Для получения несмещенных (по крайней мере состоятельных) оценок параметров эконометрических моделей в ситуациях, когда имеют место (теоретически допускаются) корреляционные взаимосвязи между независимыми переменными xit и ошибкой et, теория рекомендует подходы и методы, основанные на использовании инструментальных переменных.
Напомним, что в тех случаях, когда некоторые столбцы матрицы значений независимых переменных Х и вектор-столбец ошибки e взаимосвязаны между собой, математическое ожидание второго слагаемого в правой части выражения (2.9) отлично от нуля, M[(Х¢Х)–1Х¢×e]¹0, и, следовательно, например, оценки МНК параметров модели, определяемые согласно известному выражению а=(Х¢Х)–1Х¢×у, оказываются смещенными, поскольку
M[a–а]= M[(Х¢Х)–1 Х¢×e]¹0. (3.51)
Заметим, что появление смещения у оценок МНК всех параметров моделей вызывает присутствие только одной независимой переменной, например, xi, связанной с ошибкой e. В этом случае непосредственно видно, что произведение Х¢×e=(0,..., 0, сi, 0,...,0)¢, где константа стоит на месте, соответствующем i-й переменной, и, таким образом, имеем (Х¢Х)–1¢×e=сi×(s0i,s1i,...,sni)¢= =сi×si, где sji – j-й элемент i-го столбца si матрицы (Х¢Х)–1. Из полученного результата вытекает, что в соответствии с выражением (2.9) имеем а=a+ сi×si. Из чего следует, что смещенными оказываются все оценки коэффициентов модели.
В эконометрике обычно исследуются асимптотические свойства оценок параметров моделей. В этом случае, если в пределе при Т®¥ существует зависимость между столбцами матрицы Х и ошибкой модели e, т. е.
то оценки МНК параметров эконометрической модели являются несостоятельными (а, следовательно, и асимптотически смещенными).
Это непосредственно вытекает из того факта, что второе слагаемое в правой части выражения
plim(a)=
отлично от нуля, поскольку из начальных условий (предположений) (2.42) вытекает, что
Использование инструментальных переменных теоретически позволяет устранить отрицательные последствия взаимосвязей независимых переменных и ошибки модели e, связанные с несостоятельностью оценок МНК параметров линейных эконометрических моделей.
Формально, без излишней строгости, выражение для вектора оценок МНК параметров эконометрической модели с использованием инструментальных переменных может быть получено следующим образом.
Предположим, что существуют так называемые “инструментальные” переменные zi, число которых в общем случае совпадает с числом независимых факторов модели хi, i=1,2,..., n; и при t=1,2,..., Т, каждая из которых характеризуется нулевыми корреляционными взаимосвязями с ошибкой эконометрической модели e. При заданном Т матрица значений инструментальных переменных Z имеет такой же размер, как матрица Х.
Умножим слева векторно-матричное уравнение на матрицу у=Х×a+e на матрицу Z¢. Получим
Z¢у=Z¢Х×a+Z¢×e, (3.53)
С учетом того, что M[Z¢×e]=0, умножая выражение (3.53) слева на (Z¢Х)–1, непосредственно имеем
az =(Z¢Х)–1Z¢у, (3.54)
где az – вектор оценок параметров эконометрической модели, полученный с использованием инструментальных переменных.
Результат (3.54) можно получить и традиционным путем. Для этого обозначим у*=Z¢у; Х*=Z¢Х; e*=Z¢×e. В этом случае выражение (3.53) имеет традиционный для эконометрической модели вид:
у*=Х*×a+e*. (3.55)
Используя для модели (3.55) традиционный для МНК критерий минимума суммы квадратов ошибки
s*2=(e*¢,e*)=(e¢Z×Z¢×e)=(Z¢у – Z¢Х×a)¢(Z¢у – Z¢Х×a)®min (3.56)
и приравнивая вектор производных показателя s*2 по вектору параметров a к нулю, , непосредственно получим следующее выражение для вектора оценок этих параметров:
az =(Х¢Z Z¢Х)–1 Х¢ZZ¢×у. (3.57)
Далее, принимая во внимание, что произведения матриц Х¢Z и Z¢Х равны между собой, т. е. Х¢Z=Z¢Х, выражение (3.57) несложно привести к виду (3.54).
az=(Х¢ZZ¢Х)–1Х¢ZZ¢×у=(Х¢Z)–1(Х¢Z)–1Х¢ZZ¢×у=(Х¢Z)–1Z¢×у=
=(Z¢Х)–1Z¢×у.
Покажем также, что при наличии у матрица Z размерностью Т´(п+1) в пределе при Т®¥ следующих свойств:
plimZ¢×e)=0; (3.58)
plimZ¢×Х)=åZ¢Х; (3.59)
plimZ¢× Z)=åZ¢Z, (3.60)
где матрицы åZХ и åZZ существуют и не вырождены, оценки параметров эконометрической модели, определенные выражением (3.54), являются состоятельными.
Для этого, как и при выводе выражения (2.9), подставим вместо вектора у в формулу (3.54) у=Х×a+e. Получим
az=a+(Z¢Х)–1Z¢e, (3.61)
В пределе при Т®¥ имеем
plimaz =a+plimZ¢Х)–1× plimZ¢e)=a+å–1Z¢Z×0=a. (3.62)
Обратим внимание на некоторые свойства оценок параметров, полученных с использованием инструментальных переменных на основе выражения (3.54).
В частности, отметим, что в общем случае эти оценки являются неэффективными. В самом деле, вид ковариационной матрицы ошибки e*=Z¢×e модели (3.53) свидетельствует о наличии в ее ряду автокорреляционных зависимостей даже в том случае, когда эти зависимости отсутствовали у ошибки e:
Cov(e*)=M[e*¢,e*]=M[Z¢×e×e¢Z)=se(Z¢Z). (3.63)
В этом случае ковариационная матрица оценок az параметров модели (3.53) имеет следующий вид:
Cov(az)=M[(az –a)(az –a)¢]= M[(Z¢Х)–1Z¢e×e¢Z(Z¢Х)–1]=
=se2(Z¢Х)–1Z¢×Z(Z¢Х)–1, (3.64)
где дисперсия ошибки se2 на практике может быть оценена на основании следующего выражения:
В пределе при Т®¥ с учетом предположений (3.59) и (3.60) можно определить асимптотическую ковариационную матрицу оценок az на основании следующего выражения:
asy.var(az)= plim[T(az –a)(az –a)¢]=
=plim[T(Z¢Х)–1Z¢e×e¢Z(Х¢Z)–1]=
=plim(Z¢Х)–1)plim(Z¢e×e¢Z)plim(Х¢Z)–1=
=se2å–1Z¢ХåZ¢Zå–1Z¢Х. (3.66)
Для получения эффективных оценок на базе инструментальных переменных можно использовать обобщенных МНК. Для ковариационной матрицы ошибок модели, определенной выражением (3.63), оценки коэффициентов, полученные с использованием этого метода, определяются на основании следующего выражения, вытекающего из формулы (3.57):
az.0=(Х¢Z(Z¢Z)–1Z¢Х)–1Х¢Z(Z¢Z)–1×у=(Х¢Рz Х)–1Х¢Рz×у, (3.67)
где Рz = Z(Z¢Z)––1.
Несложно показать, что ковариационная матрица оценок обобщенного МНК для инструментальных переменных имеет следующий вид:
Сov(az.0)=se2(Х¢Рz Х)–1, (3.68)
где на практике дисперсия ошибки se2 определяется следующим выражением:
Вектор оценок az.0, полученный на основании формулы (3.67) является асимптотически несмещенным. Это следует из выражения:
az.0=a+(Х¢Рz Х)–1(Х¢Рz ε), (3.70)
где
(Х¢Рz Х)=(Х¢Z)( Z¢Z) –1( Z¢X),
(Х¢Рz e)=(Х¢Z)( Z¢Z) –1( Z¢e).
Переходя в выражении (3.70) к пределу при Т®¥, с учетом свойств (3.58)–(3.60) получим
plimaz.0=a+(å Х ¢Zå–1Z¢ZåZ¢Х)–1åZ¢Хå–1Z¢Z×0=a. (3.71)
Однако заметим, что на практике обобщенный МНК для оценки параметров моделей с инструментальными переменными применяется не часто. Это связано с тем, что дисперсии оценок их параметров, полученных на основе выражения ( .41), при удачном подборе инструментальных переменных увеличиваются не столь значительно, и такую потерю эффективности во внимание можно не принимать.
В самом деле, если инструментальные переменные zi характеризуются достаточно сильной корреляционной связью (коэффициент парной корреляции rz,x®1) с соответствующими независимыми переменными хi, то при одинаковых масштабах этих переменных произведения матриц Z¢Z и Z¢X будут приблизительно равными между собой и в этом случае, как это следует из выражения (3.64),
Cov(az)»se2(Z¢Х)–1»se2(Х¢Х)–1. (3.72)
И, наоборот, если переменные zi и хi слабо взаимосвязаны между собой, то диагональные элементы матрицы (Z¢Х)–1 в силу того, что определитель ½Z¢Х½ уменьшается, существенно возрастают. В этом случае при использовании выражения (3.54) за несмещенность оценок приходится платить падением их эффективности. Этот вывод достаточно очевиден при рассмотрении однофакторной модели yt=a0+a1xt+et, при оценке параметров которой используется инструментальная переменная zt.
Несложно видеть, что оценка коэффициента a1 в этом случае согласно выражению (3.54) определяется по следующей формуле:
а выборочная дисперсия этой оценки по формуле:
где дисперсия se2 определена выражением типа (3.65) при п=1.
Из выражения (3.73) непосредственно видно, что при слабой зависимости между переменными хt и zt его знаменатель уменьшается (в пределе до нуля), и выборочная дисперсия параметра az может стать как угодно большой.
Вследствие этого на практике инструментальные переменные zi стремятся выбирать согласно следующему правилу: переменные zi должны иметь сильные корреляционные связи с соответствующими переменными хi и быть независимыми по отношению к ошибке модели e.
Выполнение этого правила в эконометрических исследованиях реальных процессов, для которых характерной чертой является корреляционная связь между независимыми факторами и ошибкой, достигается с помощью некоторых специальных приемов, правил формирования инструментальных переменных. Эти правила будут рассмотрены в соответствующих разделах данного учебника (см. главы V и VIII).
В заключении данного раздела рассмотрим некоторые особенности формирования матрицы инструментальных переменных Z. Очевидно, что общее число таких переменных должно быть равно количеству независимых факторов в модели. При этом, если какая-либо из переменных хi оказывается не связанной с ошибкой e, то она сама может выступать в качестве “инструментальной” переменной. В результате матрицу Х можно представить в следующем виде:
Х=[Х1Х2],
где подматрица Х1 объясняет переменные, независимые по отношению к ошибке модели e, а подматрица Х2 – зависимые.
В этом случае матрица Z имеет следующий вид:
Z=[Х1 Z2],
где Z2 подматрица инструментальных переменных, замещающих независимые факторы, образующие матрицу Х2.
Заметим также, что выражение Z(Z¢Z)–1Z¢Х=РzХ=, используемое в формуле (3.67), может рассматриваться как матрица расчетных значений факторов хit, полученных как оценки зависимых переменных при использовании в качестве независимых факторов инструментальных переменных zi, i=1,2,..., п. В самом деле, выражение (Z¢Z)–1Z¢хi определяет оценки коэффициентов следующей модели:
и, таким образом, (Z¢Z)–1Z¢Х=B, где B – матрица оценок коэффициентов моделей типа (3.74) для i=1,2,... п; имеющая следующий вид:
Тогда матрица Z¢B=представляет собой матрицу расчетных значений независимых факторов исходной модели, полученных в результате их выражения эконометрическими моделями типа (3.74) в зависимости от выбранных значений инструментальных переменных.
Отметим также, что если значения инструментальных переменных и независимых факторов исходной модели равны между собой, т. е. Z =X, тогда =Х(Х¢Х)–1 Х¢Х=Х.
С учетом этого равенства получим, что при частичной замене исходных факторов на инструментальные переменные матрица Z будет иметь следующий вид:
Z=[Х1 ],
где =Z(Z¢Z)–1 Z¢Х2 и Z=[Х1 Z2].