Критерий согласия Пирсона

КРИТЕРИЙ ПИРСОНА χ²– критерий проверки гипотезы о том, что изучаемая случайная величина подчиняется заданному закону распределения: H₀: F(x) = F₀(x).

Наблюдаемое значение статистики критерия рассчитывается на основе данных, представленных в виде вариационного ряда по формуле: ,

где m_i – частота i-го значения или интервала (число наблюдений выборки, равных i-му значению x_i, или попадающих в i-й интервал (a_i; b_i), i = 1, … , l;

p_i – вероятность принятия случайной величиной i-го значения или вероятность попадания в i-й интервал;

n – объем выборки n = Σ m_i.

Часто для расчетов вводят понятие "теоретической частоты" m_i^T = np_i, что позволяет преобразовать формулу наблюдаемого значения статистики критерия к виду: .

По теореме Пирсона при истинности гипотезы H₀ и n → ∞, распределение статистики χ²_набл сходится к χ²-распределению с ν = l – r – 1 степенями свободы, где r - число параметров предполагаемого теоретического зако­на, использованных для вычисления теоретических частот и оценива­емых по выборке. Для проверки нулевой гипотезы H₀ на уровне значимости α строят правостороннюю критическую область. Границу критической области χ²_кр находят по таблицам χ²-распределения из условия P(χ² > χ²_кр(α; l – r – 1)) = α.

Гипотеза отвергается на уровне значимости a, если вычисленное значение χ²_набл окажется больше критического χ²_кр(α,ν), найденного по таблицам распределения χ² для уровня значимости a и числа степеней свободы ν = l – r - 1. В противном случае гипотеза не отвергается.

Если все или некоторые значения определяющих теоретический закон параметров известны, то для вычисления вероятностей p_i оцен­ки параметров заменяют их данными значениями или другими оценками, получаемыми на основе выборки при известных значениях остальных параметров. При этом число степеней свободы увеличивается, так как r, уменьшается.

 

 

19 Проверка гипотез о значении генеральной средней, при известной генеральной дисперсии. Вычисление мощности критерия

 

Пусть из генеральной совокупности, значения которой имеют нормальный закон распределения с неизвестным мат ожиданием и известной дисперсией ,

Взята случайная выборка объемом n и пусть - выборочная средняя арифметическая, и - определенные значения параметра . Для проверки нулевой гипотезы H₀: , при альтернативной гипотезе H₁: используют статистику:

, которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное распределение N(0,1). Согласно требованию к критической области, при - ПКО, - ЛКО, - ДКО.

Границы критической области (t_кр) находят по таблице интегральной ф-ции Лапласа Ф(t) из условий:

ПКО и ЛКО => , ДКО

Тогда, если:

=> отвергается с вероятностью ошибки

=> гипотеза не противоречит опытным данным

Мощность критерия: , где

 

Проверка гипотез о значении генеральной средней, при неизвестной генеральной дисперсии. Вычисление мощности критерия

 

Пусть и S² – среднее арифметическое и дисперсия выборки объемом n из нормальной ген. совокупности X с неизвестными параметрами и . Тогда для проверки нулевой гипотезы H₀: , при альтернативной H₁: использую статистику: , которая при выполнении гипотезы H₀ имеет распределения Стьюдента (t-распределение) с степенями свободы.

При - ПКО, - ЛКО, - ДКО.

Границы критической области (t_кр) определяют по таблице t-распределения для заданного уровня значимости и числа степеней свободы : :

ПКО, ЛКО(односторонняя критическая область) ,ДКО

Тогда, если:

=> отвергается с вероятностью ошибки

=> гипотеза не противоречит опытным данным

Мощность критерия:

, где