Стационарные временные ряды

Широкий круг социально-экономических, технических и естественнонаучных процессов часто представляется набором последовательных значений показателя у₁, у₂,..., у_t,..., у_Т, зафиксированных в равноотстоящие друг от друга моменты времени t=1,2,... Т, так что интервал (t, t+1) является постоянным. Этот набор значений у_t, t=1,2,... обычно называется временным рядом (временной серией). Такой ряд представляет собой дискретный временной процесс.

Изменения значений у_t во времени в реальной жизни обычно происходят под воздействием каких-либо причин, факторов. Однако в силу их многочисленности, сложности измерения, неразработанности теоретических предположений относительно взаимосвязей с переменной у и т. п. обосновать и построить “подходящую” для описания процесса у_t, t=1,2,... многофакторную эконометрическую модель классического типа не всегда представляется возможным. В результате в отношении ряда у_t часто выдвигается предположение, что совокупное влияние этих факторов формирует как бы внутренние закономерности в развитии процесса у_t, что дает возможность применить для его описания эконометрическую модель из специфического класса моделей временных рядов.

Модели временных рядов активно применяются в исследованиях динамики значительного числа реальных процессов различной природы. Они часто используются в исследованиях динамики пассажиропотоков, складских запасов, спроса на различные виды продукции, миграционных процессов в человеческом и биологических сообществах, в радиотехнике, анализе химических процессов, моделировании природных событий: динамики числа солнечных пятен, природных катастроф и многих других процессов.

Самое широкое применение модели временных рядов нашли в исследованиях финансовых рынков, в анализе динамики финансовых показателей, прогнозировании цен на различные товары, курсов акций, соотношений курсов валют и т. п.

Пожалуй, общим для всех моделей временных рядов является предположение о том, что текущее значение процесса y_t в значительной степени предопределено его предысторией, т. е. величина показателя y_t генерируется значениями y_t–1, y_t–2,... согласно характерным для этого временного ряда закономерностям. Математически это допущение может быть выражено следующим общим уравнением:

 

 

где, как и ранее, e_t представляет собой ошибку модели в момент t.

Функция f как раз и выражает характер взаимосвязей, сложившихся в рассматриваемом временном ряду у_t, t=1,2,... При удачном подборе этой функции правая “детерминированная” часть выражения (6.1) будет в некотором смысле “близка” к реальным значениям этого ряда. Как и ранее “степень близости” обычно устанавливается по характеристикам и свойствам ряда ошибки e_t, t=1,2,... Здесь имеется в виду прежде всего минимальная дисперсия, соответствие белому шуму и т. п.

Для широкого круга процессов функция f имеет линейный вид. Например, Вопросы построения линейных моделей временных рядов и анализа их основных свойств и будут рассмотрены в данной главе.

Линейные модели временных рядов применяются, как правило, для описания стационарных процессов. При этом обычно имеются в виду стационарные процессы второго порядка. Напомним, что стационарный процесс п-го порядка характеризуется постоянными значениями всех своих моментов порядка п и ниже на всех временных отрезках, входящих в интервал t=1,2,..., Т. У строго стационарных процессов постоянными являются моменты всех порядков. Таким образом, для любых двух интервалов времени (Т₁, Т₂) и (Т₃, Т₄) для стационарного процесса второго порядка у_t должны выполняться условия, характеризующие равенство на рассматриваемых интервалах математических ожиданий, дисперсий и однопорядковых коэффициентов автокорреляций исследуемого процесса. На практике это означает, что для соответствующих оценок перечисленных показателей должны иметь место следующие соотношения:

 

 

 

где и – оценки математических ожиданий; и – оценки дисперсий; и – оценки коэффициентов автокорреляции i-го порядка процесса у_t на 1-ом и на 2-ом интервалах соответственно;– среднее значение процесса (оценка математического ожидания) на интервале (1,Т); D(y) – оценка дисперсии процесса на интервале (1,Т).

Заметим, что на практике равенства (6.2)–(6.4) рассматриваются в статистическом смысле. Иными словами, например, равенство = может в точности не выполняться. Однако гипотеза о постоянстве математического ожидания процесса у_t может быть принята, если значения и удовлетворяют соответствующему статистическому критерию.

Для проверки соответствия реального временного ряда у_t, t=1,2,... стационарному процессу, т. е. для проверки выполнимости условий (6.2)–(6.4), обычно используются соответствующие тесты. При этом в некоторых случаях для одного и того же условия возникает необходимость применять несколько тестов, если по результатам одного теста нельзя вывести суждение о безусловной истинности или ложности выдвинутой гипотезы. Все множество таких тестов разделяется на три основные группы: непараметрические, полупараметрические и параметрические тесты.

Непараметрические тесты не выдвигают заранее каких-либо сведений о законе распределения тестируемого временного ряда, его параметрах. Они исследуют взаимосвязи между порядками следования образующих его значений, выявляют наличие или отсутствие закономерностей в продолжительности и (или) чередовании их серий, образованных, например, последовательностями единиц совокупности с одинаковыми знаками, сменой знаков у этих единиц и т.п.

Полупараметрические тесты обычно используют относительно слабые предположения о характере распределения значений временного ряда. Они, например, относятся к общим свойствам функции распределения приростов значений ряда –симметричности, расположения квантилей. Оценки параметров распределения в таких тестах определяются по порядковым статистикам: среднее по медиане, среднеквадратическое отклонение – по размаху (абсолютной разнице между наибольшим и наименьшим значениями ряда) и т. п.

Параметрические тесты применяются при относительно строгих предположениях относительно законов распределения временного ряда, его параметров. Они, как правило, оценивают меру близости между эмпирическими характеристиками распределения временного ряда и их теоретическими аналогами. На основании величины этой меры делается вывод о целесообразности принятия или отвержения гипотезы о соответствии свойств рассматриваемого ряда стационарному процессу.

Рассмотрим некоторые достаточно часто используемые на практике тесты на стационарность более подробно.