Однофакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Общий вид модели.
Дисперсионный анализ предназначен для проверки значимости нормально распределенной случайной величины У, называемой результативным признаком.
Исследуется зависимость результативного признака у от фактора А, который имеет m-уравнений A1, A2…Am. Рассматриваем m-независимых, нормально распределенных случайных величин с одинаковой дисперсией σ2.
Матрица наблюдений:
,
размер m на n, где yij-результат i-го наблюдения при Аj уровне фактора A. - среднее при Aj уровне. - общее среднее.
Разложим общую вариацию y на составляющие:
, где последняя составляющая равна 0.
, то есть Qобщ=Qa+Qост.
Qобщ – общая суммарная вариация У, равная сумме квадратов отклонений наблюдаемых значений.
Qа – факторная вариация У, обусловленная влиянием уровней фактора A на У.
Qост – остаточная вариация у, обусловленная влиянием а у неучтенных факторов.
Так как при этом (Qобщ) = mn-1
(Qa)=m-1
(Qост)=mn-m, то (mn-1)=(m-1)+(mn-m)
Так как (Qобщ)= (Qa)+ (Qост), то согласно теореме Кохрана, Qa и Qост независимы между собой.
Qa и Qост имеют х-распределение с
В предположении отсутствия влияния фактора A, статистика критерия
Для проверки гипотезы строят ПКО и Fкр(α,υ1,υ2)
Гипотеза отвергается, если ІFнІ>Fкр
Однофакторная дисперсионная модель имеет вид:
Yij-наблюдаемое значение результативного признака, μ-генеральная средняя, aj-эффект, обусловленный влиянием j-го уровня фактора:
1) для модели М1 (фактор имеет фиксированные уровни) aj-фиксированные величины, удовлетворяющее условию
2) для модели M2 (фактор имеет случайнее уровни) aj – случайные величины, удовлетворяющие: M(aj)=0,
M(aj1aj2)=0 для aj1 не равного aj2,
M(ajεij)=0
Maj2=σ2 – факторная дисперсия
εij-случайные величины (остатки), отражающие влияние на Y всех неконтролируемых факторов,
M(εij)=0
M(εi1j1εi2j2)=0 для i1 не равного i2, j1 не равного j2
M(ε2)= σ2
28 Модель М1 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы о влиянии фактора А на результативный признак у. Вывести статистику критерия.
29 Модель М2 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы о влиянии фактора А на результативный признак у. Вывести статистику критерия.