Параметрические тесты стационарности

Из определения стационарного процесса второго порядка, формализованного с помощью выражений (6.2)–(6.4), непосредственно вытекает, что очевидными параметрическими критериями при проверке реального процесса на стационарность являются критерии Стьюдента и Фишера. Они могут быть использованы для проверки гипотез о постоянстве на рассматриваемом интервале t=1,2,..., Т математического ожидания, коэффициентов автокорреляции и дисперсии. Эти критерии применяются в предположении о нормальном законе распределения как значений временного ряда y_t , так и его выборочных параметров, что является справедливым для многих реальных процессов.

Тестирование математического ожидания.

Общий тест процедуры проверки гипотезы о постоянстве математического ожидания может быть организован следующим образом. Интервал времени (1,Т) (и соответственно временной ряд у_t, t=1,2,...Т) разбивается на две части, не обязательно одинаковые по количеству содержащихся в них значений у_t, с количеством наблюдений Т₁ (t=1,2,..., Т₁) и Т₂ (t=Т₁+1,..., Т), Т₂=Т–Т₁.

Для каждой из частей определяются оценки и , и – выборочных математического ожидания и дисперсии переменной у_t соответственно. Далее рассчитывается значение критерия Стьюдента по формуле

 

 

если предполагается, что значения дисперсий на этих участках не равны между собой, т. е. , и по формуле

 

если

Если оказывается справедливым неравенство

 

t < t_* ( р_* ,n), (6.7)

 

где р_* – заданный уровень доверительной вероятности (р_*=0,95; 0,97...); n=Т₁+Т₂–2 – число степеней свободы; t_*(р_*,n) – критическое значение критерия Стьюдента, соответствующее значениям р_* и n, то гипотезу о постоянстве математического ожидания процесса у_t целесообразно принять. Вероятность ошибки такого решения при этом составляет 1–р_*. В противном случае, т. е. при t>t_*(р_*,n), эта гипотеза отвергается.

В принципе для большей достоверности вывода о постоянстве математического ожидания временного ряда у_t, t=1,2,...,Т интервал наблюдений может быть разделен на несколько частей (если количество наблюдений достаточно велико). В этом случае проверяется гипотеза о равенстве оценок средних значений ряда, рассчитанных на этих частях. Для этих целей часто используется критерий Фишера. Его расчетное значение в данном тесте определяется как отношение взвешенной суммы квадратов отклонений этих оценок от средней временного ряда в целом к средней дисперсии временного ряда:

 

где п – число частей разбиения интервала (1,Т); Т_j – число измерений переменной у_t на j-й части; j=1,2,..., п; – среднее значение временного ряда в целом; – средняя дисперсия, значение которой рассчитывается на основании следующей формулы:

 

где – дисперсия, рассчитанная на j-й части интервала (1,Т).

Если оказывается справедливым соотношение

 

F<F(р_*,n₁,n₂), (6.9)

 

где F(р_*,n₁,n₂) – табличное значение критерия Фишера для уровня доверительной вероятности р_* и числе степеней свободы n₁=п–1, n₂=Т₁+Т₂+...+Т_n–п, то гипотеза о постоянстве математического ожидания временного ряда на всем интервале (1,Т) принимается с вероятностью р_*. В противном случае она отвергается.

Тестирование дисперсии.

Проверка гипотезы о постоянстве дисперсии временного ряда у_t, t=1,2,...,Т в случае разбиения исходного интервала на две части обычно осуществляется с использованием двухстороннего критерия Фишера. Обязательным условием при этом также является нормальный закон распределения значений у_t .

Расчетное значение критерия Фишера определяется по следующей формуле:

где и – оценки дисперсии ряда на первой и второй частях соответственно с числом измерений Т₁ и Т₂.

Если для заданного уровня доверительной вероятности р_* оказывается, что значение F удовлетворяет неравенству

 

 

то гипотеза о постоянстве дисперсии временного ряда может быть принята, т. е. предположение о том, что == является обоснованным с вероятностью р_*.

В выражении (6.11) значения и являются табличными (левосторонним и правосторонним) значениями критерия Фишера, соответствующими вероятности ошибки второго рода () с числом степеней свободы =Т₁–1 и =Т₂–1. Заметим, что эти значения удовлетворяют следующему соотношению:

 

 

Вследствие этого на практике обычно проверяется только соотношение

при условии, что ³.

При средних (Т£100) и больших (Т>100) объемах временного ряда вместо критерия Фишера для проверки гипотезы о постоянстве его дисперсии рекомендуется использовать стандартизованное нормальное распределение. В первом случае, т. е. при средних выборках, принимается во внимание, что закону N(0,1) подчиняется случайная величина, определяемая как

 

 

Во втором случае (при больших выборках) расчетное значение стандартизованной случайной величины оценивается следующим образом:

 

 

В обоих случаях, если оказывается справедливым соотношение

 

|F|<F(р_*), (6.16)

 

где F(р_*) – табличное значение стандартизованного нормального закона, соответствующего доверительной вероятности р_*, то гипотеза о постоянстве дисперсии принимается.

При разбиении временного ряда у_t, t=1,2,...,Т на несколько частей (п>2) для проверки гипотезы о постоянстве дисперсий может быть использован критерий Кокрена, основанный на распределении Фишера. Он обычно применяется в предположении, что объемы этих частей равны между собой, т. е. Т₁=Т₂=... =Т_п=N. Расчетное значение этого критерия определяется по следующей формуле:

 

 

где =

Табличное значение критерия Кокрена, соответствующее заданной доверительной вероятности и числам степеней свободы n₁=п и n₂=Т–1, определяется на основании табличного значения F-критерия следующим образом:

 

где p_* – уровень доверительной вероятности, – табличное значение критерия Фишера, выбранное для уровня доверительной вероятности и числа степеней свободы n₁=N–1 и n₂=(п –1)×n₁.

Если оказывается справедливым соотношение

 

К< К(p_*, п,n₁), (6.19)

 

то гипотеза о постоянстве дисперсии временного ряда у_t, t=1,2,..., Т принимается с вероятностью p_*.

Здесь следует отметить, что более мощным по сравнению с критерием Кокрена, но и одновременно более чувствительным по отношению к отклонениям от нормального вида закона распределения значений временного ряда у_t, t=1,2,...,Т является критерий Бартлетта. Этот критерий обычно используется при проверке гипотезы о постоянстве дисперсии нормально распределенного ряда при разбиении на интервале (1,Т) на число частей, превышающее два.

Критерий Бартлетта основан на использовании распределения Пирсона – c². Согласно этому критерию случайная величина l, рассчитанная на основе следующего выражения:

 

 

распределена примерно по закону c² с п–1 степенями свободы. В выражении (6.20) s_i², i=1,2,..., n – оценка дисперсии на i-м интервале; – средняя дисперсия на п интервалах; n_i=T_i–1 – число степеней свободы на i-м интервале.

Величина с рассчитывается согласно следующей формулы:

 

При больших значениях n_i , с »1.

Для частного случая, когда n₁=n₂=...=n_n=n и, таким образом, =T–n,

где с=1+[(n+1)/3k×n].

Если оказывается, что расчетное значение l не превышает табличного значения c²(p_*,n), где p_* – уровень доверительной вероятности и n=п–1 – число степеней свободы, то гипотеза о равенстве дисперсий s₁² =s₂²=...=s² на рассматриваемых частях временного интервала (1,Т), т. е. гипотеза о постоянстве дисперсии временного ряда у_t, t=1,2,..., Т принимается. В противном случае, когда l³c ² (p_* , п –1), эта гипотеза отвергается.

Тестирование коэффициентов автокорреляции.

Теоретически для проверки гипотезы о постоянстве коэффициентов автокорреляции (автоковариации) могут использоваться те же процедуры (критерии), что и для проверки аналогичных гипотез для средних (автокорреляция) и дисперсии (автоковариация). Вместе с тем, к результатам такой проверки следует относиться с определенной осторожностью, особенно при использовании критерия Стьюдента. Это обусловлено тем, что дисперсии выборочных коэффициентов автокорреляции определяются с достаточно большой погрешностью, которая увеличивается с ростом значений самого коэффициента автокорреляции. Рост погрешности вызван прежде всего усиливающимися в этой ситуации несимметричностью закона распределения выборочного коэффициента автокорреляции и его расхождением с нормальным распределением. Увеличивает погрешность и возрастающая с увеличением значений выборочных коэффициентов автокорреляции ковариационная связь между ними. В частности, Бартлетт показал, что между парами выборочных коэффициентов автокорреляции существует достаточно сильная статистическая связь. Ее величина при больших задержках приблизительно может быть оценена на основании следующего выражения:

 

 

где r_i – значений i-го выборочного коэффициента автокорреляции.

Наличие такой связи может вносить существенные смещения в оценки значений как самих коэффициентов автокорреляции, так и в их дисперсии.

В общем случае, величина дисперсии коэффициента автокорреляции может быть оценена с использованием формулы Бартлетта:

 

 

где индекс j зависит от длины ряда Т. Его величина определяется требованием статистической достоверности используемых в выражении (6.23) значений коэффициентов автокорреляции, в первую очередь, значений r_{j +k}.

Для реальных временных рядов автокорреляционная функция часто имеет вполне определенный вид. Коэффициенты автокорреляции могут быть равны нулю после некоторой задержки, т. е. r_i=0, i>k, затухать по экспоненте, r_k=r_i^k. В последнем случае, например, дисперсия первого коэффициента автокорреляции может быть определена приблизительно по следующей формуле:

 

 

Отметим, также что при небольших значениях коэффициента автокорреляции его распределение является приблизительно нормальным. Его дисперсия в этом случае может быть приблизительно оценена по следующей формуле:

 

 

где индексы k принадлежат приближающимся к нулю коэффициентам автокорреляции после некоторой задержки q.

В практических расчетах для этой цели рекомендуется использовать упрощенную формулу дисперсии коэффициентов, имеющую следующий вид:

 

Заметим, что выражения (6.25) и (6.26) могут быть применены при определении значимости (отличности от нуля) коэффициентов автокорреляции с использованием критерия Стьюдента. Его значение рассчитывается на основании следующей формулы: