Временные ряды в экономических исследованиях

3.1 Методические указания

 

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени, называются моделями временных рядов.

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов. Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой (Т), циклической (S) и случайной (Е) компонент. Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент – аддитивные модели, как произведение – мультипликативные модели. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух и более временных рядов.

Аддитивная модель имеет вид:

Y=T+S+E

Мультипликативная модель:

Y=T·S·E

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значения Т, S, Е для каждого уровня ряда.

Построение модели включает следующие шаги:

1. выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

2. расчет значений сезонной компоненты S;

3. устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной (Т+Е) или в мультипликативной (Т·Е) модели.

4. аналитическое выравнивание уровней (Т+Е) или (Т·Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда;

5. расчет полученных по модели значений (Т+S) или (T·S);

6. расчет абсолютных или относительных ошибок.

В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

 

3.2 Решение типовых задач

 

Задача 3.1Имеются данные об общем количестве правонарушений на таможне одного из субъектов РФ.

Таблица 3.1.1

Год	Квартал		Количество возбужденных дел,
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV
	I
II
III
IV

 

Данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4, т.к. количество правонарушений в первый-второй кварталы ниже, чем в третий-четвертый. Необходимо рассчитать компоненты аддитивной модели временного ряда.

Шаг 1. Проводится выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:

1.1. Суммируются уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени.

1.2. Разделив полученные суммы на 4, находятся скользящие средние. Полученные таким образом выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.

1.3. Необходимо привести эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего находятся средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

Таблица 3.1.2

№ квартала, t	Количество правонарушений yt	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
		–	–	–	–
			657,5	–	–
				655,25	213,75
				665,5	349,5
			708,75	693,75	-336,75
				709,375	-238,375
			718,25	714,125	277,875
			689,25	703,75	316,25
			689,25	689,25	-299,25
			660,5	674,875	-319,875
			678,25	669,375	322,625
				690,625	214,375
					-233
			690,5	687,75	-233,75
		–	–	–	–
		–	–	–	–

Шаг 2. Находятся оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними. Эти оценки используются для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого находятся средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

Таблица 3.1.3

Показатели	Год	№ квартала,
I	II	III	IV
		–	–	213,75	349,5
	-336,75	-238,375	277,875	316,25
	-299,25	-319,875	322,625	214,375
	-233	-233,75	–	–
Всего за i-й квартал		-869	-792	814,25	880,125
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала,		-289,667	-264	271,417	293,375
Скорректированная сезонная компонента, Si		-292,448	-266,781	268,636	290,593

Для данной модели имеем:

-298,667-264+271,417+293,375=11,125.

Корректирующий коэффициент: k=11,125/4=2,781.

Расчет скорректированных значений сезонной компоненты ().

Проверка равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:

-292,448-266,781+268,636+290,593=0.

Шаг 3. Исключается влияние сезонной компоненты, путем вычитания ее значения из каждого уровня исходного временного ряда. Получаются величины T+E=Y-S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

 

Таблица 3.1.4

t	yt	Si	yt-Si	T	T+S	E= yt-(T+S)	E2
		-292,448	667,448	672,700	380,252	-5,252	27,584
		-266,781	637,781	673,624	406,843	-35,843	1284,721
		268,636	600,364	674,547	943,183	-74,183	5503,117
		290,593	724,407	675,470	966,063	48,937	2394,830
		-292,448	649,448	676,394	383,946	-26,946	726,087
		-266,781	737,781	677,317	410,536	60,464	3655,895
		268,636	723,364	678,240	946,876	45,124	2036,175
		290,593	729,407	679,163	969,756	50,244	2524,460
		-292,448	682,448	680,087	387,639	2,361	5,574
		-266,781	621,781	681,010	414,229	-59,229	3508,074
		268,636	723,364	681,933	950,569	41,431	1716,528
		290,593	614,407	682,857	973,450	-68,450	4685,403
		-292,448	753,448	683,780	391,332	69,668	4853,630
		-266,781	720,781	684,703	417,922	36,078	1301,622
		268,636	651,364	685,627	954,263	-34,263	1173,953
		290,593	636,407	686,550	977,143	-50,143	2514,320

Шаг 4. Определение компоненты T данной модели. Для этого проводится аналитическое выравнивание ряда (T+E) с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:

T=671,777+0,9233*t.

Подставляя в это уравнение значения t=1,2,…,16, находятся уровни T для каждого момента времени.

Шаг 5. Находятся значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого к уровням T прибавляются значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

Для оценки качества построенной модели применяется сумма квадратов полученных абсолютных ошибок.

Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 97% общей вариации уровней временного ряда количества правонарушений по кварталам за 4 года.

Шаг 6. Прогнозирование по аддитивной модели. Необходимо дать прогноз об общем объеме правонарушений на I и II кварталы 2011 года. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда

Получим

Значения сезонных компонент за соответствующие кварталы равны: S₁=-292,448 и S₂=-266,781. Таким образом,

Т.е., в первые два квартала 2011 г. следует ожидать порядка 395 и 422 правонарушений соответственно.

 

Задача 3.2 На основе помесячных данных о числе браков (тыс.) в регионе за последние три года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированные значения сезонной компоненты за соответствующие месяцы приводятся в таблице 3.2.1.

Таблица 3.2.1

Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты	Месяц	Скорректированные значения сезонной компоненты
Январь	-1,0	Июль	3,0
Февраль	2,0	Август	1,0
Март	-0,5	Сентябрь	2,5
Апрель	0,3	Октябрь	1,0
Май	-2,0	Ноябрь	-3,0
Июнь	-1,1	Декабрь	?

Уравнение тренда выглядит следующим образом:

.

При расчете параметров тренда использовались фактические моменты времени (t от 1 до 36 мес.).

Требуется:

· определить значение сезонной компоненты за декабрь;

· на основе постоянной модели дать прогноз, заключенных в течение 1 квартала следующего года.

 

Решение:

Сумма значений сезонной компоненты внутри одного цикла должна быть равна 0 (в соответствии с методикой построения аддитивной модели временного ряда). Следовательно, значение сезонной компоненты за декабрь составит:

S₁₂ = 0 – (-1 + 2 – 0,5 + 0,3 – 2 – 1,1 + 3 + 1 +2 ,5 + 1 – 3) = - 2,2 .

Прогнозное значение уровня временного ряда F_t в аддитивной модели есть сумма трендового значения T_t и соответствующего значения сезонной компоненты S_t.

Число браков, заключенных в 1 квартале следующего года, есть сумма числа браков, заключенных в январе F₃₇, феврале F₃₈ и марте F₃₉.

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, указанным в условии задачи:

Соответствующие значения сезонных компонент составят:

 

S1=-1 S2=2 S3=-0,5

Январь Февраль Март

 

Таким образом,

 

Количество браков, заключенных в 1 квартале следующего года, составит: 2,61 +5,64 + 3,17 = 11,42 тыс.

3.3 Решение с помощью ППП Excel

 

Задача 3.3 Динамика выпуска продукции Швеции характеризуется данными (млн. долл.), представленными в табл. 3.3.1.

Таблица 3.3.1

Год, х	Выпуск продукции, у

 

1. Для определения параметров линейного тренда по методу наименьших квадратов используется статистическая функция ЛИНЕЙН, для определения экспоненциального тренда – ЛГРФПРИБЛ. В качестве зависимой переменной в данном примере выступает время (t = 1, 2, …, n). Приведем результаты вычисления функции ЛИНЕЙНиЛГРФПРИБЛ (рис. 3.1 и 3.2).

 

 

Рис. 3.1 Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Рис. 3.2 Результат вычисления функции ЛГРФПРИБЛ

 

Запишем уравнение линейного и экспоненциального тренда, используя данные рис. 3.1 и 3.2:

2. Построение графиков осуществляется с помощью Мастера диаграмм.

Порядок построения следующий:

1) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) активизируйте Мастер диаграмм любым из следующих способов:

а) в главном меню выберите Вставка / Диаграмма;

б) на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Мастер диаграмм;

3) в окнеТип выберите График (рис. 3.3); вид графика выберите в поле рядом со списком типов. Щелкните по кнопке Далее;

Рис. 3.3 Диалоговое окно Мастера диаграмм: тип диаграммы

 

4) заполните диапазон данных, как показано на рис. 3.4. Установите флажок размещения данных в столбцах (строках). Щелкните по кнопке Далее;

Рис. 3.4 Диалоговое окно Мастера диаграмм: источник данных

 

5) заполните параметры диаграммы на разных закладках (рис. 3.5): название диаграммы и осей, значение осей, линии сетки, параметры легенды, таблица и подписи данных. Щелкните по кнопке Далее;

Рис. 3.5 Диалоговое окно Мастера диаграмм: параметры диаграммы

 

6) укажите место размещения диаграммы на отдельном или имеющемся листе (рис. 3.6). Щелкните по кнопке Далее. Готовая диаграмма, отражающая динамику уровня изучаемого ряда, представлена на рис. 3.7.

 

Рис. 3.6 Диалоговое окно Мастера диаграмм: размещение диаграммы

 

Рис. 3.7 Динамика выпуска продукции

 

В ППП MS Excel линия тренда может быть добавлена в диаграмму с областями гистограммы или в график. Для этого:

1) выделите область построения диаграммы; в главном меню выберите Диаграмма / Добавить линию тренда;

2) в появившемся диалоговом окне (рис. 3.8) выберите вид линии тренда и задайте соответствующие параметры. Для полиномиального тренда необходимо задать степень аппроксимирующего полинома, для скользящего среднего – количество точек усреднения.

 

Рис. 3.8 Диалоговое окно типов линий тренда

 

В качестве дополнительной информации на диаграмме можно отобразить уравнение регрессии и значение среднеквадратического отклонения, установив соответствующие флажки на закладке Параметры (рис. 8.9). Щелкните по кнопке ОК.

 

Рис. 3.9 Диалоговое окно параметров линии тренда

 

На рис. 3.10-3.14 представлены различные виды трендов, описывающие исходные данные задачи.

 

 

Рис.3.10 Линейный тренд

 

 

 

Рис.3.11 Логарифмический тренд

 

 

 

Рис.3.12 Полиномиальный тренд

 

 

 

Рис.3.13Степенной тренд

 

 

Рис.3.14 Экспоненциальный тренд

 

 

3. Сравним значения (или R²) по разным уравнениям трендов:

полиномиальный 6-й степени - =0,9728; экспоненциальный - =0,9647;

линейный - =0,8841; степенной - =0,8470; логарифмический - =0,5886.

Исходные данные лучше всего описывает полином 6-й степени. Следовательно, в рассматриваемом примере для прогнозных значений следует использовать полиномиальное уравнение.

3.4 Контрольные вопросы

 

1. Каковы основные элементы временного ряда?

2. В чем состоит задача эконометрического анализа временного ряда?

3. Перечислите основные виды трендов.

4. Что представляют собой параметры линейного и экспоненциального трендов?

5. Что такое аддитивная модель временного ряда? Перечислите этапы ее построения.

6. Как строится мультипликативная модель временного ряда?

7. Что такое скорректированная сезонная компонента и для чего она применяется?

8. Как выбрать наиболее предпочтительный тренд?

9. Пояснить особенности применения аддитивных и мультипликативных моделей.

10. Поясните расчет сезонной компоненты в аддитивных и мультипликативных моделях временных рядов.

 

3.5 Пример варианта промежуточного тестирования

1. Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели равно:

а) разности трендового значения и значения сезонной компоненты;

б) трендовому значению;

в) случайному значению;

г) сумме трендового значения, случайного значения и значения сезонной компоненты.

д) сумме трендового и случайного значения.

2. На основе помесячных данных о числе раскрытых преступлений за последние два года была построена аддитивная модель временного ряда. Скорректированное значение сезонной компоненты за январь – S=-2, уравнение тренда: . На основе модели число раскрытых преступлений на январь следующего года составит:

а) 12,6;

б) 10,5;

в) 12,5;

г) 11;

д) 15.

3. Для описания темпов роста заработной платы были рассмотрены следующие виды трендов: экспоненциальный, полиномиальный 8 степени, линейный, степенной и логарифмический. Значения коэффициентов детерминации для каждого тренда составляют соответственно:

а) 0,99;

б) 0,95;

в) 0,25;

г) 0,85;

д) 0,55.