Оценивание параметров эконометрической модели с учетом ограничений
При нахождении оценок параметров линейной эконометрической модели с использованием МНК предполагалось, что их значения не связаны никакими ограничениями. Вместе с тем, исходные предпосылки, лежащие в основе некоторых моделей, описывающих реальные социально-экономические процессы, предполагают, что значения их параметров не могут быть произвольными. Как это будет показано в следующих разделах, часто “содержательными” являются модели только с положительными значениями параметров, Такая ситуация характерна, например, для моделей, описывающих зависимость выпуска продукции от капиталовложений. При их построении предполагается, что влияние капиталовложений любого предыдущего периода на выпуск продукции в текущем периоде может быть только положительным. В этом случае при оценке параметров должны приниматься во внимание естественные ограничения типа
ai>0. (2.80)
В ряде моделей в качестве исходных допущений выдвигаются определенные соотношения между значениями параметров. Так в классическом варианте производственной функции Кобба-Дугласа (1.17) условие постоянной отдачи от факторов требует, чтобы сумма коэффициентов при них равнялась единице, т. е. a1+a2=1, при сохранении условия (2.80) для каждого из них. Ограничения в виде соотношений между значениями параметров называют линейными. В общем случае они могут быть представлены в векторно-матричной форме записи
R×a=r, (2.81)
где r – известный вектор-столбец, состоящий из k элементов, k<п+1; R – известная матрица порядка k´( п+1). Ее элементы формируются с учетом конкретного вида линейных взаимосвязей между параметрами модели.
Так, например, если в модели предполагается, что a2=a3 и a2+a3+2 a4=2, то вектор r и матрица R имеют следующий вид:
В общем случае постановка задачи оценки коэффициентов эконометрической модели с учетом ограничений с критерием минимума суммы квадратов ошибки формулируется следующим образом: найти параметры ai, i=0, 1,..., п, минимизирующие квадратическую функцию следующего вида:
при ограничениях
где 
– соответственно нижняя и верхняя границы области существования значений параметра ai.
Заметим, что в постановке (2.82)–(2.84) оценки параметров модели обычно определяются в ходе решения задачи оптимизации (минимизации) квадратической целевой функции при линейных ограничениях с использованием вычислительных процедур итеративного характера. Методы решения таких задач рассмотрены в главе XI.
Вместе с тем, если принимается во внимание только одно ограничение, выраженное соотношением (2.84), то оценки параметров эконометрической модели могут быть получены в аналитической форме. Рассмотрим процедуру получения такого решения с использованием МНК.
Требуется определить вектор оценок параметров 
модели 
a+e, минимизирующий квадратическую функцию
при ограничении (2.84) с использованием исходных данных, представленных в виде вектора-столбца наблюдаемых (известных) значений зависимой переменной у и матрицы наблюдаемых значений независимых факторов Х. Здесь 
означает вектор оценок параметров модели с ограничениями.
Аналитическое решение данной задачи может быть получено с использованием метода множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в этом случае записывается в следующем виде:
m¢
где m – вектор множителей Лагранжа, образованный k элементами (k – количество ограничений).
Условие минимума функции j по аргументу имеет традиционный вид
m (2.87)
или
m. (2.88)
Умножив правую и левую части выражения (2.88) слева на R×(X¢X)–1, получим
m. (2.89)
Заметим, что 
=a, где a – оценка МНК, полученная без учета ограничений. Принимая также во внимание, что 
, вектор множителей Лагранжа m определим на основе следующего выражения:
m=
. (2.90)
Подставив (2.90) в (2.87), получим
(2.91)
где a, напоминаем, – вектор параметров той же модели, но рассматриваемой без ограничений.
Заметим, что в выражении (2.91) все матрицы и вектора известны, и, таким образом, вектор оценок коэффициентов модели с ограничениями определяется непосредственно.
Определим традиционным образом вектор ошибки модели с ограничениями:
Добавив и вычтя в правой части выражения (2.92) слагаемое Xa, получим выражение, связывающее ошибки обоих вариантов моделей в следующем виде:
Из выражения (2.93) непосредственно следует, что сумма квадратов ошибки модели с ограничениями определяется следующим образом:
При выводе выражения (2.94) учтено, что X¢e=e¢X=0 в силу свойства ошибки (2.44).
Вектор ошибок оценок параметров найдем, подставив в (2.91) вместо вектора a выражение 
a+e), где a и e – векторы параметров и ошибки истинной модели. В результате получим
= a +Р
×e, (2.95)
где Р – матрица, определенная следующим выражением:
Таким образом,
D=– a = Р×e (2.97)
является вектором ошибок оценок параметров линейной эконометрической модели с учетом наложенных на них ограничений в вида равенств (типа (2.84)).
Поскольку M[Р×e]=Р×M[e]=0, то при отсутствии корреляционных взаимосвязей между переменными хit и ошибкой et полученные оценки являются несмещенными, т. е.
M[]=a. (2.98)
Их ковариационная матрица определяется следующим выражением:
Сov(
)=M[(–a)(–a)]=M[Р×e×e¢××Р¢]=
=s2Р
×Р¢. (2.99)
С учетом вида матрицы Р (см. (2.96)) также несложно доказать справедливость следующего равенства* :
Р×Р¢=Р. (2.100)
В результате ковариационная матрица оценок параметров линейной эконометрической модели с учетом наложенных на нее ограничений в виде равенств () определяется следующим выражением:
Сov()=s2 Р. (2.101)
В практических исследованиях, как и ранее, дисперсия “идеальной” модели 
заменяется ее оценкой 
рассчитанной с использованием фактических значений ошибки 
согласно известной формуле
На основании выражения (2.94) несложно оценить также “потери” в точности аппроксимации известных значений зависимой переменной уt, t=1,2,...,T; при использовании эконометрической модели с ограничениями на параметры вместо модели без таких ограничений. Подставляя в (2.94) вместо разности оценок – a ее выражение из формулы (2.91), после очевидных упрощений получим
Левая часть выражения (2.102) представляет собой разницу между суммами квадратов ошибок моделей с ограничениями на параметры и без ограничений.