Оценка параметров распределений функциональных зависимостей случайных величин

Предположим, что между переменными у и х₁, х₂,..., x_n существует функциональная связь

 

y=f(x), (7.190)

 

где вектор x=(х₁, х₂,..., x_n) является случайным с известным (нормальным) законом распределения x~N(M[x], Cov[x]), и параметры M[x]=и Cov[x] (ковариационная матрица компонент вектора х) определены на основании временных рядов х_it, i=1,2,..., n; t=1,2,... T.

Очевидно, что в этом случае переменная у также является случайной величиной. Ее закон распределения является асимптотически нормальным, а его параметры могут быть определены на основании разложения функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки M[x]. Ограничиваясь первым порядком разложения Тейлора, получим:

 

 

где – значение функции f(x) в точке и – значение производной в этой точке.

В силу того, что , получим:

 

 

Дисперсию переменной у определим следующим образом:

 

 

Из выражения (7.193) вытекает, что в точке дисперсия переменной у может быть определена в предположении о независимости производных и приростов на основании следующего выражения:

 

 

где – математическое ожидание производной в точке ; Cov()– ковариационная матрица компонент вектора .

В том случае, когда компоненты вектора независимы между собой, выражение (7.194) приобретает следующий вид:

 

 

Используем выражения (7.194) и (7.195) для оценок параметров распределений некоторых комплексных (сложных) переменных, рассмотренных в разделе 7.3.

Дисперсия случайной величины SR, представляющая собой отношение (выражение (7.31)) на основании выражения (7.195) оценивается следующим образом:

 

 

где определена выражением (7.185), fºSR.

Поскольку

 

то, подставляя правые части выражений (7.185) и (7.197) в выражение (7.196), получим:

 

 

Выражение (7.198) в точности соответствует выражению (7.45).

На основании выражения (7.194) определим также параметры отношения двух дисперсий s₁² и s₂², которое представляет собой отношение VR(2)=s₂²/s₁² (см. выражения (7.56)–(7.58)).

Из выражений (7.56), (7.57) и (7.192) непосредственно следует, что

 

Дисперсию этого отношения найдем как дисперсию функции

 

 

Такое преобразование целесообразно, поскольку случайные величины, стоящие в числители выражения (7.200) и его знаменателе, являются независимыми между собой. Это следует из того факта, что эффективная оценка q₁ параметра q асимптотически некоррелирована с разностью q₂–q₁, где q₂ – другая оценка этого параметра. Этот результат вытекает из следующего рассуждения. Если условие независимости q₁ и разности q₂–q₁ не выполняется, то можно найти линейную комбинацию оценок q₁ и q₂–q₁, которая будет более эффективной оценкой параметра q по сравнению с q₁, что противоречит исходной информации об эффективности оценки q₁.

В нашем случае s₁² является эффективной оценкой дисперсии s_y². Тогда для нее можно записать при Т®¥ следующее равенство:

 

 

Откуда непосредственно следует, что

 

 

Подставляя в выражение (7.201) оценки D(s₁²) и D(s₂²) (см. выражения (7.189),(7.57) и (7.58)), получим:

 

 

Далее, дисперсию функции f(y), определенную выражением (7.200) с учетом независимости его числителя и знаменателя согласно формуле (7.195) представим в следующем виде:

 

 

С учетом того, что а в силу равенства нулю математического ожидания числителя выражения (7.200), и, принимая во внимание результат (7.202), получим

 

 

Этот результат совпадает с утверждением (7.61).