Метод инструментальных переменных

Для получения несмещенных (по крайней мере состоятельных) оценок параметров эконометрических моделей в ситуациях, когда имеют место (теоретически допускаются) корреляционные взаимосвязи между независимыми переменными xit и ошибкой et, теория рекомендует подходы и методы, основанные на использовании инструментальных переменных.

Напомним, что в тех случаях, когда некоторые столбцы матрицы значений независимых переменных Х и вектор-столбец ошибки e взаимосвязаны между собой, математическое ожидание второго слагаемого в правой части выражения (2.9) отлично от нуля, M[(Х¢Х)1Х¢×e]¹0, и, следовательно, например, оценки МНК параметров модели, определяемые согласно известному выражению а=(Х¢Х)1Х¢×у, оказываются смещенными, поскольку

 

M[aа]= M[(Х¢Х)1 Х¢×e]¹0. (3.51)

 

Заметим, что появление смещения у оценок МНК всех параметров моделей вызывает присутствие только одной независимой переменной, например, xi, связанной с ошибкой e. В этом случае непосредственно видно, что произведение Х¢×e=(0,..., 0, сi, 0,...,0)¢, где константа стоит на месте, соответствующем i-й переменной, и, таким образом, имеем (Х¢Х)1¢×e=сi×(s0i,s1i,...,sni)¢= =сi×si, где sji j-й элемент i-го столбца si матрицы (Х¢Х)1. Из полученного результата вытекает, что в соответствии с выражением (2.9) имеем а=a+ сi×si. Из чего следует, что смещенными оказываются все оценки коэффициентов модели.

В эконометрике обычно исследуются асимптотические свойства оценок параметров моделей. В этом случае, если в пределе при Т®¥ существует зависимость между столбцами матрицы Х и ошибкой модели e, т. е.

 

 

то оценки МНК параметров эконометрической модели являются несостоятельными (а, следовательно, и асимптотически смещенными).

Это непосредственно вытекает из того факта, что второе слагаемое в правой части выражения

 

plim(a)=

 

отлично от нуля, поскольку из начальных условий (предположений) (2.42) вытекает, что

Использование инструментальных переменных теоретически позволяет устранить отрицательные последствия взаимосвязей независимых переменных и ошибки модели e, связанные с несостоятельностью оценок МНК параметров линейных эконометрических моделей.

Формально, без излишней строгости, выражение для вектора оценок МНК параметров эконометрической модели с использованием инструментальных переменных может быть получено следующим образом.

Предположим, что существуют так называемые “инструментальные” переменные zi, число которых в общем случае совпадает с числом независимых факторов модели хi, i=1,2,..., n; и при t=1,2,..., Т, каждая из которых характеризуется нулевыми корреляционными взаимосвязями с ошибкой эконометрической модели e. При заданном Т матрица значений инструментальных переменных Z имеет такой же размер, как матрица Х.

Умножим слева векторно-матричное уравнение на матрицу у=Х×a+e на матрицу Z¢. Получим

 

Z¢у=Z¢Х×a+Z¢×e, (3.53)

 

С учетом того, что M[Z¢×e]=0, умножая выражение (3.53) слева на (Z¢Х)1, непосредственно имеем

 

az =(Z¢Х)1Z¢у, (3.54)

 

где az – вектор оценок параметров эконометрической модели, полученный с использованием инструментальных переменных.

Результат (3.54) можно получить и традиционным путем. Для этого обозначим у*=Z¢у; Х*=Z¢Х; e*=Z¢×e. В этом случае выражение (3.53) имеет традиционный для эконометрической модели вид:

 

у*=Х*×a+e*. (3.55)

 

Используя для модели (3.55) традиционный для МНК критерий минимума суммы квадратов ошибки

 

s*2=(e*¢,e*)=(e¢Z×Z¢×e)=(Z¢у Z¢Х×a)¢(Z¢у Z¢Х×a)®min (3.56)

 

и приравнивая вектор производных показателя s*2 по вектору параметров a к нулю, , непосредственно получим следующее выражение для вектора оценок этих параметров:

 

az =(Х¢Z Z¢Х)1 Х¢ZZ¢×у. (3.57)

 

Далее, принимая во внимание, что произведения матриц Х¢Z и Z¢Х равны между собой, т. е. Х¢Z=Z¢Х, выражение (3.57) несложно привести к виду (3.54).

 

az=(Х¢ZZ¢Х)1Х¢ZZ¢×у=(Х¢Z)1(Х¢Z)1Х¢ZZ¢×у=(Х¢Z)1Z¢×у=

=(Z¢Х)1Z¢×у.

 

Покажем также, что при наличии у матрица Z размерностью Т´(п+1) в пределе при Т®¥ следующих свойств:

 

plimZ¢×e)=0; (3.58)

plimZ¢×Х)=åZ¢Х; (3.59)

plimZ¢× Z)=åZ¢Z, (3.60)

 

где матрицы å и åZZ существуют и не вырождены, оценки параметров эконометрической модели, определенные выражением (3.54), являются состоятельными.

Для этого, как и при выводе выражения (2.9), подставим вместо вектора у в формулу (3.54) у=Х×a+e. Получим

 

az=a+(Z¢Х)1Z¢e, (3.61)

 

В пределе при Т®¥ имеем

 

plimaz =a+plimZ¢Х)1× plimZ¢e)=a+å1Z¢Z×0=a. (3.62)

 

Обратим внимание на некоторые свойства оценок параметров, полученных с использованием инструментальных переменных на основе выражения (3.54).

В частности, отметим, что в общем случае эти оценки являются неэффективными. В самом деле, вид ковариационной матрицы ошибки e*=Z¢×e модели (3.53) свидетельствует о наличии в ее ряду автокорреляционных зависимостей даже в том случае, когда эти зависимости отсутствовали у ошибки e:

 

Cov(e*)=M[e*¢,e*]=M[Z¢×e×e¢Z)=se(Z¢Z). (3.63)

 

В этом случае ковариационная матрица оценок az параметров модели (3.53) имеет следующий вид:

 

Cov(az)=M[(aza)(aza)¢]= M[(Z¢Х)1Z¢e×e¢Z(Z¢Х)1]=

=se2(Z¢Х)1Z¢×Z(Z¢Х)1, (3.64)

 

где дисперсия ошибки se2 на практике может быть оценена на основании следующего выражения:

 

 

В пределе при Т®¥ с учетом предположений (3.59) и (3.60) можно определить асимптотическую ковариационную матрицу оценок az на основании следующего выражения:

 

asy.var(az)= plim[T(aza)(aza)¢]=

=plim[T(Z¢Х)1Z¢e×e¢Z(Х¢Z)1]=

=plim(Z¢Х)1)plim(Z¢e×e¢Z)plim(Х¢Z)1=

=se2å1Z¢ХåZ¢Zå1Z¢Х. (3.66)

 

Для получения эффективных оценок на базе инструментальных переменных можно использовать обобщенных МНК. Для ковариационной матрицы ошибок модели, определенной выражением (3.63), оценки коэффициентов, полученные с использованием этого метода, определяются на основании следующего выражения, вытекающего из формулы (3.57):

 

az.0=(Х¢Z(Z¢Z)1Z¢Х)1Х¢Z(Z¢Z)1×у=(Х¢Рz Х)1Х¢Рz×у, (3.67)

 

где Рz = Z(Z¢Z)–1.

Несложно показать, что ковариационная матрица оценок обобщенного МНК для инструментальных переменных имеет следующий вид:

 

Сov(az.0)=se2(Х¢Рz Х)1, (3.68)

 

где на практике дисперсия ошибки se2 определяется следующим выражением:

 

 

Вектор оценок az.0, полученный на основании формулы (3.67) является асимптотически несмещенным. Это следует из выражения:

 

az.0=a+(Х¢Рz Х)1(Х¢Рz ε), (3.70)

где

(Х¢Рz Х)=(Х¢Z)( Z¢Z)1( Z¢X),

(Х¢Рz e)=(Х¢Z)( Z¢Z)1( Z¢e).

 

Переходя в выражении (3.70) к пределу при Т®¥, с учетом свойств (3.58)–(3.60) получим

 

plimaz.0=a+(å Х ¢Zå1Z¢ZåZ¢Х)1åZ¢Хå1Z¢Z×0=a. (3.71)

 

Однако заметим, что на практике обобщенный МНК для оценки параметров моделей с инструментальными переменными применяется не часто. Это связано с тем, что дисперсии оценок их параметров, полученных на основе выражения ( .41), при удачном подборе инструментальных переменных увеличиваются не столь значительно, и такую потерю эффективности во внимание можно не принимать.

В самом деле, если инструментальные переменные zi характеризуются достаточно сильной корреляционной связью (коэффициент парной корреляции rz,x®1) с соответствующими независимыми переменными хi, то при одинаковых масштабах этих переменных произведения матриц Z¢Z и Z¢X будут приблизительно равными между собой и в этом случае, как это следует из выражения (3.64),

 

Cov(azse2(Z¢Х)1»se2(Х¢Х)1. (3.72)

 

И, наоборот, если переменные zi и хi слабо взаимосвязаны между собой, то диагональные элементы матрицы (Z¢Х)1 в силу того, что определитель ½Z¢Х½ уменьшается, существенно возрастают. В этом случае при использовании выражения (3.54) за несмещенность оценок приходится платить падением их эффективности. Этот вывод достаточно очевиден при рассмотрении однофакторной модели yt=a0+a1xt+et, при оценке параметров которой используется инструментальная переменная zt.

Несложно видеть, что оценка коэффициента a1 в этом случае согласно выражению (3.54) определяется по следующей формуле:

 

 

а выборочная дисперсия этой оценки по формуле:

 

 

где дисперсия se2 определена выражением типа (3.65) при п=1.

Из выражения (3.73) непосредственно видно, что при слабой зависимости между переменными хt и zt его знаменатель уменьшается (в пределе до нуля), и выборочная дисперсия параметра az может стать как угодно большой.

Вследствие этого на практике инструментальные переменные zi стремятся выбирать согласно следующему правилу: переменные zi должны иметь сильные корреляционные связи с соответствующими переменными хi и быть независимыми по отношению к ошибке модели e.

Выполнение этого правила в эконометрических исследованиях реальных процессов, для которых характерной чертой является корреляционная связь между независимыми факторами и ошибкой, достигается с помощью некоторых специальных приемов, правил формирования инструментальных переменных. Эти правила будут рассмотрены в соответствующих разделах данного учебника (см. главы V и VIII).

В заключении данного раздела рассмотрим некоторые особенности формирования матрицы инструментальных переменных Z. Очевидно, что общее число таких переменных должно быть равно количеству независимых факторов в модели. При этом, если какая-либо из переменных хi оказывается не связанной с ошибкой e, то она сама может выступать в качестве “инструментальной” переменной. В результате матрицу Х можно представить в следующем виде:

 

Х=[Х1Х2],

 

где подматрица Х1 объясняет переменные, независимые по отношению к ошибке модели e, а подматрица Х2 – зависимые.

В этом случае матрица Z имеет следующий вид:

 

Z=[Х1 Z2],

 

 

где Z2 подматрица инструментальных переменных, замещающих независимые факторы, образующие матрицу Х2.

Заметим также, что выражение Z(Z¢Z)1Z¢Х=РzХ=, используемое в формуле (3.67), может рассматриваться как матрица расчетных значений факторов хit, полученных как оценки зависимых переменных при использовании в качестве независимых факторов инструментальных переменных zi, i=1,2,..., п. В самом деле, выражение (Z¢Z)1Z¢хi определяет оценки коэффициентов следующей модели:

 

 

и, таким образом, (Z¢Z)1Z¢Х=B, где B – матрица оценок коэффициентов моделей типа (3.74) для i=1,2,... п; имеющая следующий вид:

 

 

Тогда матрица Z¢B=представляет собой матрицу расчетных значений независимых факторов исходной модели, полученных в результате их выражения эконометрическими моделями типа (3.74) в зависимости от выбранных значений инструментальных переменных.

Отметим также, что если значения инструментальных переменных и независимых факторов исходной модели равны между собой, т. е. Z =X, тогда =Х(Х¢Х)1 Х¢Х=Х.

С учетом этого равенства получим, что при частичной замене исходных факторов на инструментальные переменные матрица Z будет иметь следующий вид:

 

Z=[Х1 ],

 

где =Z(Z¢Z)1 Z¢Х2 и Z=[Х1 Z2].