Показатели асимметрии и эксцесса, центральные моменты распределения

Вариационный ряд называется симметричным если частота вариантов, равноотстоящих от некоторого значения, равны между собой, если частоты по обе стороны изменяются неодинаково, то ряд называют асимметричным или скошенным. Для расчета асимметрии используются центральные моменты (mm), которые рассчитываются по формуле: .

Таблица 3

Название Формула для расчета описание
1. Момент первого порядка Среднее линейное отклонение для сгруппированных данных
2. Момент второго порядка Дисперсия для сгруппированных данных
3. Момент третьего порядка Показатель асимметрии
4. Момент четвертого порядка Показатель эксцесса

Формулы центральных моментов первых четырех порядков представлены в таблице 3, центральный момент третьего порядка (m3) используется для характеристики асимметричности распределения (для симметричных распределений ), а степень асимметрии определяется с помощью коэффициента асимметрии (А3):.

Если А3=0, то говорят, что распределение симметрично, если А3>0, то асимметрия является правосторонней, если А3<0, то асимметрия является левосторонней.

Центральный момент четвертого порядка используется для оценки эксцесса (остроты вершины распределения) на основе коэффициента эксцесса:

. Если , то распределение является нормальным, если , то ряд распределения является островершинным, а если , то – плосковершинным.

Контрольные вопросы

1. Что называют абсолютными показателями в статистике? Приведите пример

2. Какими бывают абсолютные величины в статистике в зависимости от единиц измерения?

3. Назовите виды относительных показателей. Приведите пример.

4. Охарактеризуйте каждый относительный показатель

5. Назовите логическую формулу для вычисления каждого относительного показателя. Приведите примеры.

6. Какие относительные показатели используются для сравнения одного и того же показателя в разное время?

7. Какой относительный показатель описывает отдельные части целого? Приведите пример.

16. Назовите виды средних величин в статистике, формулы для вычисления средних величин и приемы для выбора формулы для вычислений.

17. Приведите примеры расчета простой средней арифметической простой и взвешенной.

18. Приведите примеры расчета средней величины с помощью средней гармонической.

19. Что называют модой в статистике? Что называют медианой в статистике?

20. Чему равна мода и медиана рядов с несгруппированными данными?

21. Чему равны мода и медиана представленного ряда?

Группы по выручке от реализации продукции, тыс. у.е. Число предприятий

22. Что называется кумулятивной частотой?

23. Чему равна мода и медиана дискретного ряда?

24. Дайте понятие модального и медианного интервалов. Чему равна мода и медиана интервального ряда?

25. Какие ряды называют вариационными?

26. В каких случаях для расчета средней величины признака и дисперсии используется способ моментов?

27. Для чего существует шкала Чеддока?

28. Какие показатели мер вариации имеют такую же единицу измерения, что и оцениваемый признак?

29. Какой из центральных моментов показывает симметрию?

30. Потребление топлива тепловыми электростанциями составило:

Топливо Ед. измерения Годы Коэффициент перевода в условное топливо
Уголь млн т 18,7 24,8 0,90
Мазут млн т 54,8 38,9 1,37
Газ природный млн м3 63,5 149,6 1,20

Определить: 1) объем потребленного топлива за каждый год; 2) структуру потребленного топлива за каждый год; 3) динамику изменения потребления по каждому виду топлива.

 

Тесты по теме:

 

1. Определить моду и медиану ряда (с точностью до 0,1):

Стаж работы, лет Число работников, чел.
До 3 лет
3-5
5-7
7-10
Свыше 10 лет

 

а) мода- 6,5, медиана – 6,6;

б) мода и медиана совпадают;

в) мода- 6,6, медиана – 7,0;

г) мода- 6,7, медиана – 7,1.

2. Виды абсолютных величин:

а) индивидуальные и общие;

б) координации, сравнения, динамики и структуры;

в) выполнения плана, планового задания и динамики;

г) натуральные, стоимостные, трудовые.

 

3. В регионе на 100 мужчин приходится 126 женщин, удельный вес мужчин в регионе составляет (%):

а) 26;

б) 44,2;

в) 79,4;

г) 55,7.

 

4. Торговое предприятие перевыполнило собственный годовой план по товарообороту на 5%, пи этом объем товарооборота снизился на 2%. Определите относительный показатель планового задания:

а) 107,1%;

б) 93,3%;

в) 102,9%;

г) 103%.

5. Какую относительную величину можно рассчитать на основе следующих данных: число проживающих в Ленинском районе города 265000 человек, их обслуживают 608 врачей:

а) относительный показатель структуры;

б) относительный показатель сравнения;

в) относительный показатель интенсивности;

г) относительный показатель координации.

6. Выберите среди предложенных показателей относительные показатели структуры:

а) обеспеченность общежитием студентов – 67%;

б) число заболевших гриппом в текущем году в 1,2 раза превысило численность заболевших в прошлом;

в) прибыль коммерческого банка от валютных операций в январе по сравнению с декабрем уменьшилась на 24%;

г) число студентов, сдавших зимнюю сессию на «4» и «5» - 78%.

7. Если значения частот увеличить в средней арифметической в 5 раз, то среднее значение признака:

а) не изменится;

б) увеличится в 5 раз;

в) уменьшится в 5 раз.

 

8. Если значения признака увеличить в 5 раз, то дисперсия:

а) не изменится;

б) увеличится в 5 раз;

в) уменьшится в 5 раз.

 

 

9. Изделие А производится на двух предприятиях отрасли. На первом предприятии себестоимость производства единицы продукции составляет 500 руб., на втором – на 50 руб. больше. Какова среднеотраслевая себестоимость производства изделия А, если на долю первого предприятия приходится 60% выпускаемых изделий?

а) 525 руб.; б) 520 руб; в) 530 руб.

 

10. В страховой компании медианное значение страховой суммы одного застрахованного автомобиля – 7 тыс.у.е. Это означает, что:

а) большая часть автомобилей застрахована на эту сумму;

б) половина автомобилей застрахована на сумму менее 7 тыс.у.е., а половина на сумму более 7 тыс.у.е.;

в) половина автомобилей застрахована на сумму 7 тыс.у.е.;

г) каждый второй автомобиль застрахован на сумму 7 тыс.у.е.

 

11. Какая формула средней используется для расчета средней производительности труда:

Производительность труда, тыс. руб./чел. Число работников, чел. В % к итогу численность группы
7-9 25,5%
9-11 27,7%
11-13 10,6%
13-15 12,8%
Свыше 15 23,4%

 

а) средняя из групповых средних;

б) средняя арифметическая простая;

в) средняя арифметическая взвешенная;

г) средняя гармоническая.

 

12. Могут ли в качестве весов средней (fi) использоваться относительные величины?

 

а) да, могут всегда;

б) могут иногда;

в) нет, не могут;

г) только в интервальных рядах с равными интервалами.

 

13. Какая формула средней используется для расчета средней заработной платы в торговом объединении?

№ магазина Средняя зарплата в магазине, руб. Фонд зарплаты в магазине, тыс. руб.
18,768
27,720
20,01
5,754
10,824

 

а) средней гармонической для сгруппированных данных;

б) средней гармонической для несгруппированных данных;

в) средней арифметической;

г) средней из групповых средних.

 

14. Если A3>0, то имеет место:

а) правосторонняя асимметрия;

б) левосторонняя асимметрия;

в) симметрия.

 

15. Если Ex<0, то имеет место:

а) островершинность;

б) низковершинность;

в) равновершинность;

д) нормальное распределение.

 

15. Межгрупповая дисперсия равна 64% от общей дисперсии, эмпирическое корреляционное отношение равно (с точностью до 0,01):

а) 0,64; б) 0,80;

в) 0,36; г)0,41.

 

16. Для оценки однородности совокупности рассчитывают:

а) среднее линейное отклонение;

б) среднее квадратическое отклонение;

в) коэффициент осцилляции;

г) коэффициент вариации;

д) эксцесс распределения.

 

17. Коэффициент детерминации может принимать значения:

а) от –1 до 0; б) любые положительные;

в) от -1 до 1; г) от 0 до 1.

 

18. В каких случаях расчет среднего значения признака производится по способу моментов:

а) если признак моментный, а данные не группированы;

б) если ряд со сгруппированными данными – интервальный с равными интервалами;

в) если максимальная частота находится в середине ряда;

г) если ряд дискретный с равноотстоящими данными.

 

19. Внутригрупповая дисперсия показывает:

а) влияние неучтенных факторов на размеры вариации;

б) влияние фактора группировки на величину вариации результативного признака;

в) размеры вариации под влиянием всех факторов;

г) вариацию внутригрупповых показателей.

 

глава 4. выборочное наблюдение.