Переход от стационарных моделей к нестационарным

В тех случаях, когда модель авторегрессии и скользящего среднего применялась для описания процесса, приведенного к стационарному, например, с помощью одного из преобразований (6.39)–(6.42), процесс построения модели нельзя считать завершенным. Для его окончания необходимо продолжить процесс построения модели изначального процесса, выполнив обратные преобразования, перейдя от преобразованных значений х_t к исходным значениям у_t. Рассмотрим особенности обратных преобразований для выражений (6.39)–(6.42) более подробно.

Предположим, что для приведения исходного временного ряда у_t к стационарному процессу х_t использовалось преобразование (6.39), а сам процесс х_t соответствует модели авторегрессии-скользящего среднего (6.87), частным случаем которой являются модели авторегрессии (6.45) и скользящего среднего (6.68). Запишем преобразование (6.39) и модель (6.87) для ряда х_t с помощью оператора сдвига В (см. (6.102)). Получим соответственно

 

где

и

 

многочлены степеней k и т соответственно от оператора сдвига, используемые для получения эквивалентной записи модели (6.87).

Подставляя (6.127) в (6.128), получим уравнение для модели динамики исходного временного ряда у_t, t=1,2,..., Т в следующем виде:

 

Заметим, что преобразование (6.127) не затрагивает ошибку e_t.

Рассмотрим описанную процедуру на примере модели АРСС(1,1). Пусть

 

что эквивалентно записи

 

 

Объединяя эти два уравнения в одно, получим модель относительно исходного временного ряда у_t в следующем виде:

 

 

Заметим, что преобразование (6.40) с помощью оператора В записывается в следующем виде:

 

 

В этом случае для произвольной модели АРСС(k, т) получим

 

 

В частности для модели АРСС(1,1), построенной для ряда z_t, выражение (6.101) для исходного процесса у_t приобретает следующий вид:

 

 

В случае приведения исходного ряда у_t, t=1, 2,..., Т к стационарному с использованием d-й разности его результирующая модель определяется следующим выражением:

 

 

В том случае, когда для приведения ряда a₁, t=1, 2,..., Т к стационарному процессу х_t использовалось преобразование (6.41), отправное выражение для модели исходного ряда будет иметь следующий вид:

 

 

В частности, для модели АРСС (1,1) на основании выражения (6.139) получим следующий вариант модели процесса у_t, t=1, 2,..., Т:

 

где ошибка e_t и коэффициенты a₁, b₁ соответствуют модели ряда

В случае если для приведения исходного временного ряда к стационарному процессу использовалось преобразование (6.42), то окончательный вариант модели процесса у_t будет иметь следующий вид:

 

где – коэффициент, полученный в результате умножения многочлена (1–a(В,k)) на единицу.

В частности, если стационарный процесс х_t описывается моделью АРСС(1,1), то на основании выражения (6.141) получим

 

 

В практических исследованиях при проведении обратных преобразований моделей вместо параметров a_i и b_j в соответствующие выражения для моделей исходного временного ряда у_t необходимо подставить значения их оценок a_i и b_j, полученные для моделей преобразованного стационарного процесса х_t.

Таким образом, из выражений (6.134), (6.137), (6.140) и (6.142) вытекает, что использование для преобразования исходного временного ряда у_t в стационарный процесс х_t, t=1,2,..., Т, оператора разности не ведет к изменению вида модели, описывающей процесс у_t. Она, как и модель АРСС, описывающая стационарный процесс х_t, является линейной по форме.

В случае преобразования нестационарного временного ряда у_t в стационарный х_t с помощью выражений (6.41) и (6.42), модель нестационарного процесса становится нелинейной по форме.

В заключении данного раздела обратим также внимание на необходимость анализа свойств и оценки основных характеристик ошибки исходной, т. е. восстановленной модели. Это должно быть сделано, в том числе и для обоснования оценки качества самой модели. Для некоторых преобразований их значения дисперсии фактической ошибки можно определить, исходя из соответствующих значений дисперсии среднеквадратической ошибки преобразованной модели, используя свойства дисперсий линейных, логарифмических и других зависимостей, соответствующих сделанному преобразованию. В этой связи заметим, что ряд значений фактической ошибки модели определяется в этом случае после формирования основного уравнения модели и расчета на его основе значений . Далее свойства фактической ошибки могут быть определены с использованием специальных тестов (см. раздел 2.2). Дисперсию модели исходного ряда можно определить и методом прямого счета как

 

по известным значениям временного ряда у_t и предсказанных восстановленной моделью значениями , п – количество параметров модели.

В следующей главе будут рассмотрены модели временных рядов финансовых показателей, предпосылки которых приводят к еще более ярким формам нелинейностей по сравнению с рассмотренными в данном разделе.