рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Линейная модель парной регрессии и корреляции

Линейная модель парной регрессии и корреляции - раздел Экономика, ЭКОНОМЕТРИКА Рассмотрим Простейшую Модель Парной Регрессии – Линейную Регрессию. Линейная ...

Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

или . (1.1)

Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора находить теоретические значения результативного признака, подставляя в него фактические значения фактора .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – и . Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров и , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна:

. (1.2)

Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.

Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции (1.2), надо вычислить частные производные по каждому из параметров и и приравнять их к нулю. Обозначим через , тогда:

.

(1.3)

После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров и :

(1.4)

Решая систему уравнений (1.4), найдем искомые оценки параметров и . Можно воспользоваться следующими готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (1.4):

, , (1.5)

где – ковариация признаков и , – дисперсия признака и

, , , .

Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности[2].

Параметр называется коэффициентом регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.

Формально – значение при . Если признак-фактор не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка свободного члена не имеет смысла, т.е. параметр может не иметь экономического содержания.

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции , который можно рассчитать по следующим формулам:

. (1.6)

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: . Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при имеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

, (1.7)

где , .

Соответственно величина характеризует долю дисперсии , вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.

После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.

Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации:

. (1.8)

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится на основе -критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:

,

где – общая сумма квадратов отклонений; – сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); – остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.1 (– число наблюдений, – число параметров при переменной ).

Таблица 1.1

Компоненты дисперсии Сумма квадратов Число степеней свободы Дисперсия на одну степень свободы
Общая
Факторная
Остаточная

Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину -критерия Фишера:

. (1.9)

Фактическое значение -критерия Фишера (1.9) сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и . При этом, если фактическое значение -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для парной линейной регрессии , поэтому

. (1.10)

Величина -критерия связана с коэффициентом детерминации , и ее можно рассчитать по следующей формуле:

. (1.11)

В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: и .

Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:

, (1.12)

где – остаточная дисперсия на одну степень свободы.

Величина стандартной ошибки совместно с -распределением Стьюдента при степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала.

Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение -критерия Стьюдента: которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы . Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как . Поскольку знак коэффициента регрессии указывает на рост результативного признака при увеличении признака-фактора (), уменьшение результативного признака при увеличении признака-фактора () или его независимость от независимой переменной () (см. рис. 1.3), то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, . Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.

Рис. 1.3. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра .

Стандартная ошибка параметра определяется по формуле:

. (1.13)

Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется -критерий: , его величина сравнивается с табличным значением при степенях свободы.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции :

. (1.14)

Фактическое значение -критерия Стьюдента определяется как .

Существует связь между -критерием Стьюдента и -критерием Фишера:

. (1.15)

В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое значение как точечный прогноз при , т.е. путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего значения . Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом стандартной ошибки , т.е. , и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения :

,

где , а – средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения:

. (1.16)

Рассмотрим пример. По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи.

Таблица 1.2

Расходы на продукты питания, , тыс. руб. 0,9 1,2 1,8 2,2 2,6 2,9 3,3 3,8
Доходы семьи, , тыс. руб. 1,2 3,1 5,3 7,4 9,6 11,8 14,5 18,7

Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения построим поле корреляции.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ЭКОНОМЕТРИКА

ЭКОНОМЕТРИКА Учебно методическое пособие...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная модель парной регрессии и корреляции

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Парная регрессия и корреляция
Парная регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными – и , т. е. м

Нелинейные модели парной регрессии и корреляции
Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций. Различают два класса нелинейных регрессий: 1

Множественная регрессия и корреляция
Парная регрессия может дать хороший результат при моделировании, если влиянием других факторов, воздействующих на объект исследования, можно пренебречь. Если же этим влиянием пренебречь нельзя, то

Уравнения множественной регрессии
Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии. Вкл

Свойства оценок на основе МНК
Возможны разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные. Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используется линейная функция. В линейной множественной

И показатели качества регрессии
Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – показателя детерминации. Показатель множественной корре

С гетероскедастичными остатками
При оценке параметров уравнения регрессии применяется метод наименьших квадратов (МНК). При этом делаются определенные предпосылки относительно случайной составляющей

Обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)
При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный метод наименьших квадратов (известный в английской терминологии как метод OLS – Ordinary Least Squares) з

Регрессионные модели с переменной структурой
(фиктивные переменные) До сих пор в качестве факторов рассматривались экономические переменные, принимающие количественные значения в некотором интервале. Вместе с тем мож

Системы эконометрических уравнений
При использовании отдельных уравнений регрессии, например для экономических расчетов, в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако э

Структурная и приведенная формы модели
Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенные переменные – это зависимые переменные, числ

Проблема идентификации
При переходе от приведенной формы модели к структурной эконометрист сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами м

Методы оценки параметров структурной формы модели
Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение в литературе получили следующие методы оценива

Временные ряды
При построении эконометрической модели используются два типа данных: 1) данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени; 2) данные, характери

Автокорреляция уровней временного ряда
При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временно

Моделирование тенденции временного ряда
Распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют

Моделирование сезонных колебаний
Простейший подход к моделированию сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона
Автокорреляция в остатках может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. 1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значения

Дискретная случайная переменная
Ваше интуитивное понимание вероятности почти наверняка соответствует задачам этой книги, и поэтому мы опустим традиционный раздел чистой теории вероятностей, хотя он мог бы быть весьма увлекательны

Математическое ожидание дискретной случайной величины
Математическое ожидание дискретной случайной величины – это взвешенное среднее всех ее возможных значений, причем в качестве весового коэффициента берется вероятность соответствующего исхода. Вы мо

Математические ожидания функций дискретных случайных переменных
Пусть – некоторая функция от . Тогда

Правила расчета математического ожидания
Существуют три правила, которые часто используются. Эти правила практически самоочевидны, и они одинаково применимы для дискретных и непрерывных случайных переменных. Правило 1

Теоретическая дисперсия дискретной случайной переменной
Теоретическая дисперсия является мерой разброса для вероятностного распределения. Она определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной

Постоянная и случайная составляющие случайной переменной
Часто вместо рассмотрения случайной величины как единого целого можно и удобно разбить ее на постоянную и чисто случайную составляющие, где постоянная составляющая всегда есть ее математическое ожи

Способы оценивания и оценки
До сих пор мы предполагали, что имеется точная информация о рассматриваемой случайной переменной, в частности – об ее распределении вероятностей (в случае дискретной переменной) или о функции плотн

Оценки как случайные величины
Получаемая оценка представляет частный случай случайной переменной. Причина здесь в том, что сочетание значений в выборке случайно, п

Несмещенность
Поскольку оценки являются случайными переменными, их значения лишь по случайному совпадению могут в точности равняться характеристикам генеральной совокупности. Обычно будет присутствовать определе

Эффективность
Несмещенность – желательное свойство оценок, но это не единственное такое свойство. Еще одна важная их сторона – это надежность. Конечно, немаловажно, чтобы оценка была точной в среднем за длительн

Влияние увеличения размера выборки на точность оценок
Будем по-прежнему предполагать, что мы исследуем случайную переменную с неизвестным математическим ожиданием

Состоятельность
Вообще говоря, если предел оценки по вероятности равен истинному значению характеристики генеральной совокупности, то эта оценка называется состоятельной. Иначе говоря, состоятельной называе

Множественная регрессия и корреляция
1. Добавление в уравнение множественной регрессии новой объясняющей переменной: а) уменьшает значение коэффициента детерминации; б) увеличивает значение коэффицие

Системы эконометрических уравнений
1. Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получили: а) системы независимых уравнений; б) системы рекурсивных уравнений; в) системы в

Временные ряды
1. Аддитивная модель временного ряда имеет вид: а) ; б)

D.1. Парная регрессия и корреляция
Пример. По территориям региона приводятся данные за 199X г. Таблица D.1 Номер региона Среднедушевой прожиточный минимум в д

Решение
1.Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу D.2. Таблица D.2  

D.2. Множественная регрессия и корреляция
Пример. По предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника

Решение
Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу: №

Математико-статистические таблицы
E.1. Таблица значений -критерия Фишера при уровне значимости

E.3. Значения статистик Дарбина-Уотсона при 5%-ном уровне значимости

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги