычислить средние затраты времени на мойку окон площадью 100 М² по трём клининговым компаниях, табл.

Таблица

Данные по клининговым компаниям

Заводы	Затраты времени на мойку одним человеком 100 М2 окон, час. (x)	Затраты времени на мойку всех окон, час (x*f)
	1,5	628.6
	1.8	821.2
	2,1	524.9

В данной задаче для расчетов применяется среднее гармоническое взвешенное. Критерием правильности применения средней гармоническое взвешенной является то, что деление затрат времени на переработку всей свеклы на величину Х затрат времени, необходимых для переработки 1000ц. свеклы даёт количество переработанной свеклы вообще.

Пример №5. Оценка знаний: первый вопрос – 2 бала, второй – 5. Рассчитать средние.

2,8<=3,05<=3,8<=4,05

Пример №6. В бухгалтерском учете часто используется средняя заработная плата (ЗП). На ней базируются разнообразные выплаты работникам предприятий. Статья 139 ТК определяет правила расчета среднего заработка для оплаты отпусков или компенсаций за неиспользованные отпуска, для определения времени командировок, выплаты выходных пособий и других случаев, предусмотренных Трудовым кодексом. В соответствии со статьей утверждено положение «Об особенностях порядка исчисления средней заработной платы» (постановление правительства от 11 апреля 2003 г. № 213).

Средний дневной заработок для всех случаев его нахождения, кроме оплаты отпусков и выплаты компенсаций за неиспользованные отпуска, определяется делением фактически начисленной ЗП на фактически отработанные дни в течение расчетного периода.

При расчете среднего дневного заработка для оплаты отпуска и выплаты компенсации за неиспользованный отпуск, предоставляемый в календарных днях, при полностью отработанном расчетном периоде рассчитывается делением фактически начисленной за расчетный период ЗП на 12 месяцев расчетного периода и на среднемесячное число календарных дней, равное 29,4.

Если расчетный период отработан не полностью, то делитель предыдущей формулы определяется по-другому. Необходимо сложить среднемесячное число календарных дней, умноженное на количество полностью отработанных месяцев, и количество рабочих дней по календарю 5-дневной рабочей недели, приходящихся на отработанное время в не полностью отработанных месяцах, умноженное на коэффициент 1,4.

Отпуск может предоставляться и в рабочих днях для сотрудников, заключивших краткосрочный договор сроком не более 2 месяцев (ст. 291 ТК), когда он имеет право на отпуск продолжительностью 2 рабочих дня в месяц. Средняя дневная ЗП тоже зависит от того, полностью ли отработан период трудоустройства. Если полностью, то средняя ЗП определяется простым путем деления фактически начисленных средств на количество отработанных дней по 6-дневной рабочей неделе (в полностью отработанных месяцах). В противном случае к делителю прибавится количество отработанных дней по календарю 5-дневной рабочей недели в не полностью отработанных месяцах, умноженное на коэффициент 1,2 [20].

Исходные данные. Необходимо рассчитать средний заработок для оплаты положенных по закону 4 рабочих дней отпуска работнику, устроившемуся в компанию с 1 сентября по 31 октября 2007 года. В компании установлена 5-дневная рабочая неделя. С 18 по 21 сентября 2007 года специалист болел. За свой период работы он получил 35 000 руб. В полностью отработанном месяце количество фактически отработанных дней по календарю 6-дневной рабочей недели составит 27 (октябрь). В не полностью отработанном месяце количество фактически отработанных дней по календарю 5-дневной рабочей неделе составит 16 (сентябрь).

Ср.ЗП = (35 000 / (27 + 16 × 1,2)) × 4 = 3030,3 руб.

Статистический анализ вариационных (интервальных) данных (изложение данного раздела с использованием аппарата математической статистики, см. Приложение 1)

Совокупность значений изучаемого признака с указанием числа их различных значений называется распределением признака. Распределение представляют в форме вариационного ряда. В соотношении значений признака (вариантов) и числа единиц (частот) проявляется закономерность распределения. Она описывается различными статистическими показателями в частности:

· частотные показатели;

· показатели центра распределения;

· показатели степени вариации;

· показатели формы распределения.

Частотными показателями любого ряда распределения являются абсолютная численность i- и группы — частота f_i и относительная частота — частость d_i , где , а , или 100%.

Кумулятивная (накопленная) частота S_i (частость S_d) характеризует объем совокупности со значениями вариантов, не превышающих X_i,. Кумулятивные частотные показатели образуются последовательным суммированием абсолютных или относительных частот, например: S₁=f_i; S₂=f₁+f₂; S₃=f₁+f₂+f₃ и т. д.

Плотность частоты (частости) представляет собой частоту, приходящуюся на единицу интервала, т.е. q_i=f_i/h_i или q_i=d_i/h_i, где h_i, - величина i-го интервала. Данный показатель используют, если интервалы вариационного ряда неравные и необходимо графически изобразить этот ряд в виде гистограммы, а так же при расчете моды.

(1) Показатели центра распределения. К показателям центра распределения относят среднюю, моду и медиану, дециль, перцентиль.

Средняя величина характеризует типичный уровень признака в совокупности. По данным вариационного ряда распределения средняя рассчитывается как арифметическая взвешенная:

· на основе частот:

. (1.14)

· на основе частостей

. (1.15)

Если используется интервальный ряд распределения то, допуская, что распределение в границах i-го интервала является равномерным, как вариант х_i, - используют середину интервала (х'). При этом величину открытого интервала условно считают такой же, как и величину соседнего закрытого интервала.

Мода (Мо) — значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту (частость).

В дискретном ряду мода определяется визуально по максимальной частоте или частости.

В интервальном ряду по наибольшей частоте определяется модальные интервал а конкретное значение моды в модальном интервале определяется:

(1.16)

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Графическое отображение используемых в формуле 1.16 обозначений представлены на рис. 1.5.

 

 

Рис. 1.5. Гистограмма и полигон

Медиана (Ме) — значение признака (варианта), приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части. Например, стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 8, 10 лет. В таком упорядоченном ряду медиана - 7 лет. По обе стороны от нее находится одинаковое число рабочих.

Медиана, как и мода, не зависит от крайних значений вариантов, поэтому применяется для характеристики центра в ряду распределения с неопределенными границами.

Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы: N=(n+1)/2 (в нашем случае N=(100+1)/2=50.5%, см. рис. 1.6.). Затем по накопленным (кумулятивным) частотам S_i дискретного ряда определяется медиальный интервал (в нашем случае интервал совпадает с модальным интервалом.

В дискретном ряду распределения медианы находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального (вариационного) ряда распределения конкретного значение медианы вычисляется по формуле:

 

, (1.17)

где — начальное значение интервала, содержащего медиану;

— величина медианного интервала;

— сумма частот ряда;

— сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

— частота медианного интервала.

 

Рис. 1.6. Кумулята

В симметричных рядах распределение значения моды и медианы совпадают со вредней величиной , а в умеренно асимметричных рядах они соотносятся: .

Кроме медианы в анализе закономерностей распределения используются также квартели и децели, при расчете которых в формуле расчета медиального значения Ме множитель ½ заменяется на 0,25 и 0,1 соответственно.

Показатели степени вариации

Различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Вариация возникает в следствии того, что индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом конкретном случае.

Как уже говорилось средняя величина — это абстрактная, обобщающая характеристика признака изучаемой совокупности, но она не показывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя величина не дает представления о том, как отдельные значения изучаемого признака группируются вокруг средней, сосредоточены ли они вблизи или значительно отклоняются от нее.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию признака: случайную и систематическую.

Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов. Например, изучая силу и характер вариации в выделяемой совокупности, можно оценить, насколько однородной является данная совокупность в количественном, а иногда и качественном отношении, а следовательно, насколько характерной является исчисленная средняя величина. Степень близости данных отдельных единиц х_i к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.

Для измерения и оценки вариации используют абсолютные и относительные характеристики.

Размах вариации (R) является наиболее поверхностной оценкой рассеяния (вариации) совокупности распределения, которая показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака: R=x_max-x_min.

Среднее линейное отклонение является обобщающей мерой вариации индивидуальных значений признака от средней арифметической величины. Она дает абсолютную меру вариации.

Для интервальных (вариационных) рядов:

не взвешенная:

взвешенная средняя определяется:

Дисперсия (s)² — это средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от средней величины. Дисперсию используют не только для оценки вариации, но и при измерении взаимосвязей, а также для проверки статистических гипотез.

В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по:

средней арифметической (простая):

;

средней арифметической взвешенной:

.

Свойства дисперсии.

Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.

Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.

Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз к соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - в к раз.

Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной: . Если А равна нулю, то приходим к следующему равенству: , т.е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.

Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.

Среднее квадратическое отклонение - s - это обобщающая характеристика абсолютных размеров вариации признака. Оно в совокупности представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней, т.е. оно исчисляется путем извлечения квадратного корня из дисперсии и измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак. Отклонение выражается оно в тех же единицах измерения, что и признак (в метрах, тоннах, процентах, гектарах и т.д.).

Среднее квадратическое отклонение является мерилом надежности средней. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю представляемую совокупность.

.

Показатели относительного рассеивания

Для характеристики меры колеблемости изучаемого признака исчисляются показатели колеблемости в относительных величинах. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях (различные единицы наблюдения одного и того же признака в двух совокупностях, при различных значениях средних, при сравнении разноименных совокупностей). Расчет показателей меры относительного рассеивания осуществляют как отношение абсолютного показателя рассеивания к средней арифметической, умножаемое на 100%.

Коэффициент осцилляции V_R - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Относительное линейное отклонение К_ло характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

.

Коэффициент вариации Vσ.

.

Учитывая, что среднеквадратическое отклонение дает обобщающую характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если V больше 40 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

Показатели симметрии распределения

Симметричным называется распределение у которого частоты равноотстоящие от моды равны между собой, следовательно выполняется соотношение =Мо=Ме. Соответственно наиболее простой мерой асимметрии является (x_ср-Мо).

Коэффициент асимметрии Пирсона:

При К_а>0 скошенность ряда правосторонняя (т.е. >Mo), при К_а<0 скошенность ряда левосторонняя (т.е. <Mo).

Нормальный коэффициент асимметрии третьего порядка. Часто используется в прикладных расчетах. Коэффициент не зависит от масштаба, выбранного при измерении варианта, так как является отвлеченной величиной и определяется по формуле:

,

где - центральный момент третьего порядка и определяется:

Нормальный коэффициент асимметрии четвертого порядка. Используется для определения «крутизны» («заостренности») графика распределения частот. Определяется по формуле:

,

где - центральный момент третьего порядка и определяется:

При нормальном распределении А₄=3. Для измерении асимметрии эталоном служит симметричное (нормальное) распределение, для которого А₃=0.

Показатель эксцесса распределения:

.

При Е_k>0 распределение островершинное, при Е_k <0 – плосковершинное.

Пример. По данным о возрастной структуре производственного оборудования в промышленности приведенным в таблице 12 необходимо определить средний возраст оборудования.

Таблица 1.7

Возрастная структура производственного оборудования в промышленности

Возраст оборудования, лет	Удел. вес оборудования, % к итогу, (fi)	Середина интервала хi	хifi	Накопленная частота, Si	[xi-xср]	[xi-xср]*fi	[xi-xср]2 *fi	(xi-xср)3 *fi	(xi-xср)4 *fi
До 5		2,5			11,2	112,0	1254,4	-14049
5 – 10		7,5	142,5		6,2	117,8	730,4	-4528,2
10 – 15		12,5			1,2	36,0	43,2	-51,8	62,2
15 – 20		17,5			3,8	91,2	346,6	1316,9	5004,3
20 - 25		22,5			8,8	105,6	929,3	8177,7	71963,4
25 - 30		27,5	137,5		13,8	69,0	952,2
å		-				531,6	4256,0	4005,6

Решение

По данным таблицы 1.7 наибольшая частота fmax= 30 %, а модальный интервал Мо=10-15 лет при xo =10 лет, а h=(20-15)=5 лет; fM0 =30%, fMo-1=19%… Гистограмма распределения, полигон и графический способ определения моды см.… Расчет медианы по данным таблицы 1.7. Серединная Кумулята Si = 59%), xo =10 лет, =(15-10)=5 лет), fMe=30%, SMe-1= 29%.…

Группировка статистических данных и анализ групп

Различают простую сводку (подсчет только общих итогов) и статистическую группировку, которая сводится к расчленению совокупности на группы по… Результаты сводки могут быть представлены в виде статистических рядов… Количественные признаки — это признаки, имеющие количественное выражение у отдельных единиц совокупности, например,…

Ряды динамики

Основная цель статистического изучения динамики бизнес деятельности состоит в выявлении и измерении закономерностей их развития во времени. Это… Рядами динамики называются статистические данные, отображающие развитие… Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут…

Экономические индексы и их использование в экономико-статистических исследованиях

Индексы используются как временные показатели (показатели динамики), а также для оценки роли отдельных составляющих индексы факторов в изменении… К индексам количественных (объемных) показателей относятся индексы: • физического объема продукции;

Индексы количественных показателей

Выбор коэффициента соизмерения в каждом конкретном случае зависит от имеющейся исходной информации и от цели исследования. Универсальное значение в… в базисном периоде - или , в отчетном периоде - или ,

При построении индексов объёмных показателей следует руководствоваться следующим правилом: в качестве соизмерителя применяются те или иные качественные показатели (чаще всего - цена, себестоимость), зафиксированные, как правило, на уровне базисного периода. Для измерения роста (снижения) изучаемых показателей в динамике применяют цены (себестоимость) одного и того же периода.

Если разделить стоимость продукции (работ, услуг) отчетного периода ( p₁q₁ ) на стоимость продукции (работ, услуг) базисного периода (p₀q₀), то получим индекс стоимости продукции (работ, услуг):

I_pq =.

Этот индекс характеризует изменение стоимости продукции (работ, услуг), которая зависит от изменения уровня цен и объёма произведенной продукции (выполненных работ, оказанных услуг) в отчетном периоде по сравнению с базисным. Индекс стоимости не дает количественного представления об изменении объёма выпущенной продукции (выполненных работ, оказанных услуг). Такое представление можно получить рассчитав влияние изменения цен, для чего количество продукции, произведенной в отчетном и базисном периоде, надо умножить на одинаковые для обоих периодов цены.

Iq = .

Такой индекс называют агрегатным индексом физического объёма. В числителе и знаменателе изменяется индексируемая величина (q), а значение соизмерителя (p) остается неизменным.

Пример расчета индивидуальных и агрегатных индексов физического объёма продукции.

Вид продукции	Количество выпущенной продукции,тыс. штук (q)	Сопоставимая цена за единицу продукции, тыс. рублей ( р0 )
базисный год	отчетный год
1.
2.
3.

Индивидуальные индексы физического объёма продукции можно вычислить по следующей формуле: i_q = q ₁ : q₀ .

Для продукции № 1: i _q = 280 : 250 = 1,12 или 112%

Для продукции № 2: i _q = 900 : 750 = 1,2 или 120%

Для продукции № 3: i _q = 620 : 500 = 1,24 или 124%

Агрегатный индекс динамики физического объёма продукции можно рассчитать следующим образом:

Iq = = = 1,2 или 120 %

Объём произведенной продукции возрос в отчетном периоде на 20 %.

Величина агрегатного индекса физического объёма зависит от индивидуальных индексов, так как общее изменение объёма продукции есть результат изменения объёма производства каждого отдельного вида продукции. Общий результат изменения зависит также от удельного веса отдельных видов продукции в общем объёме выпуска.

Общий индекс физического объёма, построенный на базе индивидуальных индексов, принимает форму среднего индекса. Пример расчета среднего индекса физического объёма товарооборота фирмы.

 

№№ магазина	Товарооборот магазинов в 1 квартале, млн. рублей ( p 0 q0 )	Товарооборот магазинов в 2 квартале, млн. рублей ( p 1 q1 )	Изменение физического объёма товарооборота, % ( i q - 100 % )
№ 1			+ 5
№ 2			+ 2
№ 3			- 3

 

Средний арифметический индекс физического объёма товарооборота, где весами служит цена отдельных видов товаров в базисном периоде можно вычислить по следующей формуле:

Iq = = 1,005

Таким образом, физический объём товарооборота фирмы возрос во втором квартале на 0,5 %.

Учитывая, что отношение p₀q₀:p₀q₀ характеризует долю товарооборота одного магазина в общем товарообороте фирмы базисного периода (d₀ ), средний арифметический индекс физического объёма товарооборота можно записать следующим образом:

Iq = = 1,050,24 + 1,020,3 + 0,970,46 = 1,005

На основе имеющейся информации мы можем рассчитать общее изменение товарооборота фирмы и его изменение по всем магазинам за счет отдельных факторов по следующей схеме:

1. Вычислим индекс товарооборота фирмы, который отражает общее изменение товарооборота фирмы во втором квартале по сравнению с первым.

Ipq == = 1,02 или 102 %.

Общее изменение товарооборота в абсолютном выражении (в млн. рублей) можно определить, если найти разность между числителем и знаменателем индекса товарооборота фирмы.

p1q1 - p0q0 = 25200 - 24700 = 500 млн. рублей

Товарооборот фирмы во втором квартале по сравнению с первым кварталом увеличился на 2 % или на 500 млн. рублей.

2. Исходя из того, что товарооборот фирмы можно представить как произведение двух множителей - количество проданных товаров (q) и цены за единицу проданного товара (р), построим индексную модель, отражающую связь этих показателей.

Ipq = Iq Ip или .

Следовательно, на общее изменение товарооборота фирмы влияют два основных фактора: количество проданных товаров и цена за единицу проданного товара. Рассчитаем влияние этих факторов в абсолютном и относительном выражении.

а) изменение товарооборота фирмы за счет изменения количества проданных товаров покажет индекс физического объёма товарооборота

Iq = 1,005 или 100,5 %

qpq = iq p0 q0 - p0 q0 = 24814 - 24700 = 114 млн. руб.

б) изменение товарооборота фирмы за счет изменения цен на проданные товары покажет индекс цен

Ip = = 1,016 или 101,6 %

qpp= - iq p0q0= 25200 - 24814 = 386 млн.руб.

Товарооборот фирмы во втором квартале по сравнению с первым кварталом увеличился за счет роста объёма продаж на 0,5 % или на 114 млн. рублей и роста цен на 1,6 % или на 386 млн. рублей.

Проверка взаимосвязи исчисленных показателей:

 

Ipq = Iq Ip = 1,005 1,016 = 1,02

pq = pq q + pqp = 114 + 386 = 500 млн. рублей

Индексы качественных показателей

Принципы построения индексов качественных показателей рассмотрим на примере расчета индексов себестоимости. Индивидуальный индекс себестоимости характеризует изменение уровня… i z = z 1 : z0.

При построении индексов качественных показателей следует руководствоваться следующим правилом: весами служат те или иные количественные показатели (чаще всего объём продукции), зафиксированные как правило на уровне отчетного периода.

Формулу общего агрегатного индекса себестоимости можно записать так:

Iz =.

Числитель индекса показывает затраты на производство продукции отчетного периода, а знаменатель - величину затрат на производство продукции отчетного периода при уровне себестоимости базисного периода.

Взвешивание уровня себестоимости по количеству продукции отчетного периода позволяет увязать индексы количественных и качественных показателей в систему:

Izq = Iz Iq или

Используя величины индекса себестоимости можно рассчитать сумму экономии (перерасхода) от снижения себестоимости, которая рассчитывается как разность между числителем и знаменателем агрегатного индекса себестоимости:

.

Если полученная разность имеет знак минус, то это означает экономию в затратах от снижения себестоимости, а знак плюс - потери от повышения себестоимости.

Рассмотрим на примере расчет индивидуальных и агрегатного индексов себестоимости и сумм экономии (перерасхода) от снижения себестоимости.

 

Виды продукции	Фактически произведено продукции в отчетном периоде, млн. штук ( q 1 )	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.
Базисный год (z0)	Отчетный год (z1)
№ 1		79,3	75,1
№ 2		64,0	60,2
№ 3		120,0	110,5

 

1. Определим изменение (в %) себестоимости в отчетном периоде по сравнению с базисным каждого изделия и всей продукции в целом. Для того, чтобы вычислить изменение себестоимости по каждому виду продукции следует рассчитать индивидуальные индексы, а по всей продукции в целом - агрегатный индекс.

а) индивидуальные индексы : i _z = z₁: z₀

i _z = 75,1 : 79,3 = 0,947 или 94,7 %

i _z = 60,2 : 64,0 = 0,941 или 94,1 %

i _z = 110,5 : 120,0 = 0,921 или 92,1 %

б) агрегатный индекс себестоимости продукции

Iz = = 0,9334 или 93,34 %

В отчетном периоде по сравнению с базисным себестоимость единицы продукции № 1 снизилась на 5,3 %, продукции № 2 - на 5,9 %, продукции № 3 - на 7,9 %, в целом по всей продукции - на 6,66 %.

2. Вычислим абсолютную величину экономии (перерасхода) от изменения себестоимости в отчетном периоде по сравнению с базисным по каждому виду продукции и по всей продукции в целом.

а) для каждого вида продукции: z = z ₁ q₁ - z₀q₁

z = ( 75,1 - 79,3 ) 500 = - 2100 тыс.рублей

z = ( 60,2 - 64,0 ) 200 = - 760 тыс. рублей

z = ( 110,5 - 120,0 ) 400 = - 3800 тыс. рублей

б) для всей продукции в целом : z = z ₁ q₁ - z₀ q₁

z = 93790 - 100450 = - 6600 тыс. рублей

Экономия затрат от снижения себестоимости продукции составила 6600 тыс. рублей, в том числе по продукции № 1 - 2100 тыс. рублей, по продукции № 2 - 760 тыс. рублей, по продукции № 3 - 3800 тыс. рублей.

С помощью индексов можно охарактеризовать выполнение планового задания по росту или снижению того или иного показателя. Рассмотрим на примере расчет планируемого снижения себестоимости продукции (работ, услуг), выполнения плана по снижению себестоимости и размер снижения себестоимости по сравнению с предыдущим периодом.

 

Вид продукции	Производство продукции, млн.штук	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.
в базисном году (q0)	по плану (qпл)	в отчетном году (q1)	в базисном году (z0)	по плану (zпл)	в отчетном году (z1)
					88,5	88,2
					125,4	123,6
					143,1	141,9

 

Для того, чтобы определить планируемое снижение себестоимости каждого вида продукции, следует соотнести себестоимость единицы продукции, предусмотренную планом, и себестоимость единицы продукции базисного года, то есть рассчитать индивидуальный индекс по формуле: i _z = z_пл.: z₀.

Так, для продукции № 1 - i _z = 88,5 : 90 = 0,9833, то есть запланированный процент снижения себестоимости единицы продукции составляет 1,67 %. Для продукции № 2 - i _z = 125,4 : 126 = 0,9952 и запланированный процент снижения 0,48 % , для продукции № 3 - i_z = 143,1 : 144 = 0,9938 и запланированный процент снижения - 0,62 %.

Индекс, показывающий планируемое изменение затрат на производство всех видов продукции в отчетном периоде по сравнению с затратами на производство той же продукции в базисном периоде, определяется по формуле:

I z = = 0,9905

Величина данного агрегатного индекса показывает, что в целом по предприятию запланировано снижение себестоимости продукции в отчетном году на 0,95 %.

За счет снижения себестоимости продукции предприятие планирует экономию в размере:

= 148698 - 150120 = - 1422 тыс. рублей

Для того, чтобы проконтролировать выполнение плана по снижению себестоимости продукции следует вычислить индексы динамики себестоимости продукции и сопоставить их с запланированными процентами снижения себестоимости продукции.

Индивидуальные индексы динамики себестоимости продукции рассчитываются по следующей формуле : i _z = z₁ : z₀. Для продукции № 1 индекс динамики себестоимости равен 0,98, для продукции № 2 - 0,981, для продукции № 3 - 0,9854. Таким образом, себестоимость в отчетном периоде по сравнению с базисным по продукции № 1 снизилась на 2 % при планируемом уровне снижения себестоимости на 1,67 %, по продукции № 2 - на 1,9 % при планируемом уровне снижения на 0,48 %, по продукции № 3 - на 1,46 % при планируемом уровне снижения на 0,62 %.

Индекс динамики себестоимости продукции предприятия можно вычислить по следующей формуле:

Iz = = 0,9813

Снижение себестоимости продукции предприятия по сравнению с базисным годом составило 1,87 %. Фактическая экономия от снижения себестоимости продукции составила:

-z0q1= 163206 - 166320 = - 3114 тыс. рублей.

Для того, чтобы установить процент перевыполнения плана по снижению себестоимости продукции следует рассчитать индексы выполнения плана. Индивидуальные индексы выполнения плана вычисляются по следующей формуле: i _z= z₁: z_пл.. Для продукции № 1 индекс выполнения плана равен 0,9966, для продукции № 2 - 0,9856, для продукции № 3 - 0,9916, то есть план по снижению себестоимости продукции № 1 перевыполнен на 0,34 %, по продукции № 2 - на 1,44 %, по продукции № 3 - на 0,84 %.

Процент выполнения плана по снижению себестоимости продукции предприятия определяют по следующей формуле:

Iz = = 0,9908

План по снижению себестоимости продукции перевыполнен предприятием на 0,92 %. Сумма сверхплановой экономии от снижения себестоимости продукции составила:

= 163206 - 164718 = -1512 тыс. рублей.

Сумма плановой и сверхплановой экономии (1422 тыс. рублей + 1512 тыс. рублей) от снижения себестоимости продукции не равна сумме фактической экономии (3114 тыс. рублей) в связи с изменением фактического объема производства отдельных видов продукции по сравнению c запланированным.

Средняя себестоимость единицы однородной продукции по группе предприятий определяется по формуле средней арифметической взвешенной: .

В качестве веса используется количество продукции данного вида, выпущенное отдельными предприятиями (q) или удельный вес каждого предприятия в общем объеме выпуска данного вида продукции (d _q). Зная среднюю себестоимость единицы продукции в отчетном и базисном периодах, можно определить ее изменение в форме отношения двух взвешенных средних:

 

.

При исчислении средней себестоимости единицы продукции отчетного периода весами служит количество продукции отчетного периода, а при определении средней себестоимости единицы продукции базисного периода - количество продукции базисного периода. Отношение двух взвешенных средних с переменными весами, характеризующее изменение индексируемой величины, называется индексом переменного состава. Величина индекса переменного состава зависит от двух факторов: изменения уровня себестоимости на отдельных предприятиях и изменения в соотношении между объемами продукции, выпускаемой отдельными предприятиями.

Для того, чтобы измерить влияние изменений в структуре весов на показатель изменения уровня себестоимости продукции следует рассчитать отношение средних взвешенных с одними и теми же весами, то есть исчислить индекс постоянного состава.

Формула индекса средней себестоимости продукции постоянного состава выглядит следующим образом:

.

Средняя себестоимость продукции в базисном периоде скорректирована на структуру фактического выпуска продукции. Следовательно, данное отношение показывает каково было бы изменение среднего уровня себестоимости продукции по группе предприятий, если бы удельный вес предприятий с разным уровнем себестоимости в базисном периоде был таким же, как и в отчетном.

Как уже отмечалось выше, величина взвешенной средней зависит от двух факторов: изменения отдельных уровней индексируемой величины (значение “ z” на отдельных предприятиях) и от изменения в структуре весов. Поэтому, если веса не остаются постоянными, то индекс фиксированного состава будет отличаться от индекса переменного состава в меру отношения:

Id==.

Указанное отношение принято называтьиндексом влияния структурных сдвигов, который представляет собой отношение среднего уровня себестоимости продукции базисного периода, скорректированного на отчетную структуру производства определенного вида продукции, и фактической средней себестоимости продукции базисного периода.

Рассмотрим на примере расчет индексов себестоимости продукции переменного, постоянного состава и структурных сдвигов.

 

Номер предприятия	Выработано продукции, млн.шт.	Себестоимость единицы продукции, млн.руб	Затраты на производство продукции, млн.руб
Базисный год (q0)	Отчетный год (q1)	Базисный год (z0)	Отчетный год (z1)	Базисный год (z 0q0)	Отчетный год ( z 1q1)
			1,18	1,16
			1,32	1,30
Итого			1,20	1,18

 

Для оценки снижения уровня себестоимости единицы продукции по двум предприятиям в целом рассчитаем средние уровни себестоимости единицы продукции:

= 11024 : 9200 = 1,20 млн. рублей

= 13212 : 11240 = 1,18 млн. рублей

Далее, вычислим индекс себестоимости продукции переменного состава: = ₁ : ₀ = 1,18 : 1,20 = 0,983

Средняя себестоимость единицы продукции по двум предприятиям в отчетном году по сравнению с базисным годом снизилась на 1,7 %.

Изменение средней себестоимости единицы продукции за счет изменения уровня себестоимости продукции на каждом предприятии оценивается индексом себестоимости продукции постоянного состава:

В среднем уровень себестоимости продукции снизился на каждом предприятии в отчетном периоде по сравнению с базисным на 1,67 %.

C помощью индекса влияния структурных сдвигов можно определить снижение средней себестоимости единицы продукции за счет перемещения объемов производства продукции на предприятие с более низкой себестоимостью:

= 0,9975

За счет изменения в соотношении выпуска продукции между предприятиями средняя себестоимость продукции снизилась в отчетном периоде по сравнению с базисным на 0,25 %.

Взаимосвязь индексов переменного, постоянного состава и структурных сдвигов можно описать следующим равенством:

Iz = IzId 0,98 = 0,9833 0,9975

В отдельных случаях могут быть известны не абсолютные значения индексируемых показателей, а их относительные изменения. В такой ситуации агрегатный индекс можно рассчитать косвенным путем, используя взвешенную среднюю из индивидуальных индексов, если нам известен размер результативной величины за отчетный период. Рассмотрим на примере расчет среднего гармонического индекса себестоимости продукции.

 

Вид продукции	Издержки производства, млн. руб.	Изменение себестоимости продукции, % (iz-100%)
базисный год (z0q0)	отчетный год (z1q1)
		174,6	+ 3
			- 5

 

Общий индекс себестоимости продукции можно рассчитать по следующей формуле: I_z=

Исходя из того, что издержки производства представляют собой произведение количества выпущенной продукции (q) и себестоимости единицы продукции (z), мы можем построить следующую систему индексов:

I_zq = I_qI_z

где I_zq - индекс издержек производства, I_q - индекс физического объема продукции и I_z - индекс себестоимости единицы продукции.

На основе такой системы индексов мы можем рассчитать общее изменение издержек производства в отчетном периоде по сравнению с базисным, а также изменение издержек производства за счет отдельных факторов в абсолютном и относительном выражении по приведенной ниже схеме.

1. Определим общее изменение издержек производства:

- относительное изменение вычислим с помощью индекса издержек производства

I

- абсолютное изменение рассчитаем как разность между числителем и знаменателем индекса издержек производства

zq = z 1 q1 - z0 q0 = 58,6 млн. рублей.

2. Определим изменение издержек производства за счет отдельных факторов:

а) за счет изменения себестоимости единицы продукции

- относительное изменение вычислим с помощью индекса себестоимости продукции I_z = 0,98 или 98 %

- абсолютное изменение рассчитаем как разность между числителем и знаменателем индекса себестоимости продукции

zqz = z 1 q1 - z0 q1 = 497,6-509,5=-11,9 млн. рублей.

б) за счет изменения количества выпущенной продукции

- относительное изменение вычислим с помощью индекса физического объема продукции

Iq = Izq : Iz = 1,14 : 0,98 = 1,16 или 116 %

- абсолютное изменение рассчитаем исходя из взаимосвязи исчисленных показателей

zq q = zq - zqz = 58,6 + 11,9 = 70,5 млн. рублей

Таким образом, издержки производства в отчетном периоде по сравнению с базисным возросли на 14 % или 58,6 млн. рублей в результате увеличения производства продукции на 16 % или 70,5 млн. рублей при общем снижении себестоимости единицы продукции на 2 % или 11,9 млн. рублей.

В рыночной экономике особое место среди индексов качественных показателей отводится индексам цен. С помощью индекса цен можно оценить динамику цен на товары (работы, услуги) и измерить уровень инфляции.

Автором первой формулы агрегатного индекса цен является немецкий статистик Г. Пааше:

Ip = .

Немецкий ученый Э. Ласпейрес предложил определять индекс цен следующим образом:

Ip = .

Индексируемой величиной обоих индексов являются цены. Весами в индексе цен Пааше выступает количество продукции текущего периода, а в индексе цен Ласпейреса - количество продукции базисного периода. Значение индексов цен Пааше и Ласпейреса не совпадают, так как индексы имеют различное экономическое содержание. Индекс цен Пааше показывает насколько товары (работы, услуги) в отчетном периоде стали дороже (дешевле), чем в базисном. Индекс цен Ласпейреса дает ответ на вопрос во сколько бы раз товары (работы, услуги) базисного периода подорожали (подешевели) из-за изменения цен на них в отчетном периоде. Согласно практике индекс цен, рассчитанный по формуле Пааше, имеет тенденцию некоторого занижения, а по формуле Ласпейреса - завышения темпов инфляции.

Индекс цен американского экономиста И. Фишера представляет собой среднюю геометрическую из произведений двух агрегатных индексов цен Ласпейреса и Пааше:

.

Геометрическая форма индексов имеет большой недостаток - она лишена конкретного экономического содержания. Так, в отличие от агрегатных индексов разность между числителем и знаменателем не покажет никакой реальной экономии (или потерь) из-за изменения цен или физического объема продукции. Индекс Фишера целесообразно использовать для исчисления индексов цен за длительный период времени для сглаживания тенденций в структуре и составе объема продукции.

Для пересчета стоимостных показателей из текущих цен в сопоставимые используется индекс-дефлятор, который является агрегированной формой индекса цен. Дефлятор - это коэффициент, переводящий значение стоимостного показателя за отчетный период в стоимостные измерители базисного. Индекс-дефлятор рассчитывается как отношение фактической стоимости продукции отчетного периода к стоимости объема продукции, структура которого аналогична структуре отчетного периода, но определенного в ценах базисного года. В основе расчета индекса-дефлятора лежит формула Пааше - агрегатная формула индекса цен с текущими весами. Важной особенностью индекса-дефлятора является то, что он не может быть использован для сравнительной оценки динамики цен за два периода. Индексы-дефляторы дают представление только об отношении стоимости продукции в текущем периоде к ее стоимости в базисном периоде без учета отличия состава и структуры продукции.

Сводный индекс

При расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы. Пример,… Сводный индекс цен, отражает имевшее место изменения цен:

Индивидуальные индексы

Индивидуальный индекс цены: , где p1 – цена товара в текущем периоде; p0 – цена товара в базисном периоде.

Агрегатный индекс

Например, в индексе цен индексируемой величиной служит цена, а весом - количество реализуемой продукции (товаров). Jp = В этой формуле через “р” обозначаются цены, а через “q” - количество продукции (товаров).Подстрочные значки “0” и “1”…

При построении средних индексов следует руководствоваться следующим правилом: для индекса количественного показателя используют формулу среднего арифметического индекса, а для индекса качественного показателя - среднего гармонического индекса.

Средние индексы рассчитываются в тех случаях, когда нет необходимой информации для расчета агрегатного индекса.

Цепные и базисные индексы

1. Оценивают относительное изменение уровня изучаемого явления по сравнению с каким-то одним определенным периодом времени. В этом случае строится… 2. Оценивают относительное изменение уровня изучаемого явления по сравнению с… Рассмотрим системы цепных и базисных индексов цен, физического объема продукции и стоимости продукции.

Использование индексов в экономическом анализе

Оценивать роль отдельных факторов изменения явления статистика может путем построения системы взаимосвязанных индексов. Задача состоит в том, чтобы… Рассмотрим разложение прироста сложного показателя по факторам, когда этот…   Номер предприятия Выработано продукции, тыс. штук Отработано человеко-дней, тысяч …

Расчеты недостающих индексов с помощью индексных систем.

или Произведение индекса цен на индекс физического объема товарооборота или… Индекс себестоимости промышленной продукции связан с индексом физического объема продукции по себестоимости, образуя…

Выборочное наблюдение (расширенное представления этого раздела с использованием аппарата математической статистики см. Приложение 3)

Статистическое исследование как правило осуществляется по данным не всей возможной совокупности, а только ее части – выборке. При выборочном методе обследованию подвергается сравнительно небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно до 5 — 10%, реже до 15 — 25%). При этом подлежащая изучению статистическая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется генеральной совокупностью.Отобранная из генеральной совокупности некоторая часть единиц, подвергающаяся обследованию, называется выборочной совокупностью или просто выборкой.

Выборка должна обеспечивать возможность распространения выводов полученных на основании ее анализа при минимальных затратах времени и средств.

1) обоснование (в соответствии с задачами исследования) целесообразности применения выборочного метода; 2) составление программы проведения статистического исследования выборочным… 3) решение организационных вопросов сбора и обработки исходной информации;

Ошибки выборки

Для репрезентативности выборки важно обеспечить случайность отбора, с тем, чтобы все объекты генеральной совокупности имели равные вероятности… · собственно-случайная (простая случайная) выборка (последовательно… · механическая (систематическая) выборка;

Малая выборка

Под малой выборкой понимается несплошное статистическое обследование, при котором выборочная совокупность образуется из сравнительно небольшого… Средняя ошибка малой выборки вычисляется по формуле: ,

Способы распространения характеристик выборки на генеральную совокупность

Способ прямого пересчёта. Он состоит в том, что показатели выборочной доли или средней распространяется на генеральную совокупность с учётом ошибки… Так, в торговле определяется количество поступивших в партии товара… Пример. При выборочном обследовании партии нарезных батонов 2 000 ед. доля нестандартных изделий в выборке составляет:…

Статистические связи

Статистические показатели бизнес деятельности могут состоять между собой в следующих основных видах связи: балансовой, компонентной, факторной и… Балансовая связь — характеризует зависимость между источниками формирования… , где:

Пример.

Производство молока в год. тыс. тонн.	Выработка продукции на 1 работающего, тыс. руб.
до 31	34,2
31 — 50	37,3
51 и выше	42,7

Таблица показывает лишь согласованность в изменении двух величин, наличие связи. Но она не определяет ни тесноту связи, ни форму этой связи.

Для того, чтобы ответить на эти вопросы, необходимо использовать специальные статистические методы. Среди них есть очень простые и менее точные, более сложные и более точные. Но все они имеют один и тот же смысл.

Один из простых показателей тесноты корреляционной зависимости — показатель корреляции рангов. Разберем порядок вычисления этого показателя на примере.

Изучается товарооборот и суммы издержек обращения по ряду магазинов (в тыс. руб.). Данные представлены таблицей 1.8.

Таблица 1.8

№ магазина	Товарооборот	Издержки обращения

Из таблицы видно, что с ростом товарооборота растут и издержки обращения. График еще раз это подтверждает.

Но в ряде случаев увеличение товарооборота ведет и к уменьшению издержек обращения, поскольку, помимо двух названных величин, в реальном процессе торговли участвуют и другие факторы, которые в рассмотрение не включены и носят случайный характер. Рассмотрим критерий тесноты связи, названный показателем корреляции рангов. От величин абсолютных перейдем к рангам по такому правилу: самое меньшее значение — ранг 1, затем 2 и т.д. Если встречаются одинаковые значения, то каждое из них заменяется средним.

Товарооборот	Издержки
	7,5
	7,5

1. Если ранги совпадают, то сумма их квадратов равна 0.

Связь полная, прямая.

2. Ранги образуют обратную последовательность

1 10

2 9 В этом случае

3 8

. . Связь полная, обратная.

. .

. .

10 1

 

3. Среднее значение из двух крайних означает полное отсутствие связи:

 

 

4. Показатель корреляции рангов:

Показатель показывает, как отличается полученная при наблюдении сумма квадратов разностей между рангами от случая отсутствия связи.

Проанализируем показатель корреляции рангов.

1. Связь полная и прямая, и

2. Связь полная и обратная, и

3. Все остальные значения лежат между -1 и +1.

Показатели корреляции рангов для примера:

Товарооборот (ранг)	Издержки (ранг)
		-3
		-2
	7,5	-0,5	0,25
	7,5	0,5	0,25

Полученный показатель свидетельствует о достаточно тесной связи между товарооборотом и издержками.

Для определения тесноты корреляционной связи применяется коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции изменяется от -1 до +1 и показывает тесноту и направление корреляционной связи.

Если отклонения по и по от среднего совпадают и по знаку, и по величине, то это полная прямая связь, то =+1.

Если полная обратная связь, то =-1.

Если связь отсутствует, то =0.

Наиболее удобной формулой для расчета коэффициента корреляции является:

 

(1)

Коэффициент корреляции можно рассчитать и по другой формуле:

, где

и

Пример. Товарооборот и издержки обращения по 10 магазинам приведены в табл. 1.9.

Таблица1.9

Товаро- борот(х)	Издержки обращения (у)

Используя данные таблицы определяется коэффициент корреляции:

В ряде случаев возникает необходимость установления статистической связи между признаками, не имеющими количественного выражения.

Пример.На предприятии работает группа станков. В силу организационно-технических причин, периодически возникают простои. Было проведено 133 наблюдения за работой станков на протяжении дня, при этом в 59 случаях были отмечены простои, соответственно в 74 случаях их не было. После рационализаторского предложения, направленного на уменьшение простоев, вновь было проведено наблюдение, но уже за 66 станками. При этом в 27 случаях были отмечены простои, в 39 — нет. Ставиться вопрос: а есть ли вообще связь между сделанным предложением и уменьшением простоев. либо это вообще между собой никак не соотносится.

В данном случае сопоставляются два альтернативных признака:

· 1-й признак — наличие или отсутствие рационального предложения;

· 2-й признак — наличие или отсутствие простоев.

Вводится обозначения:

· 1-й признак (х): - наличие рационального предложения (1), отсутствие - (0).

· 2-й признак (у): — отсутствие простоев (1), наличие простоев (0).

Результаты наблюдений представлены в таблицей:

y / х

Для центральной части таблицы введем специальные обозначения;

c	d
a	b

В этих обозначениях коэффициент корреляции имеет вид:

который называется коэффициентом ассоциации.

Коэффициент ассоциации так же меняется от -1 до +1 и для нашего примера равен:

Очень маленький коэффициент. Показывает, что связь между рациональным предложением и уменьшением числа простоев очень мала. Конечно, простои уменьшились, но не на столько эффективно, как бы этого хотелось.

 

 

Раздел 2

Статистические методы в экономическом моделировании

Любое эконометрическое исследование всегда предполагает объединение теории (экономической модели) и практики (статистических данных). Мы используем…

Введение случайного компонента в экономическую модель

Обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в экономической модели, оказывают на объект некоторое результирующее воздействие, величина которого неизвестна заранее и может быть описана как случайная функция. Для ее описания в модель добавляют (обычно аддитивным образом) случайный параметр е, интегрирующий в себе влияние всех неучтенных явно факторов. Например, в модели спроса

q = f(p,l) + e (1)

(q - количество блага, р - цена-, l - доход потребителя) переменная е - учитывает влияние всех прочих факторов (цен на другие товары, изменений моды, погоды и т. д.), не учтенных явно в функции спроса.

Статистические данные и стохастическая модель. Эконометрическая модель

Подготовка статистических данных и использование их в модели

INF = [(DEF/DEF-1) –1] (2) (индекс -1 означает предшествующий год). Если все нужные данные есть, то для модели необходимо их преобразовать в некоторый взаимно согласованный набор. Если…

Приложение 1

Стохастическая природа экономических данных, свойства и статистические оценки случайных величин (в изложении используется аппарат математической статистики)

Общие определения

Понятие случайной переменной

Фундаментальными понятиями статистического анализа являются понятия вероятности и случайной величины (переменной). Случайной переменной называют переменную, которая под воздействием случайных факторов может с определенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел. Это переменная, которой (даже при фиксированных обстоятельствах) мы не можем приписать определенное значение, но можем приписать несколько значений, которые она принимает с определенными вероятностями. Под вероятностью некоторого события (например, события, состоящего в том, что случайная переменная приняла определенное значение) обычно понимается доля числа исходов, благоприятствующих данному событию, в общем числе возможных равновероятных исходов. Категория "равновероятные исходы" не определяется, а принимается интуитивно. Например, при бросании монеты выпадение орла и решки считается равновероятным (вероятность каждого равна 1/2), а случайная величина числа "орлов" при одном бросании монеты может быть равна 0 или 1 с вероятностями 1/2.

Совокупность значений {х_k} случайной величины Х вероятностей {P_k} с которыми она их принимает, называют законом распределения случайной величины. Функция Р(х), как и любая функциональная зависимость, может быть представлена в форме таблицы, формулы или графика. Например, закон распределения числа очков при бросании игрального кубика может быть представлен в виде таблицы:

X
P	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Очевидно, что сумма всех этих вероятностей должна равняться единице, поскольку считаем, что с вероятностью "единица" переменная принимает хоть какое-нибудь из этих значений. Обычная (неслучайная, или детерминированная) переменная является предельным случаем случайной переменной, принимая единственное (при фиксированных обстоятельствах) значение с вероятностью "единица".

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Случайная величина дискретна, если результаты наблюдений представляют собой конечный или счетный набор возможных чисел. Случайная величина непрерывна, если ее значения могут лежать в некотором континууме возможных значений. (Это предполагает, что их нельзя пересчитать, ставя в соответствие им натуральные числа 1, 2,... .) Значения непрерывной случайной величины могут лежать на отрезке, интервале, луче и т. д.

В реальной практике статистического учета и анализа преимущественно используются дискретные данные.

Понятия генеральной совокупности и выборки (выборочной совокупности)

В основе математической статистики лежат понятия генеральной совокупности и выборки (выборочной совокупности).

Под генеральной совокупностью понимается все возможные наблюдения интересующего нас показателя (все единицы интересующей совокупности), все исходы случайного испытания или всю совокупность реализаций случайной величины X. Пример генеральной совокупности - данные о доходах всех жителей какой-либо страны, о результатах голосования населения по какому-либо вопросу и т.д. Однако в большинстве случаев мы имеем дело только с частью возможных наблюдений, взятых из генеральной совокупности, и называем это множество (точнее подмножество) значений выборкой. Таким образом, выборка - это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности. Выборка объема п - это результат наблюдения случайной величины в вероятностном эксперименте, который повторяется п раз в одних и тех же условиях (которые могут контролироваться), а следовательно, и при неизменном распределении случайной величины X. Процесс, который приводит к получению выборочных данных, называют выборочным исследованием.

Как правило, в экономике невозможно (или экономически неоправдано) определять все единицы генеральной совокупности на практике в распоряжении имеются лишь выборочные данные, и поэтому можно говорить лишь о приближенных, в той или иной степени, оценках генеральной совокупности основываясь на данных выборочных наблюдений. В связи с этим, одной из важных в практическом менеджменте задач, является соотношение между теоретическими характеристиками и их выборочными оценками, которые будут рассматриваться в данном разделе и на практических занятиях. Также задачами раздела является получение выводов о параметрах, виде распределения и других свойствах случайных величин (генеральной совокупности) по конечной совокупности наблюдений - выборке.

Выборку называют репрезентативной (представительной), если она достаточно полно представляет изучаемые признаки и параметры генеральной совокупности.

Основные характеристики случайных величин («статистики»)

Для любой случайной величины играют числовые характеристики ее распределения, важнейшими из которых является среднее значение (математическое ожидание случайной величины) и дисперсия. Среднее значение является характеристикой положения частотного распределения, а дисперсия – мерой ширины или разброса распределения. Например, часто для предварительной оценки качества ценных бумаг перед принятием решения о их приобретении, важно знать их средний доход и риски инвестирования. Соответственно первый параметр характеризуется средним значение доходности за время их обращения, а характеристикой риска является дисперсия, характеризующая степень разброса среднего дохода (что эквивалентно знанию положения и ширины частот распределения).

 

Среднее значение, математическое ожидание

Как отмечалось выше среднее значение является характеристикой положения, так, например, для выборки объема продаж компьютеров за 10 дней:{x_k}={1, 5, 5, 6, 2, 5, 6, 2, 6, 5}, среднее определяется сумма всех продаж деленная на количество дней продаж:

Поскольку объемы продаж повторяются можно разделив число повторений на общую сумму данных в выборке, определить среднее через частоты:

где суммирование ведется по всем значениям случайной величины Х, встречающимся в выборке ( в данном примере {x_k}={1, 2, 5, 6}), а в роли весов выступают частоты этих значений (причем сумма весов равна единице).

В пределе достаточно большого числа наблюдений N частоты w_k значений x_k переходит в соответствующие вероятности P_k=Prob{X=x_k}, и дискретная случайная величина X может быть представлена в виде таблицы значений {x_k}, которые может принимать случайная величина, и соответствующим им вероятностей P_k=Prob{X=x_k}:

Значение	x1	x2	...	xn
Вероятность	Р1	Р2	...	Рn

Математическое ожидание (или среднее по генеральной совокупности) значение такой случайной величины определяется как взвешивание суммы всех возможных реализаций случайной величины Х, в роли весов которой выступают вероятности этих реализаций, причем сумма весов всегда равна единице:

 

Следует подчеркнуть, что это числовая характеристика Х (на это указывают квадратные скобки) и соответственно относится ко всей ее величине, а не к различным ее значениям.

Другими способами обозначения математического ожидания является:

Самым общим определением для математического ожидания непрерывной случайной величины, является:

.

Свойства математического ожидания:

;

;

;

,

где a, b и с любые постоянные числа – константы.

;

;

;

.

Выборка может как дискретная случайная величина , принимающая значения x₍₁₎, x₍₂₎, … x_(n), с вероятностью 1/n (если некоторые значения x_i совпадают, то для расчета выборочного среднего и других характеристик они могут условно рассматриваться как разные, это не меняет конечного результата), то есть p_k=1/n для всех 1≤k≤n. Обозначая выборочное среднее как m_n получаем:

,

где n показывает объем выборки, для которой вычисляется значение выборочной характеристики. Следует понимать, что для разных выборок из одной и той же генеральной совокупности выборочные средние могут быть и не равны друг другу.

Дисперсия

Дисперсия является мерой вариативности случайной величины (то есть количественной оценкой качества средней величины), которая оценивает меру разброса среднего значения (математического ожидания). Дисперсия (для непрерывной случайной -и σ² – для дискретной) определяется как средний квадрат отклонений случайной величины от среднего значения:

или ,

где n - число наблюдений; w_k - частоты значений x_k.

Общее определение дисперсии как дискретной, так и непрерывной случайной выборки имеет вид:

.

Свойства дисперсии:

;

;

;

,

где a, b и с любые постоянные числа – константы.

Связь дисперсии с математическим ожиданием:

.

Стандартной отклонение случайной величины (σ – мера разброса средней случайной величины от среднего значения, имеет размерность данной случайной величины):

Коэффициент вариации случайной величины (V - мера относительного разброса случайной величины (безразмерная величина). Дисперсия и другие меры разброса часто применяются при анализе риска различных активов в портфеле и портфеля активов в целом в финансовом анализе, а также при анализе риска других действий со случайным исходом.

.

Общие свойства случайных величин

Независимо от конкретного распределения случайной величины имеют место общие свойства вероятностных распределений. К ним относятся различного рода неравенства, определяющие границы вероятности попадания случайной величины в заданный интервал, а также утверждения, касающиеся свойств достаточно большого числа случайных величин, - так называемые законы больших чисел.

Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева дает оценку вероятности попадания произвольной случайной величины с неизвестным средним значением М[X] и дисперсией σ² в заданный интервал вокруг среднего значения. Согласно этому неравенству:

или .

То есть вероятность попадания случайной величины вне интервала вокруг ее среднего значения, пропорционального среднеквадратичному (стандартному) отклонению σ, быстро убывает с увеличением коэффициента пропорциональности (α) и, соответственно, длины этого интервала 2ασ.

Таким образом, неравенство Чебышева наглядно демонстрирует значение стандартного отклонения у как характеристики разброса случайной величины вокруг среднего значения.

Пользуясь неравенством Чебышева, можно оценить вероятность тех или иных отклонений от среднего значения, независимо от природы случайной величины.

Законы больших чисел. Теоремы Бернулли, Ляпунова, Чебышева

Основная особенность случайной величины состоит в том, что нельзя предвидеть, какое значение она примет в результате испытания. Однако при достаточно большом числе испытаний обобщающие характеристики выборок случайных величин практически утрачивают случайный характер. То же верно и в отношении суммы достаточно большого числа случайных величин. При увеличении числа слагаемых в сумме противоположные случайные колебания отдельных величин сглаживаются, и закон распределения суммы приближается при определенных условиях к нормальному распределению. Различные утверждения, относящиеся к этим предельным случаям, носят название законов больших чисел. Первым утверждением такого рода была теорема Бернулли, доказанная им еще в 1713 году.

 

Теорема Бернулли

При достаточно большом числе независимых испытаний n вероятность того, что сколь угодно малым будет отклонение частоты m/n некоторого события А от вероятности наступления этого события Р (при условии, что она постоянна в каждом испытании), стремится к единице, т.е. является почти достоверным событием:

,

Эта теорема имеет важное значение для статистики и эконометрики, обосновывая выбор частоты осуществления некоторого события в качестве оценки вероятности этого события.

Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема)

Распределение суммы n произвольно распределенных и взаимно независимых случайных величин при n > стремится к нормальному распределению, если вклад отдельных слагаемых в сумму равномерно мал.

Именно эта теорема обосновывает ту огромную роль, которую играет в статистике, эконометрике и во многих других областях знания нормальное распределение. Множество факторов, определяющих тот или иной экономический показатель, как правило, достаточно велико, и при выполнении условий теоремы случайное отклонение этого показателя от среднего значения может быть приближенно описано нормальным распределением.

Теорема Чебышева

При достаточно большом числе п попарно независимых случайных величин с ограниченными дисперсиями (σ²_k< С, k = 1,...,n) вероятность того, что сколь угодно малое отклонение среднего арифметического этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий, стремится к единице:

, где

Согласно этой теоремы, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин утрачивает характер случайной величины и ведет себя почти как постоянная величина. Теорема имеет важное значение для статистики и эконометрики, обосновывая выбор среднего арифметического выборочных величин в качестве оценки математического ожидания (среднего значения) всей совокупности единиц.

Обработка статистических данных и анализ случайных дискретных данных

Данные наблюдений представляют собой выборку, состоящую из n = 10 наблюдений. Простейшим способом организации данных в выборке является их… Исходные данные и статистические показатели Исходные данные, x(1),… Следующим этапом организации выборки является подсчет частот, с которыми встречаются различные элементы выборки z(1),…

Приложение 2

Статистические распределения и их основные характеристики

Различают дискретные и непрерывные вероятностные распределения. Дискретное распределение характеризуется тем, что оно сосредоточено в конечном или… При обработке выборочных данных, в силу случайной природы процесса получения…  

Приложение 3

Соотношения между экономическими переменными. Корреляционная связь и ее статистическое изучение

Если не принимать во внимание стохастическую природу экономических данных, то для описания взаимосвязей различных экономических и финансовых… На самом деле взаимосвязи показателей в экономике редко имеют простой…

Вероятностные соотношения: совместная частота (вероятность), условная частота (вероятность), статистическая независимость случайных переменных

Под условной частотой v(у|‌‌x) двух случайных величин Y и X мы понимаем относительную частоту события, состоящего в том, что величина Y… Если величины Х и Y связаны функциональной зависимостью, например, Y=Х2, то… В противоположном случае, когда величины Х и Y cсовершенно не связаны между собой, условная частота v(у|x) никак не…

Оценивание параметров и проверка гипотез о корреляции случайных переменных

Здесь, конечно, очень важно понять, что конкретно значат слова , "слишком далеко" и "маловероятное событие". В последнем случае… На рис. 13 дана иллюстрация проверки нулевой гипотезы для коэффициента…

Приложение 4

Сбор и анализ данных о состоянии и перспективах рынка труда

Для реализации поставленной цели учащимся необходимо выполнить следующие задачи: 1) Собрать статистическую информацию о текущих состояниях рынка труда; 2) Свести собранные данные в статистические таблицы;

Сбор статистическую информацию о текущих состояниях рынка труда

В качестве источника информации могут использоваться интернет источники (WWW.job.ru, WWW.job.list.ru или других) или печатных источниках («Работа»,… Технология сбора данных реализуется следующим образом. При входе на сайт заполняется анкета содержащая следующие данные: «Раздел», «Город», «Возраст», «Пол», «Образование»,…

Приложение 5

Экзаменационные вопросы (спец. 0608, 0604)

1. Примеры использования методов статистического анализа в прикладной практике менеджмента.

2. Признаки, статистические данные и показатели, статистические закономерности.

3. Статистические наблюдения (получения исходных данных, формы и виды статистических наблюдений, сплошные и несплошные наблюдения).

4. Статистические наблюдения (программно-методологические, организационные и точностные вопросы наблюдения).

5. Стохастическая природа экономических данных (дискретные и непрерывные случайные величины, генеральной совокупности и выборки).

6. Стохастическая природа экономических данных - основные характеристики случайных величин.

7. Дисперсия случайной величины и ее свойства.

8. Обработка статистических данных и анализ случайных дискретных данных (статистические показатели статистических совокупностей).

9. Сравнение относительных частот в выборке и в генеральной совокупности. Репрезентативность выборки.

10.Случайная выборка (виды и прикладные особенности способов отбора).

11. Собственно-случайная выборка - ошибки, оценки.

12.Механическая (систематическая) выборка - ошибки, оценки ;

13.Типическая (стратифицированная, расслоенная) выборка - ошибки, оценки.

14.Группировки статистических данных (виды группировок и их прикладное значение).

15.Группировки статистических данных (этапы и содержание аналитических группировок).

16.Группировки статистических данных (принципы деления на группы).

17. Группировки статистических данных (варианты определения величины интервалов при группировках).

18.Использование статистических показателей в аналитических исследованиях (относительный показатель динамики).

19.Использование статистических показателей в аналитических исследованиях. Относительные показатели плана и реализации плана.

20.Использование статистических показателей в аналитических исследованиях. Относительный показатель структуры.

21.Использование статистических показателей в аналитических исследованиях. Относительный показатель координации.

22.Использование статистических показателей в аналитических исследованиях. Относительный показатель интенсивности.

23.Использование статистических показателей в аналитических исследованиях. Относительный показатель сравнения.

24.Средние показатели (средней арифметической взвешенной)

25.Средние показатели средней гармонической взвешенной и невзвешенное.

26.Статистический анализ интервальных данных (частотные показатели).

27.Статистический анализ интервальных данных (показатели центра распределения).

28.Статистический анализ интервальных данных (показатели формы распределения).

29.Экономические индексы (агрегированные индексы).

30.Экономические индексы (сводные индексы).

31.В чем состоит основная идея законов больших чисел?

32.В чем важность нормального распределения для экономического анализа?

 

Аттестационные и экзаменационные вопросы

2. Признаки, статистические данные и показатели, статистические закономерности. 3. Статистические наблюдения (получения исходных данных, формы и виды… 4. Статистические наблюдения (программно-методологические, организационные и точностные вопросы наблюдения).

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адамов В.Е. “Факторный индексный анализ (методология и проблемы)”, М.: Статистика, 1977, 199 с.

2. Аллен Р.”Экономические индексы”, М.: Статистика, 1980, 256 с.

3. Бакланов Г.И. “Некоторые вопросы индексного метода”, М.: Статистика, 1972, 72 с.

4. Герчук Я.П. Графические методы в статистике М.: Статистика, 1968.

5. Долгушевский Ф.Г., Козлов В.С., Полушин М.И., Эрлих Я.М. Общая теория статистики. М.: Статистика, 1967. 384 с.

6. Колмогоров А. Предисловие к книге Г. Лебега «Общие величины». М.: Госстатиздат, 1938. 4 с.

7. Бызов Л.А. Графические методы в статистике, планировании и учете: Пособие для экономических вузов и для самообразования. М.: Госпланиздат, 1940.

8. Курс лекций по общей теории статистики/Под ред. В.Е. Овсиенко. М.: МЭСИ, 1976. 231 с.

9. Кан Ю. Описательная и индивидуальная статистика. М.: Финансы и статистика, 1981.

10. Кевеш П. “Теория индексов и практика экономического анализа”, М.: Финансы и статистика, 1990, 303 с.

11. Ковалевский Г.В. “Индексный метод в экономике”, М.: Финансы и статистика, 1989, 238 с.

12. Ланге О., Банасиньский А. Теория статистики. М.: Статистика, 1971. 399 с.

13. Лившиц Ф.Д. Статистические таблицы. М.: Госстатиздат, 1958. 139 с.

14. Маслов П.П. Техника работы с цифрами. М.: Статистика, 1969. 120 с.

15. Перегудов В.Н. “Теоретические вопросы индексного анализа”, М.: Госстатиздат, 1963, 352 с.

16. Плошко Б.Г. “Индексы”, Л.: Из-во Ленинградского университета, 1958, 91 с.

17. Савченко Л.И. и др. “Сборник задач по общей теории статистики. Учебное пособие”, М.: МИНХ им. Г.В.Плеханова, 1991, 80 с.

18. Салин В.Н., Попова А.А. “Общая теория статистики. Методические указания и задачи”, М.: Финансовая академия при Правительстве РФ, 1996, 150 с.

19. Шмойлова Р.А. “Теория статистики”, М.: Финансы и статистика, 1996, 460 с.

20. Алексенцева А. «Считаем среднюю зарплату», М. «Бузгалтерия.ru. Расчет», 2008 (http://www.klerk.ru/buh/articles/101044/)