Оценка дисперсии истинной ошибки модели

На практике вместо дисперсии истинной ошибки s_e², значение которой не известно, используется ее оценка, рассчитываемая на основе фактических значений ошибки е_t согласно следующей формулы (см. (1.32), (2.19)):

 

 

Обоснованность такой замены можно подтвердить, показав, что M[s_e²]=s_e², т. е. математическое ожидание дисперсии фактической ошибки, определенной на основании известных оценок МНК параметров эконометрической модели, равно дисперсии ее “истинной” ошибки.

Заметим, что векторы значений фактической и “истинной” ошибки связаны следующим соотношением:

e=у –Х×a=Х×a+e–Х×[(Х¢Х)^–1×Х¢×(Х×a+e)]=

=e–Х×(Х¢Х)^–1×Х¢×e=[E_T –Х×(Х¢Х)^–1×Х¢]×e=G×e, (2.57)

 

где E_T – единичная матрица размера Т´Т и G=E_T–Х×(Х¢Х)^–1×Х¢ – симметрическая полуопределенная идемпотентная матрица, обладающая согласно ее определению следующим свойством*:

G^k=G, k=2, 3,... (2.58)

 

Из (2.57) следует, что расчетные значения фактической ошибки е_t линейной эконометрической модели могут быть выражены в виде линейных комбинаций неизвестных значений истинной ошибки e_t. В этом случае сумму квадратов значений фактической ошибки можно представить в следующем виде:

 

(e¢e)=e¢G¢Ge=e¢Ge. (2.59)

 

При выводе выражения (2.59) учтено, что G – симметрическая идемпотентная матрица.

Найдем математическое ожидание левой и правой частей выражения (2.59).

 

M[e¢e]= M[e¢Ge]=

tr(G), (2.60)

где tr(G)=– след матрицы G, представляющий собой сумму ее диагональных элементов (сумму элементов главной диагонали); =s_e² – дисперсия “истинной” ошибки модели.

При выводе выражения (2.60) также учтено, что M[e_t×e_j]=0, если t¹j в силу независимости разновременных значений ошибки e_t.

След матрицы G может быть определен с учетом свойств этой характеристики. В связи с этим напомним, что:

а) след арифметической суммы матриц равен сумме следов каждой из них

 

tr(G)= tr(E_T)– tr[Х×(Х¢Х)^–1×Х¢]; (2.61)

 

б) следы произведений матриц AB и BA равны между собой, естественно при условии, что оба произведения AB и BA матриц A и B существуют.

Тогда, учитывая, что матрица Х¢Х имеет размер (п+1)´(п+1), получим

 

tr[Х×(Х¢Х)^–1×Х¢]=tr[(Х¢Х)^–1×Х¢Х]=trE_п+1, (2.62)

 

где E_п+1 – единичная матрица размера (п+1)´(п+1).

Поскольку в силу формы единичных матриц trE_T=Т и trE_п+1= п+1, то из выражения (2.60) вытекает, что несмещенная оценка дисперсии истинной ошибки модели s_e² определяется на основании следующего выражения: