По сгруппированным данным

(n велико)

xi	x1	x2	…	xi	…	xl
mi	m1	m2	…	mi	…	ml

m_i – частота встречаемости значения признака x_i; - объём выборки

Генеральная средняя или математическое ожидание µ Средняя арифметическая Генеральная дисперсия σ² (математическое ожидание µ известно) Выборочная дисперсия S² Генеральная дисперсия σ² (математическое ожидание µ неизвестно)   или или Исправленная выборочная дисперсия Генеральное среднее квадратическое отклонение σ Выборочное среднее квадратичное отклонение S Начальные моменты k-го порядка ν_k Центральные моменты k-го порядка µ_k Медиана , n=2·l-1 , n=2· l Мода =x_i с наибольшей частотой встречаемости Коэффициент асимметрии А_с Коэффициент эксцесса Е_k Коэффициент вариации            

 

 

2 взгляда на выборку: 1) Под выборкой объёма n из генеральной совокупности понимается n наблюденных результатов испытания, например, n измерений (числовых и нечисловых) некоторого признака или нескольких признаков. 2) Под выборкой понимается система n независимых случайных величин, распределенных одинаково и так же, как генеральная совокупность или случайная величина Х.

 

Получив статистические оценки параметров распределения (выборочное среднее, выбороч-ную дисперсию и т.д.), нужно убедиться, что они в достаточной степени служат приближением соответствующих характеристик генеральной совокупности

Статистическая оценка Θ* называется несмещенной, если ее математичес-кое ожидание равно оцениваемому параметруΘ при любом объеме выборки:

М(Θ*) = Θ.

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Статистическая оценка называется эффективной, если она при заданном объеме выборки п имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называется статистическая оценка, которая при п→∞ стре-мится по вероятности к оцениваемому параметру (если эта оценка несмещенная, то она будет состоятельной, если при п→∞ ее дисперсия стремится к 0).

2 Выборочные моменты. Вывести формулы, устанавливающие связь между центральными и начальными выборочными моментами для .

 

 

 

 

3 Медиана – значение признака ряда, относительно которого ряд делится на 2 равные по числу признаков части. Таким образом, медиана Ме равна:

1.при нечетном числе наблюдений n=2l-1 - значению признака Х, приходящегося на середину ранжированного ряда наблюдений:

2.при четном числе наблюдений n=2l –средней арифметической двух значений, расположенных в середине ранжированного ряда:

Если исходят из интервального ряда, то медиана вычисляется по формуле:

Гдеh – длина интервала, n – объем выборки

 

Мода – значение признака, которому соответствуют наибольшая частота. Для одномодального интервального ряда вычисление моды производится по формуле

 

Если Xср, Мо и Ме почти не отличаются друг от друга, то есть основания предполагать теоретическое распределение изучаемого признака симметричным. При изучении экономических явлений симметричные ряды встречаются довольно редко. Когда распределение набора данных скошено в правую сторону больше, чем в левую, то говорят о правосторонней асимметрии. При скосе в левую – о левосторонней. При правосторонней асимметрии средняя находится справа от медианы, которая лежит справа от моды. Для левосторонней – наоборот. Чем более асимметрично распределение признака, тем больше расхождения между значениями средней арифметической, медианы и моды.

 

Коэффициент асимметрии Ас – показатель асимметричности распределения, определяющий степень скошенности кривой по сравнению с нормальным распределением, и вычисляемый по формуле:

Для симметричных В.Р. Ас=0, для правосторонней асимметрии – Ас >0, левосторонней – Ас<0. Если |Ас|>0,5, то асимметрия существенна.

Коэффициент эксцесса Ек – показатель, служащий мерой крутости (плосковершинности или островершинности) графику В.Р. в сравнении с кривой нормального распределения, определяемый по формуле:

Если Ек>0, то график островершинный, Ек<0 – плосковершинный.

Коэффициент вариации Vs – безразмерный показатель меры рассеяния значений изучаемого признака и равный процентному отношению среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Если к.в. признака высок (более 100%), это свидетельствует о неоднородности значений признака.

 

Соотношения МОМЕНТОВ :

 

4.Точечные оценки и их свойства. Проверить оценки математического ожидания и дисперсии нормальной генеральной совокупности (, S² и Ŝ²), полученные по выборке , на несмещенность и состоятельность.

Точечной оценкой параметра θ называют функцию от результатов наблюдений (х₁, х₂,… х_n), значение которой принимают за наилучшее приближение к оцениваемому параметру θ. К точечным оценкам предъявляют требования несмещенности, эффективности, состоятельности и достаточности.

1. Статистическая оценкапараметра н-ся несмещенной, если при любой объеме выборки n её математическое ожидание равно оцениваемому параметру: .Если оценка является смещенной, то смещение определяется как . Требование несмещенности является минимальным требованием, т.к. зная величину смещения, оценку можно всегда скорректировать.

2 Статистическая оценка параметра н-ся эффективной, если при заданном объеме выборки она имеет наименьшую возможную дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок. При этом, согласно неравенству Рао-Камера, дисперсия любой несмещенной оценки параметра ограничена снизу:,где - плотность распределения вероятностей случайной величины.

3 Статистическая оценкапараметра называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. при сходится по вероятности к оцениваемому параметру:или . -состоятельная оценка μ только при независимых наблюдениях. В противном случае - несостоятельна.

4 Статистическая оценкапараметра называется достаточной, если содержит всю информацию об оцениваемом параметре, то есть такую оценку параметра θ, когда условное распределение f(|=d) не зависит от d – конкретного значения .

·

так как

несмещенная оценка

· Bn=0 => оценка несмещенная

оценка состоятельности:

1)Bn=0

2)

·

·

Везде Q нужнозаменить на

5 эффективность и асимптотическая эффективность точечной оценки. неравенство рао-крамера. Доказать, что средняя арифметическая , полученная по результатам выборки из генеральной совокупности, имеющей экспоненциальный закон распределения с плотностью … является эффективной оценкой параметра λ.

Точечная оценка – некоторая ф-ия результатов наблюдений (х1…хn), значение которой принимают за наилучшее приближение в данных условиях к значению параметра Q ген. Совокупности Х.

Эффективной называется точечная оценка, обладающая наименьшей дисперсией среди всех возможных несмещенных оценок параметра Q при данном объеме выборки. Эффективность оценки хар-ся средним квадратом отклонений

(-.

Неравенство Рао-Крамера ограничивает дисперсию любой несмещенной оценки параметра Q снизу:

 

.

 

 

Количество информации Фишера о параметре Q,

Содержащейся в единичном наблюдении

=. Эффективность параметра определяется соотношением .

Если совпадает с нижней границей, то оценка эффективна.

Однако существование эффективной оценки это довольно сильное требование на задачу. Более слабым является условие асимптотической эффективности, которое означает, что отношение дисперсии несмещенной оценки к нижней границе Крамера-Рао стремится к единице при ,т.е.

Решение

1. = =

2. =

3. I = M ()=M ()=M(x-)==

4. =.

т.к. ,то оценка эффективна. Эффективная оценка является и достаточной

 

 

6 Достаточность точечной оценки. Критерий факторизации. Доказать достаточность средней арифметической , используемой в качестве оценки параметра λ пуассоновского закона распределения .

Достаточной называется оценка ,если условное распределение , где d конкретное зн-е не зависит от параметра для любого .Достаточность оценки проверяется с помощью критерия факторизации, когда функция правдоподобия L(Х₁,…,Х_n/) может быть представлена в виде произведений двух сомножителей: 1-й зависит от и ,а 2-й от х. То есть L(Х₁,…,Х_n/) = G (;) * Н(Х₁,…,Х_n). Эффективная оценка является и достаточной.

МНЕ КАЖЕТЯ,ЧТО ТУТ ОПЕЧАТКА, И ДОЛЖНО БЫТЬВ УСЛОВИИ

ЕСЛИ ТАМ ОПЕЧАТКА,ТО:

Решение. L(Х₁,…,Х_n/) = ==оценка достаточна

G (;) Н(Х₁,…,Х_n).

ЕСЛИ нет ОПЕЧАТКИ,ТО:

Решение. L(Х₁,…,Х_n/) = ==оценка достаточна

 

G Н(Х₁,…,Х_n).

7. Методы получения точечных оценок. Свойства оценок метода моментов и метода максимального правдоподобия. Найти оценку наибольшего правдоподобия параметра p биномиального закона распределения по результатам k независимых выборок объемов , в которых некое событие произошло соответственно раз.

Метод моментов

Метод моментов предложил Карл Пирсон. Согласно этому методу по выборке определяется столько начальных моментов, сколько параметров необходимо оценить.

Например: -> 2 параметра -> для определения оценки параметров ищем и , а остальные параметры -> функции от и .

=

Оценки метода момента состоятельны, однако, их эффективность часто бывает значительно < 1.

Метод максимального правдоподобия

В 1925 Р. Фишер критикует метод моментов и предлагает метод максимального правдоподобия, основу которого составляет функция правдоподобия.

Пусть - выборка из генеральной совокупности Х с функцией плотности f(x; θ), где θ – вектор неизвестных параметров, которые подлежат оценке

Функция правдоподобия – вероятность или плотность вероятностей совместного наступления событий при заданном значении θ. Т. е L(|θ)=, т.к. взаимно независимые, в качестве вектор оценок θ принимается , который максимизирует L или ln L.

Если у существует эффективная оценка, то она совпадает с оценкой максимального правдоподобия.

Свойства: 1) Если у θ существует эффективная оценка , то эта оценка совпадает с оценкой максимального правдоподобия. 2) Асимпт. свойство – оценки максимального правдоподобия – состоятельные, асимптотически эффективные и имеют асимптотически нормальный закон распределения.

8. Точные и асимптотические законы распределения выборочных характеристик. Вывести закон распределения в предположении, что выборка взята из нормальной генеральной совокупности Х.

 

Законы распределения выборочных характеристик.

Знание законов необходимо для построения интервальных оценок. Рассматривают точные и асимптотические законы выборочных характеристик.

Асимптотические интервальные законы распределения Qn*, к которым стремится точное распределение при n → ∞.

Точные з-ны распределения.