рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теорема 1.

Теорема 1. - раздел Экономика, Понятие генеральной совокупности и выборки. Эмпирические аналоги параметров генеральной совокупности Если X1, X2, …, Xn – Случайная Выборка Из X € N(μ;σ), То ...

Если X1, X2, …, Xn – случайная выборка из X € N(μ;σ), то также подчиняется нормальному з-ну распределения . Доказательство:

Рассмотрим понятие производящей функции СВ X, которая является функцией от t вида X € N(μ;σ),

Из теоремы единственности следует, что каждому закону распределения соответствует определенному закону распределения.

Производящая функция нормальной СВ

Производящая функция суммы независимых СВ равна произведению производящих функций этих величин. Тогда производящая функция

 

 

9. Вывести закон распределения () в предположении, что выборки независимы и взяты из нормальных генеральных совокупностей Х и У.

 

Теорема. Если X1, X2, …, Xn – выборка объемом n1 из X € N(μ1;σ1),

Y1, Y2, …, Yn – выборка объемом n2 из Y € N(μ2;σ2), причем выборки независимы

Z=

Доказательство:

Производящая функция

 

Т.к. произв. Ф-я суммы равна произведению производ. Ф-й слагаемых, то

*

M(z)= D(z)=

 


10. Доказать, что статистика имеет- распределение с (n-1) степенями свободы

Теорема.

Если X1, X2, …, Xn – случайная выборка объемом n из X € N(μ;σ), то

статистика имеет- распределение с (n-1) степенями свободы.

Доказательство:

Не нарушая общности будем предполагать, что Х-центрированная величина X € N(0;σ)

X=x’- μ, где X’ € N(μ;σ)

Xi € N(0;σ) для i=1,2…n к новой системе СВ Yj, где j=1…n

для j=1,2…n-1

нормированных нормальных величин

Отсюда следует, что и независимы между собой.

 

 


11. Доказать, что статистики и S2 , полученные по выборке из нормальной генеральной совокупности, независимы.

 

 

Теорема Фишера:

Если X1, X2, …, Xn – случайная выборка объемом n из X € N(μ;σ), то

статистика имеет- распределение с (n-1) степенями свободы.

Доказательство:

Не нарушая общности будем предполагать, что Х-центрированная величина X € N(0;σ)

X=x’- μ, где X’ € N(μ;σ)

Xi € N(0;σ) для i=1,2…n к новой системе СВ Yj, где j=1…n

для j=1,2…n-1

нормированных нормальных величин

и независимы между собой, так как независимы между собой.

 


12 Случайная величина и статистики, имеющие t-распределение Стьюдента. Их применение в задачах оценивания параметров и проверке гипотез.

Распределение Пирсона (хи - квадрат) – распределение случайной величины

где случайные величины X1, X2,…, Xn независимы и имеют одно и тоже распределениеN(0,1). При этом число слагаемых, т.е. n, называется «числом степеней свободы» распределения хи – квадрат. Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных Непараметрические методы проверки однородности. Проверка равенства математических ожиданий или иных характеристик распределения, а обнаружение различия генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, т.е. проверка гипотезы H0. Для проверки H0 следует использовать методы, пригодные при любом виде F(x) и G(x), т.е. непараметрические методы. («непараметрический метод» означает, что нет необходимости предполагать, что функции распределенияпринадлежат какому-либо определенному параметрическому семейству.)

Для проверки гипотезы H0 разработано много непараметрических методов - критерии Смирнова, Вилкоксона (Манна-Уитни), Ван-дер-Вардена, Сэвиджа, хи-квадрат и др. Распределения статистик всех этих критериев при справедливости H0 не зависят от конкретного вида совпадающих функций распределения F(x)ºG(x). Следовательно, таблицами точных и предельных распределений статистик этих критериев и их процентных точек можно пользоваться при любых непрерывных функциях распределения.

Точечное и интервальное оценивание дисперсии. Точечной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия . Эта оценка является несмещенной и состоятельной. Доверительные границы находятся с помощью величины

d2 = (m 4 - ((n – 1) /n ) 4 ) / n , где m 4 - выборочный четвертый центральный момент, т.е.

m 4 = { (X1 ) 4 + (X2 ) 4 +… + (X n) 4 } / n .

Нижняя доверительная граница для дисперсии случайной величины имеет вид - U(p)d , где: – выборочная дисперсия, U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2, d положительный квадратный корень из величины d2, введенной выше.

Верхняя доверительная граница для дисперсии случайной величины имеет вид + U(p)d ,

При выводе приведенных соотношений используется асимптотическая нормальность выборочной дисперсии. Соответственно доверительный интервал является непараметрическим и асимптотическим. В классическом случае точечная оценка имеет тот же вид, а вот доверительные границы находят с помощью квантилей распределения хи-квадрат с числом степеней свободы, на 1 меньшим объема выборки

Точечное и интервальное оценивание среднего квадратического отклонения.Точечной оценкой является выборочное среднее квадратическое отклонение. Дисперсия рассматриваемой случайной величины - выборочного среднего квадратического отклоненияs0 – оценивается как дробь d2 / (4 ). Нижняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид - U(p)d / (2 s0) , Верхняя доверительная граница + U(p)d / (2 )

Среди классических результатов математической статистики, основанных на гипотезе нормальности результатов наблюдений, нет методов построения доверительных границ для коэффициента вариации, поскольку задача построения таких границ не выражается в терминах обычно используемых распределений, например, распределений Стьюдента и хи-квадрат.

Критерий Пирсона, или критерий χ² (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о законе распределения. Обозначим через X исследуемую случайную величину. Пусть требуется проверить гипотезу H0 о том, что эта случайная величина подчиняется закону распределения F(x). Для проверки гипотезы произведём выборку, состоящую из n независимых наблюдений над случайной величиной X. По выборке можно построить эмпирическое распределение F * (x) исследуемой случайной величины. Сравнение эмпирического F * (x) и теоретического распределений производится с помощью специального правила —критерия согласия.

Для проверки критерия вводится статистика:

где — предполагаемая вероятность попадения в i-й интервал, — соответствующее эмпирическое значение, ni — число элементов выборки из i-го интервала, N — полный объём выборки. Эта величина в свою очередь является случайной и должна подчиняться распределению χ2.

 


13 Случайная величина и статистики, имеющие t-распределение Стьюдента. Их применение в задачах оценивания параметров и проверке гипотез.

Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины

где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N(0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента.

Пусть уi, i = 1, ..., n - случайные величины, имеющие нормальные Р. со средним m и дисперсией s2, тогда величина

где

или в случае с :

подчиняется распределению Стьюдента с ф-цией плотности вероятности

ср. значением

дисперсией

моментами

При n : , распределение Стьюдента приближается к нормальному Р. с нулевым средним и единичной дисперсией. С его помощью можно вычислить доверительные интервалы , для m и статистические критерии проверки гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения.

Распределение t Стьюдента – это распределение случайной величины

где случайные величины U и X независимы, U имеет распределение стандартное нормальное распределение N(0,1), а X – распределение хи – квадрат с n степенями свободы. При этом n называется «числом степеней свободы» распределения Стьюдента.

Традиционный метод проверки однородности (критерий Стьюдента).Для дальнейшего критического разбора опишем традиционный статистический метод проверки однородности. Вычисляют средние арифметические в каждой выборке

,

затем выборочные дисперсии

,

и статистику Стьюдента t, на основе которой принимают решение,

. (1)

По заданному уровню значимости a и числу степеней свободы (m+n _ 2) из таблиц распределения Стьюдента находят критическое значение tкр. Если |t|>tкр, то гипотезу однородности (отсутствия различия) отклоняют, если же |t|<tкр, то принимают. (При односторонних альтернативных гипотезах вместо условия |t|>tкр проверяют, что t>tкр; эту постановку рассматривать не будем, так как в ней нет принципиальных отличий от обсуждаемой здесь.)

Классические условия применимости критерия Стьюдента.Пусть выполнены два классических условия применимости критерия Стьюдента, основанного на использовании статистики t, заданной формулой (1):

а) результаты наблюдений имеют нормальные распределения:

F(x)=N(x; m1, s12), G(x)=N(x; m2, s22)

с математическими ожиданиями m1 и m2 и дисперсиями s12 и s22 в первой и во второй выборках соответственно;

б) дисперсии результатов наблюдений в первой и второй выборках совпадают:

D(X)=s12=D(Y)=s22.

Если условия а) и б) выполнены, то нормальные распределения F(x) и G(x) отличаются только математическими ожиданиями, а поэтому обе гипотезы H0 и H'0 сводятся к гипотезе

H"0 : m1=m2, ,

а обе альтернативные гипотезы H1 и H'1 сводятся к гипотезе

H"1 : m1¹m2, .

Если условия а) и б) выполнены, то статистика t при справедливости H"0 имеет распределение Стьюдента с (т + п - 2) степенями свободы. Только в этом случае описанный выше традиционный метод обоснован безупречно. Если хотя бы одно из условий а) и б) не выполнено, то нет оснований считать, что статистика t имеет распределение Стьюдента, поэтому применение традиционного метода, строго говоря, не обосновано. Обсудим возможность проверки этих условий и последствия их нарушений.

Область применимости традиционного метода проверки однородности с помощью критерия Стьюдента.Подведем итоги рассмотрения t-критерия. Он позволяет проверять гипотезу H'0 о равенстве математических ожиданий, но не гипотезу H0 о том, что обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. Классические условия применимости критерия Стьюдента в подавляющем большинстве экономических и технико-экономических задач не выполнены. Тем не менее при больших и примерно равных объемах выборок его можно применять. При конечных объемах выборок традиционный метод носит неустранимо приближенный характер.

 

Если выборка из , то выборочная характеристика будет иметь распределение Стьюдента c

 

Доказательство:

; ; преобразуем T умножив и разделив его на

 

=

 

14 Случайная величина и статистики, имеющие F-распределение, и их применение в математической статистике.

позволяет решить задачу сравнения генеральных дисперсий.

 

Определение: если и - независимые СВ, имеющие распределение с , то СВ имеет F-распределение () при >

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Понятие генеральной совокупности и выборки. Эмпирические аналоги параметров генеральной совокупности

Генеральной совокупностью называют исходное множетсво объектов из которого... Выборка выборочная совокупность совокупность случайно отобранных из генеральной совокупности объектов Выборка должна быть репрезентативной то...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теорема 1.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

По сгруппированным данным
(n велико) xi x1 x2 … xi

Теорема №7
Если по данным двух независимых выборок объемом n1 и n2 из нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых равны, т.е

Интервальные оценки для генеральной средней, полученной из нормальной совокупности, при известной и неизвестной генеральной дисперсии.
Пусть из гене

Интервальные оценки для генеральной дисперсии, полученные по выборке из нормальной генеральной совокупности.
Пусть из генер.совок Х,имеющей норм.з-н распр-я с мат.ож µ и дисп. взята случ.выб объёмом n.Основа интерв.оценки дис

Оценка неизвестных параметров.
В качестве оценки плотности вероятностей для непрерывной случайной величины Х) или функции вероятностей (для дискретной величины) используют сгруппированный вариационный ряд, интервальный - в перво

Проверка гипотез о законе распределения ген.совокупности.
КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ – статистическое правило, в соответствии с которым проверяется статистическая гипотеза об аналитическом виде закона распределения вероятностей анализируемой генеральной со

Критерий согласия Пирсона
КРИТЕРИЙ ПИРСОНА χ2– критерий проверки гипотезы о том, что изучаемая случайная величина подчиняется заданному закону распределения: H0: F(x) = F0

Проверка гипотез о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных совокупностей
  Пусть X и Y нормальные совокупности с известными дисперсиями и

Критерий Бартлетта
Пусть Х1, Х2 ,…, Хl – l нормал. генер. сов., из котор. извлечены выборки объемом

Критерий Кохрана
Пусть Х1, Х2 ,…, Хl – l нормал. генер. сов., из котор. извлечены незав. случ. выборки одинак. объема

Однофакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Общий вид модели.
  Однофакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Общий вид модели.   Дисперсионный анализ предназначен для проверки з

Модель М1 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы относительно общего среднего. Вывести статистику критерия.
  При проверке гипотезы о равенстве двух средних выбранных уровней используется стати

Модель М2 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы относительно общего среднего. Вывести статистику критерия.
  Модели дисперсионного анализа классифицируются в зависимости от числа факторов на однофакторные, двухфакторные и т.д. комплексы. По природе факторов модели подразделяются н

Модель М1 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка существенности различий между парами средних. Вывести статистику критерия.
    Однофакторная дисперсионная модель имеет вид: , где 1)

Двухфакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Особенности моделей М1, М2 и смешанных.
  2-х факторный дисперсионный анализ, Исследуется влияние факторов А и В и их взаимодействия на результативный Признак У. Ф. А имеет m уровней, ф-р В – r. Каждой паре соотв-т

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги