Для составления двойственной задачи используют следующий алгоритм.
Для составления двойственной задачи используют следующий алгоритм. - раздел Экономика, УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОмПЛЕКС дисциплины Методы отыскания оптимальных экономических решений и специальностей 1. Приводят Все Неравенства Системы Ограничений В Исходной Задаче К Виду «...
1. Приводят все неравенства системы ограничений в исходной задаче к виду «≤», если F(x) → max и к виду «≥», если F(x) → min. Для этого неравенства, где не выполняется это условие, умножают на «-1».
2. Составляют матрицу системы А, в которую включают коэффициенты переменных, свободные члены и строку коэффициентов при переменных в линейной функции.
3. Составляют транспонированную матрицу A’
4. Формулируют двойственную задачу на основе матрицы A’, сохраняя экономический смысл обозначений.
Например. Составим двойственную задачу:
F= – x1+2x2 → max
x1≥0, x2≥0
Приведем неравенства к виду «≤»:
Составим расширенную матрицу системы :
Cоставим транспонированную матрицу A’:
Двойственная задача примет вид:
Z = – y1+24y2+3y3 –5y4 → min
при ограничениях
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0, y4 ≥ 0
Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается с помощью теорем:
ТЕОРЕМЫ
1. Для любых допустимых решений x иy справедливо неравенство: F(x) ≤ Z(y) или
2. Если для допустимых решений x’ и y’ выполняется условие F(x’) = Z(y’), то x’- оптимальное решение исходной задачи и y’- оптимальное решение двойственной задачи.
3. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то его имеет и другая задача
4. Если линейная функция одной из задач не ограничена (например: Fmax=∞ ), то условия другой задачи являются противоречивыми.
Экономический смысл указанных теорем: применительно к нашему примеру план производства x’(x1’x2’…xn’) и цены y’(y1’y2’…ym’) на ресурсы являются оптимальными только тогда, когда выручка (прибыль) от реализации продукции по ценамсi (i=1,2,...n) равна затратам на ресурсы по ценам yi (i=1,2,...m). Для всех других планов производства X(x1, x2… xn) и цен Y(y1, y2…ym) прибыль от реализации продукции будет меньше или равна затратам на ресурсы, или предприятию экономически все равно производить продукцию по оптимальному плану x’ и получать максимальную прибыль F’, либо продать ресурсы по оптимальным ценам y’.
Для решения двойственных задач используют симплекс-метод. Для этого системы ограничений приводят к каноническому виду, вводя дополнительные переменные.
Связь между переменными следующая:
Переменные исходной задачи
Первоначальные
Дополнительные
x1
x2
…
xj
…
xn
xn+1
x n+2
…
xn+i
…
xn+m
↕
↕
↕
↕
↕
↕
↕
↕
ym+1
ym+2
…
ym+j
…
ym+n
y1
y2
…
yj
…
ym
Дополнительные
Первоначальные
Переменные двойственной задачи
При этом положительным (>0) компонентам оптимального решения одной из задач соответствуют нулевые компоненты оптимального решения другой задачи.
Например: если xj’>0, то y’m+j=0 и наоборот, если y’j>0, то x’n+i=0.
Для решения двойственных задач можно использовать следующее правило: компоненты оптимального решения двойственной задачи равны абсолютным значениям коэффициентов при соответствующих переменных линейной функции исходной задачи, выраженной через неосновные переменные ее оптимального решения.
Например: задача оптимизации плана производства.
Решим двойственную задачу симплекс-методом
Исходная задача
Двойственная задача
Оптимальное решение
X’=(6;4;0;0;1;3)
при Fmax=24
Оптимальное решение
Fmax=Zmin=24
Компоненты оптимального решения двойственной задачи:
у3=0 у4=0 у5=0 у6=0
.
Они равны значениям по абсолютной величине коэффициентов соответствующих переменных линейной функции:
И, наоборот, если симплекс-методом решили двойственную задачу и получили оптимальное решение , то Z=24+y3+3y4+6y5+4y6, тогда оптимальное решение исходной задачи будет :
Х=(6;4;0;0;1;3) – является оптимальным решением исходной задачи
Первоначальные
переменные
Дополнительные
переменные
4/5
3/5
x1
x2
x3
x4
x5
x6
↕
↕
↕
↕
↕
↕
у5
у6
у1
у2
у3
у4
Метод двойственной задачи обычно применяют, когда первое базисное решение исходной задачи является недопустимым, или когда число ограничений m в исходной задаче больше числа переменных x.
Экономический смысл двойственной задачи состоит не только в оценке оптимального объема производства, оптимальной цены реализации сырья, но и в оценке влияния запасов на величину прибыли предприятия, т.е. оценки (цены) ресурсов показывают, на сколько денежных единиц изменится максимальная прибыль (выручка) от реализации продукции при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу.
Из рассмотренного примера оптимальные цены ресурсов:
Таким образом, при увеличении запаса S1на 1 единицу прибыли увеличится на 4/5 рубля. При увеличении запаса ресурса S2- прибыль увеличится на 3/5 рубля. Увеличение S3, S4 запаса на прибыль влияния не окажет.
Двойственная задача дает возможность анализа решений при изменении или дополнения условий.
Например: предприятие решило производить и продукцию С, затраты сырья на ее производство следующие:
S1:a13 = 3 ед.
S2:a23 = 2 ед.
S3:a33 = 4 ед.
S4:a43 = 1 ед.
Цена единицы продукции С равна 3 рубля. Важно определить, даст ли прибыль включение в план производства продукцииС и какой должна быть цена, чтобы производство продукции С было рентабельным?
Задачу можно решить заново, включая дополнительные условия. Однако, имея оценку ресурсов, можно сопоставить дополнительные затраты на ресурсы в связи с производством продукции С и цену реализации продукции.
Значит, выпуск продукции С при цене за единицу продукции 3 рубля, является нерентабельным и включать ее в план производства нецелесообразно.
Для того, чтобы производство продукции С стало экономически выгодным, цена ее реализации должна быть более 3,6 руб.
По двойственной задаче можно определить и нормы заменяемости ресурсов при сохранении max прибыли. Для этого находят отношение оценок ресурсов:
,
т.е.
или
Это означает, что каждые дополнительные 3 единицы ресурса 1 вида эквивалентны 4 единицам ресурса 2 вида, при этом прибыль остается неизменной (максимальной).
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СЕРВИСА...
Цели и задачи изучения дисциплины
Развитие науки, усложнение экономических и социальных связей привели к разработке специальной области знаний - теории принятия решений. Необходимость принятия оптимальных экономичес
Тесты самопроверки знаний
По теме 1:
1. Что может быть критерием оптимальности экономических решений?
a. Максимальные значения показателей
b. Наличие взаимосвязей между показателя
Сущность оптимизации в принятии решений
Развитие науки, усложнение экономических и социальных связей привели к разработке специальной области знаний – теории принятия решений.
Формирование ее основ относят к кон
Задачи оптимизации и их постановка
Задачи оптимизации экономических решений могут быть разбиты на ряд классов:
1. Задачи сетевого планирования и управления, которые рассматривают сроки, стоимость выполнения различных
Общая постановка экономической задачи линейного программирования
Метод линейного программирования, используемый для оптимизации экономических решений, относится к экономико-математическим методам, целью которых является построение определенной математической мод
Двойственные задачи
Каждой линейной задаче соответствует другая задача, называемая двойственной.
Рассмотрим задачу об использовании ресурсов, где
Si- вид ресурсов, используемых дл
Методика экономического анализа критического пути
Путь – это любая последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Выделяют полный путь –
Параметры работ
Работа может начаться и окончиться в ранние, поздние и промежуточные сроки.
Ранний срок начала работы (i,j) совпадает с ранним сроком наступления предшествующего
Оптимизация сетевого графика
Оптимизация сетевого графика представляет собой процесс улучшения организации комплекса работ с учетом срока их выполнения. Оптимизация проводится с целью:
сокращения длительности кр
Основная модель управления запасами.
Правильное и своевременное определение оптимальной стратегии управления запасами, нормативным уровнем запасов позволяет высвободить значительные оборотные средства.
Модели управления запас
Модификация основной модели управления запасами.
Основную модель управления запасами можно модифицировать на случай отклонения реальных условий от идеальных, предусмотренных в основной модели.
Предположим, что на некотором станке произво
Практические занятия
ТЕМА 2. Теоретические основы методов линейного программирования в оптимизации экономических решений.
Занятие 1.
1. Общая постановка экономической задачи оптимизаци
Исходные данные
Вид сырья
Нормы расхода сырья на одно изделие, кг
Общее количество сырья, кг
А
В
Исходные данные
Вид продукции
Производительность работы линии, шт. в сутки
Затраты на работу линии, у.е. в сутки
План, шт
Модель управления запасами
Годовой спрос производственного предприятия на комплектующие составляет 60 тысяч единиц. Стоимость размещения одного заказа оценивается специалистами предприятия в 25 у.е., а стоимость хранения сос
Модель управления запасами при наличии оптовых скидок
Предположим, что для рассмотренной нами задачи добавляется новое условие – скидка 0,10 у.е. при одновременном заказе не менее чем 5000 тысяч единиц комплектующих. Больший размер заказов приведет к
Индивидуальная работа под руководством преподавателя
Индивидуальная работа организуется преподавателем для студентов на добровольной основе в следующих случаях:
· индивидуального графика обучения;
· углубленного изучения курса;
Самостоятельная работа студента
Самостоятельная работа студента по дисциплине включает в себя:
изучение лекционного материала по конспекту лекций; изучение основной и дополнительной литературы; по
Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Основная литература
Конюховский П. Математические методы исследования операций в экономике. 2-е изд.: Учебное пособие / П.Конюховский.- СПб университет, СПб, 2009 Мачула В.
Методические рекомендации преподавателю
Основными формами обучения студентов по дисциплине «Методы отыскания оптимальных экономических решений» являются аудиторные занятия, включающие лекционные и практические занятия, и
Методические указания студентам по изучению дисциплины
Изучение дисциплины «Методы отыскания оптимальных экономических решений» требует изучения студентами теоретического материала по курсу, участие в практических занятиях, а также само
Материально-техническое обеспечение дисциплины
Для изучения дисциплины используются интерактивные технологии, такие как слайд-лекции, компьютерный практикум.
Для проведения слайд-лекций используютcя аудитории, оснащенны
Технологическая карта дисциплины
"Методы отыскания оптимальных экономических решений"
Кафедра: «Экономика и управление» Преподаватель: к.э.н., доц. О.Н. Наумова, к.э.н, асс. А.Г.
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов