КРИТЕРИЙ ПИРСОНА χ2– критерий проверки гипотезы о том, что изучаемая случайная величина подчиняется заданному закону распределения: H0: F(x) = F0(x).
Наблюдаемое значение статистики критерия рассчитывается на основе данных, представленных в виде вариационного ряда по формуле: ,
где mi – частота i-го значения или интервала (число наблюдений выборки, равных i-му значению xi, или попадающих в i-й интервал (ai; bi), i = 1, … , l;
pi – вероятность принятия случайной величиной i-го значения или вероятность попадания в i-й интервал;
n – объем выборки n = Σ mi.
Часто для расчетов вводят понятие "теоретической частоты" miT = npi, что позволяет преобразовать формулу наблюдаемого значения статистики критерия к виду: .
По теореме Пирсона при истинности гипотезы H0 и n → ∞, распределение статистики χ2набл сходится к χ2-распределению с ν = l – r – 1 степенями свободы, где r - число параметров предполагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот и оцениваемых по выборке. Для проверки нулевой гипотезы H0 на уровне значимости α строят правостороннюю критическую область. Границу критической области χ2кр находят по таблицам χ2-распределения из условия P(χ2 > χ2кр(α; l – r – 1)) = α.
Гипотеза отвергается на уровне значимости a, если вычисленное значение χ2набл окажется больше критического χ2кр(α,ν), найденного по таблицам распределения χ2 для уровня значимости a и числа степеней свободы ν = l – r - 1. В противном случае гипотеза не отвергается.
Если все или некоторые значения определяющих теоретический закон параметров известны, то для вычисления вероятностей pi оценки параметров заменяют их данными значениями или другими оценками, получаемыми на основе выборки при известных значениях остальных параметров. При этом число степеней свободы увеличивается, так как r, уменьшается.
19 Проверка гипотез о значении генеральной средней, при известной генеральной дисперсии. Вычисление мощности критерия
Пусть из генеральной совокупности, значения которой имеют нормальный закон распределения с неизвестным мат ожиданием и известной дисперсией ,
Взята случайная выборка объемом n и пусть - выборочная средняя арифметическая, и - определенные значения параметра . Для проверки нулевой гипотезы H0: , при альтернативной гипотезе H1: используют статистику:
, которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное распределение N(0,1). Согласно требованию к критической области, при - ПКО, - ЛКО, - ДКО.
Границы критической области (tкр) находят по таблице интегральной ф-ции Лапласа Ф(t) из условий:
ПКО и ЛКО => , ДКО
Тогда, если:
=> отвергается с вероятностью ошибки
=> гипотеза не противоречит опытным данным
Мощность критерия: , где
Проверка гипотез о значении генеральной средней, при неизвестной генеральной дисперсии. Вычисление мощности критерия
Пусть и S2 – среднее арифметическое и дисперсия выборки объемом n из нормальной ген. совокупности X с неизвестными параметрами и . Тогда для проверки нулевой гипотезы H0: , при альтернативной H1: использую статистику: , которая при выполнении гипотезы H0 имеет распределения Стьюдента (t-распределение) с степенями свободы.
При - ПКО, - ЛКО, - ДКО.
Границы критической области (tкр) определяют по таблице t-распределения для заданного уровня значимости и числа степеней свободы : :
ПКО, ЛКО(односторонняя критическая область) ,ДКО
Тогда, если:
=> отвергается с вероятностью ошибки
=> гипотеза не противоречит опытным данным
Мощность критерия:
, где