Обобщенный метод максимального правдоподобия

В обобщенном ММП предполагается, что ошибка модели подчиняется нормальному закону распределения с ковариационной матрицей W, определенной выражением либо (3.1), либо (3.4), т. е. j(e)~N(0, W_e). В этом случае плотность нормального закона распределения значений ошибки e_t, t=1,2,... Т; можно представить в следующем виде:

j(e)=½W _e½×e¢W_y^–1e]. (3.17)

 

Используя матрицу S_e, выражение (3.17) можно записать и так

j (e )=(s₁ s₂... s_T)½S _e½×e¢S_e^–1e], (3.18)

 

где в зависимости от предполагаемых свойств ошибки матрица S_e определена либо выражением (3.1), либо (3.4). При этом и в том и в другом случае предполагается , что s₁ =s₂=...=s_Т.

Заметим, что при независимых ошибках e₁, e₂,..., e_Т

j (e )=

 

что совпадает с функцией максимального правдоподобия, определенной выражением (2.109).

Логарифм выражения (3.18), являющийся логарифмом функции правдоподобия для взаимозависимых или гетероскедастичных ошибок e₁,..., e_Т с учетом представления их вектора в виде e=у–Х×a, записывается следующим образом:

l=– ln(2p) – ln½W_e½– (у–Х×a)¢W_e^–1(у –Х×a)=

=–ln(2p) –lns_e² –ln½S_e½–(у –Х×a)¢S_e^–1(у –Х×a). (3.19)

 

Дифференцируя выражение (3.19) по вектору параметров a и дисперсии ошибки s_e² и приравнивая нулю частные производные, получим

 

¶l/¶a=(Х¢×S_e^-1×у+Х¢×S_e^–1×Х×a)=0;

¶l/¶s_e²=(у –Х×a)¢×S_e^–1×(у –Х×a)=0. (3.20)

 

Из выражения (3.20) непосредственно получим выражения для оценок параметров модели и ее дисперсии в следующем виде:

 

a=(Х¢×S_e^–1×у)^–1Х¢S_e^–1×у;

s_e²=(у –Х×a)¢× S_e^–1×(у –Х×a). (3.21)

 

Заметим, что с учетом равенства W_e=s²S_e первое выражение из (3.21) можно записать в следующем виде:

a=(Х¢×W_e^–1×у)^–1Х¢W_e^–1×у. (3.22)

 

Из сопоставления выражений (3.16) и (3.21), (3.14) и (3.22) непосредственно вытекает, что при “нормально” распределенных ошибках эконометрической модели при утрате их свойств независимости и гомоскедастичности обобщенные МНК и ММП определяют оценки коэффициентов этой модели по одним и тем же выражениям. При этом, как и в разделе 2.5, можно показать, что оценки ОММП обладают свойствами асимптотической несмещенности, состоятельности и эффективности.

Основные проблемы, связанные с применением обобщенного МНК для оценки коэффициентов эконометрической модели, состоят в том, что априорно матрицы W и S являются неизвестными, поскольку определить численные значения их элементов можно только после того, как получены оценки коэффициентов модели a₀, a₁,... a_n. Разрешить это противоречие можно на основе ряда подходов, которые будут рассмотрены в последующих параграфах данной главы.