Изменение импульса системы тел

Рассмотрим систему, состоящую из трех тел. Это могут быть три звезды, испытывающие воздействие со стороны соседних космических тел. На тела системы действуют внешние силы F⃗ i (i — номер тела; например, F⃗ 2 — это сумма внешних сил, действующих на тело номер два). Между телами действуют силы F⃗ ik называемые внутренними силами (рис. 1). Здесь первая буква i в индексе означает номер тела, на которое действует сила F⃗ ik , а вторая буква k означает номер тела, со стороны которого действует данная сила. На основании третьего закона Ньютона

F⃗ ik=−F⃗ ki . (5)

Рис. 1

Вследствие действия сил на тела системы их импульсы изменяются. Если за малый промежуток времени сила заметно не меняется, то для каждого тела системы можно записать изменение импульса в форме уравнения (3):

Δ(m1υ⃗ 1)=(F⃗ 12+F⃗ 13+F⃗ 1)Δt ,

Δ(m2υ⃗ 2)=(F⃗ 21+F⃗ 23+F⃗ 2)Δt , (6)

Δ(m3υ⃗ 3)=(F⃗ 31+F⃗ 32+F⃗ 3)Δt .

Здесь в левой части каждого уравнения стоит изменение импульса тела p⃗ i=miυ⃗ i за малое время Δt. Более подробно

Δ(miυ⃗ i)=miυ⃗ ik−miυ⃗ in

где υ⃗ in — скорость в начале, а υ⃗ ik — в конце интервала времени Δt.

Сложим левые и правые части уравнений (6) и покажем, что сумма изменений импульсов отдельных тел равна изменению суммарного импульса всех тел системы, равного

p⃗ c=m1υ⃗ 1+m2υ⃗ 2+m3υ⃗ 3 . (7)

Действительно,

Δ(m1υ⃗ 1)+Δ(m2υ⃗ 2)+Δ(m3υ⃗ 3)=m1υ⃗ 1k−m1υ⃗ 1n+m2υ⃗ 2k−m2υ⃗ 2n+m3υ⃗ 3k−m3υ⃗ 3n=

=(m1υ⃗ 1k+m2υ⃗ 2k+m3υ⃗ 3k)−(m1υ⃗ 1n+m2υ⃗ 2n+m3υ⃗ 3n)=p⃗ ck−p⃗ cn=Δp⃗ c .

Таким образом,

Δp⃗ c=(F⃗ 12+F⃗ 13+F⃗ 21+F⃗ 23+F⃗ 31+F⃗ 32+F⃗ 1+F⃗ 2+F⃗ 3)Δt . (8)

Но силы взаимодействия любой пары тел в сумме дают нуль, так как согласно формуле (5)

F⃗ 12=−F⃗ 21;F⃗ 13=−F⃗ 31;F⃗ 23=−F⃗ 32 .

Поэтому изменение импульса системы тел равно импульсу внешних сил:

Δp⃗ c=(F⃗ 1+F⃗ 2+F⃗ 3)Δt . (9)

Мы пришли к важному выводу:

импульс системы тел могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы пропорционально сумме внешних сил и совпадает с ней по направлению. Внутренние силы, изменяя импульсы отдельных тел системы, не изменяют суммарный импульс системы.

Уравнение (9) справедливо для любого интервала времени, если сумма внешних сил остается постоянной.