Интервальные оценки для генеральной дисперсии, полученные по выборке из нормальной генеральной совокупности.

Пусть из генер.совок Х,имеющей норм.з-н распр-я с мат.ож µ и дисп. взята случ.выб объёмом n.Основа интерв.оценки дисперсии-статистика S². Правила постр-я доверит.интерв.для дисп-ии зависят от объема использ.при оценив-ии выб-ки.

1)Доверит.интерв.для и ,если объём выборки небольшой (n ≤ 30):

Согласно стат-ке имеющей χ² распр-е Пирсона с ν =n-1 степ.своб,для задан.надежн-ти γ:

Так как табл. χ² распр-я Пирсона содержит вер-ти P(χ²> χ²_a,v )=α,можно записать:

Таким образом, . Учитывая,что= ,

получаем исходн.ф-лу для интерв.оценки.

Постр-е дов.интерв.с заданной надежн-ю γ для ген.дисп-ии при n ≤ 30 осущ-ся по ф-ле: ,где ;

 

Здесь χ² – СВ,имеющ-я χ² распр-е Пирсона с ν =n-1 степ.свободы.

2)Доверит.интерв.для и ,если объём выборки большой (n > 30):

Учитывая,что стат-ка при асимптот-ки стрем-ся к станд.норм.з-ну распр-я N(0;1) и св-во станд.норм.СВ после преобр-я:

;

Постр-е дов.интерв.с заданной надежн-ю γ для ген.среднеквадр.откл-я при n>30 осущ-ся по ф-ле: ,где Ф(t) – знач-е ф-ции Лапласа норм.з-

 

на распр-я, соответв.заданной надёжн-ти γ.

Отсюда

 

17. Интервальная оценка для вероятности р, полученная по выборке из генеральной совокупности, имеющей биномиальный закон распределения.

Пусть в n незав.испыт-иях событие А,вер-ть появл-я кот.в кажд.испыт-ии =p,наступило m раз,где 0≤m≤n. В кач-ве основы интерв.оценки ген.доли использ-ся точечн.оценка вер-ти – частость m/n.При этом правила постр-я доверит.интерв.для ген.доли зависят от объёма использ.при оценив-ии выб-ки.

Доверит.интерв.для Р при малых n строят,исходя из биномиальн.з-на распр-я,приняв

 

 

,где P_n(m)-вер-ть того,что в n испыт-ях соб.А появ-ся m раз;

; p-вер-ть появл-я соб.А; q=1-p. Границы довер.интерв.для ген.доли опред-ся на основе ур-ий:,которые решаются приближенно.

 

,