Теорема фон Неймана-Нэша

Для любой матричной игры минимакс равен максимину, или − существуют , удовлетворяющие условиям:

.

1.3. Метод решения игры

Рассмотрим игру , т. е. когда у каждого из игроков имеются всего две стратегии (i = 1, 2; j = 1, 2).

Поскольку при равенстве нижних и верхних цен игры в чистых стратегиях решение очевидно (оно определяется седловой точкой матрицы), интерес представляет ситуация их неравенства. Но из теоремы Неймана-Нэша следует, что существует пара смешанных стратегий , обеспечивающая равенство верхней и нижней цены игры (минимакса и максимина). Раз это не реализуется чистыми стратегиями, значит, цена игры V достигается при смешивании каждым игроком обеих своих стратегий (обе стратегии «активны») и при каждой чистой стратегии противника (иначе никакое смешивание не может улучшить результат), поэтому если

, то (1.3.1)

Имеем три уравнения с тремя неизвестными. Вычитая из первого уравнения второе, получаем отношение

(1.3.2)

Знак абсолютной величины поставлен потому, что это отношение всегда положительно, так как при разных знаках у и одна из стратегий второго игрока явно хуже другой и не может им применяться.

Решение отношения (1.3.2) сводится к делению единичного отрезка на части, находящиеся в отношении

,

после чего найти не представляет труда.