Формы представления систем взаимозависимых эконометрических моделей

Собрав по разные стороны знака равенства переменные у_it и х_jt и ошибки e_it, i=1, 2,..., т; j=1, 2,..., n; представим общий вариант системы взаимозависимых уравнений в следующем виде:

 

 

где a_ik и b_ij – коэффициенты i-го уравнения при переменных у_kt и x_jt соответственно; k, i=1, 2,..., т; j=0, 1,..., n; X₀ º0.

Взаимозависимые переменные у₁, у₂,..., у_m обычно называют эндогенными, подчеркивая тем самым, что их расчетные значения определяются на основании модели (8.9). Переменные х₁,..., х_п называются экзогенными. Их значения задаются только в качестве исходных данных и в системе (8.9) они не рассчитываются.

Для ошибок системы (8.9) будем считать справедливыми предположения типа (8.3), т. е. M[e_it]=0; cov(e_it, e_i,t-k)=0; k=1, 2,...; Но при этом ошибки отдельных уравнений могут быть взаимозависимыми, что выражается соотношением

 

 

которое может быть справедливым для некоторых i и j .

Кроме того, в системе (8.9) предполагается, что экзогенные переменные x_j, j=1,2,..., n; и ошибки уравнений e_i, i=1, 2,..., т; независимы.

Исходными данными при построении модели (8.9) являются зафиксированные в моменты времени t=1,2....,Т значения эндогенных переменных у_it и экзогенных переменных х_jt, i=1, 2,..., т; j=1, 2,..., n.

Для произвольного момента t система (8.9) может быть записана в следующей векторно-матричной форме:

 

А× у_t+В×х_t=e_t, (8.11)

 

где у_t=[у_1t, у_2t,..., у_mt]¢ – вектор-столбец наблюдаемых (исходных) значений эндогенных переменных в момент t; х_t=[1, х_1t,..., х_пt]¢ – вектор-столбец наблюдаемых (исходных) значений эндогенных переменных в момент t; e_t=[e_1t, ..., e_пt]¢ – вектор-столбец значений ошибок уравнений в момент t; А, В – матрицы коэффициентов a_ik и b_ij модели при переменных у_it и х_jt соответственно. Матрица А имеет размерность т´т, а матрица В – т´(п+1).

А = В = (8.12)

 

Развернутую и векторно-матричную формы (8.9) и (8.11) системы эконометрических уравнений называют структурной формой модели. В отличие от нее можно сформировать так называемую “приведенную” форму модели, в которой значения переменных у_it выражаются только через экзогенные переменные х_jt. Векторно-матричное уравнение приведенной формы записывается в следующем виде:

 

у_t=С×х_t+и_t, (8.13)

 

где С – матрица коэффициентов приведенной формы размера т´(п+1); и_t=[и_1t,..., и_пt]¢ – вектор-столбец ошибок приведенной формы.

Таким образом, уравнения, входящие в приведенную систему (8.13), по своему виду похожи на традиционные эконометрические модели с одной зависимой переменной у_it и независимыми факторами х_1t, х_2t,..., х_пt. Развернутая форма приведенной системы (8.13) может быть представлена в следующем виде:

 

 

Вообще говоря, приведенная форма системы эконометрических уравнений типа (8.13) может быть сформирована только при условии невырожденности матрицы А. В самом деле, из условия равенства столбцов у_t в системах (8.11) и (8.13) непосредственно вытекает, что показатели приведенной формы выражаются через показатели структурной формы следующим образом:

 

С =–А^–1×В, и_t=А^–1×e_t. (8.15)

 

Поскольку экзогенные переменные х_jt, j=1, 2,..., n; и ошибки e_it, i=1, 2,..., т; статистически независимы, то оценки коэффициентов приведенной формы, полученные с использованием МНК, являются несмещенными, несмотря на достаточно сложную структуру ошибок и_it. Из выражения (8.15) следует, что ошибки и_kt являются линейными комбинациями ошибок e_it, k, i=1, 2,..., т. Для них справедливо следующее соотношение:

 

 

где коэффициенты a_ki являются элементами k-й строки матрицы А^–1.

Из выражений (8.14) и (8.16) непосредственно также следует, что любая эндогенная переменная у_kt, k =1, 2,..., т; статистически взаимосвязана с ошибками всех моделей системы (8.1), поскольку ошибки и_kt являются линейными комбинациями ошибок e_it.

Точно так же, как и для системы (8.1), можно доказать, что и в общем случае системы (8.9) и ее векторно-матричного аналога (8.11), ее характерной чертой является наличие статистических взаимосвязей между эндогенными переменными у_kt, входящими в правую часть i-го уравнения этой системы, и его ошибкой e_it. Для переменной y_2t, например, это несложно сделать, подставив во второе уравнение системы вместо переменной y_1t, определяющее ее первое уравнение системы. В результате получим следующее выражение:

 

 

свидетельствующее о том, что переменная y_2t и ошибка e_1t взаимосвязаны друг с другом.

В выражении (8.17) представляет собой новую линейную форму, отражающую зависимость переменной y_2t от всех других факторов, входящих в модель, после подстановки первого уравнения системы во второе, и приведения подобных членов.

Аналогичным образом, подставляя во второе уравнение системы (8.9) третье, четвертое и т. д. т-е уравнение, увидим, что переменная y_2t взаимосвязана с ошибками e_3t, e_4t,..., e_mt и ее вхождение в правую часть этих уравнений в качестве независимого фактора в случае использования МНК влечет за собой смещение оценок их параметров.

Точно также можно показать наличие взаимосвязей и между другими эндогенными переменными, рассматриваемыми в уравнениях системы (8.9) в качестве независимых факторов, и ошибками этих уравнений.

При сопоставлении структурной и приведенной форм системы (8.11) следует иметь в виду, что при заданном составе эндогенных и экзогенных переменных приведенная форма является единственной, определенной матричным уравнением (8.13). В то же время структурная форма вытекает из содержательных предпосылок, лежащих в основе модели, отражающих эмпирический опыт, интуицию исследователя, то или иное направление экономической теории. Вследствие этого, даже при известном составе эндогенных и экзогенных переменных в общем случае может существовать множество структурных форм, каждая из которых определяется специфическими соотношениями включенных переменных, в свою очередь, отражающими определенные варианты содержательных предпосылок системы (8.9).

Можно показать, что некоторые из этих форм взаимосвязаны между собой. Предположим, что существует невырожденная матрица F размера т´т. Умножим выражение (8.11) слева на эту матрицу. В результате имеем

 

F×А×у_t+F×В×х_t=F×e_t. (8.18)

 

Обозначив F×А=А₁, F×В=В₁, F×e_t=e_t¢, получим новую структурную форму А₁×у_t+В₁×х_t=e_t¢. В частности, приведенная форма (8.13) получена при условии, что F = А^–1.

Преобразуем новую структурную форму (8.18) в приведенную. Для этого умножим это выражение слева на матрицу (F×А)^–1.

В результате получим следующее выражение:

 

(F×А)^–1×(F×А)×у_t+(F×А)^–1×F×В×х_t=(F×А)^–1×F×e_t, (8.19)

 

которое с учетом правила умножения обратных матриц ((F×А)^–1 =А^–1×F^–1) преобразуется к уже известной системе (8.13).

 

у_t=–А^–1×В×х_t+и_t.

 

Выражения (8.18) и (8.19) формально доказывают единственность приведенной формы и множественность структурных форм для заданного состава эндогенных и экзогенных переменных.

Заметим, что структурная форма системы взаимозависимых эконометрических моделей (8.11) может быть представлена и в более компактной форме записи

 

D×z_t=e_t , (8.20)

 

где вектор z_t размера (т+п) объединяет векторы у_t и х_t , а матрица D размера т´( т+п) объединяет матрицы А и В.

у_t

z_t = х_t , D = [А В], (8.21)

 

где [А В] – матрица, образованная построчным присоединением матрицы В к матрице А. Таким образом, она содержит т строк и т+п+1 столбец. Кроме того, заметим, что и структурная форма (8.11) и приведенная форма (8.9) сформированы для каждого из текущих индексов t. В общем виде, развернув каждую из переменных по индексу t, структурную форму (8.11) можно представить в следующем виде:

А×Y +В×X =S , (8.22)

 

где Y и X представляют собой матрицы размера Т´т и Т´( п+1) соответственно:

Y= Х =

 

а матрица S размера Т´т объединяет ряды ошибок e_it, i=1, 2,..., т; t=1, 2,..., T:

S=

 

В ряде литературных источников можно встретить чуть более привычное развернутое представление системы (8.11), в котором элементы матриц А и В сформированы в виде векторов, состоящих из т² и т´(п+1) компонент соответственно. Тогда общий вид этой системы определяется следующим выражением:

 

Y ×А₁+X×В₁=e, (8.25)

 

где Y – блочно-диагональная матрица размера (Т× т´ т²) вида

Y=

 

X – блочно-диагональная матрица размера (т×Т´(n+1)×т) вида

X=

 

и матрицы Y и X определены выражением (8.23); А₁ и В₁ – вектора коэффициентов при эндогенных и экзогенных переменных:

А₁ = В₁=

e – вектор ошибки, состоящий из Т´ т компонент:

e=

 

Выражения (8.22) и (8.25) представляют собой альтернативные формы записи общего вида системы (8.11), в которых фигурирует весь состав эндогенных и экзогенных переменных. Вместе с тем, как это было видно из рассмотренных выше примеров, в конкретных системах взаимосвязи между отдельными переменными могут либо отсутствовать, либо быть определены заранее. Например, в системе (8.1) в первом уравнении не присутствует экзогенная переменная I_t. В системе (8.6) уже известны коэффициенты балансового соотношения при эндогенной переменной С_t и экзогенной переменной Z_t. Они оба равны единице. В этих случаях на соответствующих местах в матрицах А и В (выражение (8.25)) должны стоять либо нули (при отсутствии в уравнении соответствующей переменной), либо известные значения коэффициентов.

Между коэффициентами структурной формы могут иметь место и более сложные взаимосвязи (например, в виде алгебраических соотношений, типа равенств). вытекающие из предпосылок экономической теории. Так, известная функция Кобба-Дугласа часто рассматривается с учетом условия a₁+a₂=1. Эти ограничения, как это будет показано далее, играют существенную роль при оценке коэффициентов систем взаимозависимых эконометрических моделей.

Рассмотрим некоторые примеры систем взаимозависимых эконометрических моделей, которые использовались в исследованиях реальных процессов, и соответствующие им структурные и приведенные формы.

Пример 8.1.

Для исследования динамики цен и потребления электроэнергии, формирования на основе выявленных закономерностей рациональной политики в сфере электроснабжения в США была использована следующая система из двух взаимозависимых уравнений, по содержанию эндогенных переменных похожая на систему (8.1):

 

где a_ik^’ и b_ij^’ – коэффициенты системы (8.30), помеченные “штрихом”, чтобы выделить отличие их знаков от соответствующих коэффициентов структурной формы;

y₁=lnY₁ и Y₁ – среднегодовое количество электроэнергии в расчете на одного потребителя;

y₂ =lnY₂ и Y₂ – цена за единицу потребляемой электроэнергии;

х₁=lnХ₁ и Х₁ – годовой доход в расчете на одного человека;

х₂=lnХ₂ и Х₂ – средняя цена за потребляемый жилищным комплексом газ;

х₃=lnХ₃ и Х₃ – количество теплых дней в году;

х₄=lnХ₄ и Х₄ – средняя температура июля;

х₅=lnХ₅ и Х₅ – процент населения, проживающего в сельской местности;

х₆=lnХ₆ и Х₆ – средний размер домохозяйства;

х₇=lnХ₇ и Х₇ – стоимость рабочей силы (заработная плата);

х₈=lnХ₈ и Х₈ – процент энергии, произведенной акционерными коммунальными предприятиями;

х₉=lnХ₉ и Х₉ – расход топлива на один киловатт-час электроэнергии;

х₁₀=lnХ₁₀ и Х₁₀ – отношение количества промышленных предприятий, продающих электроэнергию, к количеству аналогичных территориальных компаний;

х₁₁=lnХ₁₁ и Х₁₁ – временной фактор.

Исходные данные для модели (8.18) имеют пространственно-временную структуру. Они отражают уровни рассматриваемых процессов по 48 штатам за 9 лет. При этом отметим, что время являлось одним из факторов модели, аккумулирующим аспекты потребления электроэнергии, связанные с научно-техническим прогрессом. Таким образом, индекс t в системе (8.18) соответствует порядковому номеру набора, t=1,2,..., T; T = 48´9.

Первое уравнение определяет зависимость количества потребляемой электроэнергии от цены и показателей, отражающих особенности потребительского рынка в регионах в соответствующий год.

Во втором уравнении уже цена за электроэнергию ставится в зависимость от объемов ее производства (при условии, что производство равно потреблению) и ряда других факторов, влияющих на цену.

Структурная форма системы (8.30) в соответствии с выражениями (8.9), (8.11), (8.12) характеризуется следующими векторами и матрицами:

 

у_t =[y_1t , y_2t ]¢ ; x_t =[1, x_1t , x_2t ,..., x_11,t ]¢ ;

А= В =

 

a_ik =–a_ik¢; b_ij =–b_ij ¢; k, i=1,2; j=0,1,2,...,11.

 

Отметим, что в матрице В в первой и второй строках нулевые элементы стоят на местах факторов, которые отсутствуют в соответствующем уравнении системы (8.30).

Приведенная форма системы (8.30) может быть представлена следующей системой уравнений:

 

 

которая, в свою очередь, в векторно-матричной форме выражается уравнением (8.13) с матрицей С следующего вида:

 

С=

 

Заметим, что в выражении (8.31) на коэффициенты g_ij, i=1,2,...; j=0,1,...,11; не накладывается никаких ограничений. В частности, не требуется равенства нулю тех коэффициентов, которые были равны нулю в структурной форме.

Пример 8.2.

Для анализа закономерностей и пропорций государственных расходов и федеральных субсидий в США была использована следующая система из двух взаимозависимых уравнений:

 

 

где y_1t – государственные расходы, производимые на местном уровне в штате t;

y_2t – уровень федеральных субсидий в t-м штате;

х_1t – доход t-го штата;

х_2t – численность населения, проживающая в t-м штате;

х_3t – численность учащихся в школах 1-й и 2-й ступеней в t-м штате.

В данном случае индекс t характеризует номер штата и исходная информация имеет пространственный характер. Она была собрана за один год. Однако эта информация может иметь и пространственно-временной характер, как в предыдущем примере.

Первое уравнение описывает распределение государственных расходов по административным территориям, в зависимости от уровня федеральных субсидий, дохода самих территорий и численности проживающего населения.

Во втором уравнении уже федеральные субсидии территориям рассматриваются как зависимая переменная, на уровень которой влияют государственные расходы и численность учащихся в школах 1-й и 2-й ступеней, являющихся основными “потребителями” этих субсидий.

Целесообразность формирования такой системы связана с тем, что федеральные субсидии и правительственные расходы зачастую направляются на одни и те же программы, как бы “конкурируя” друг с другом. Увеличение одной переменной обычно влечет за собой снижение уровня другой.

Матрицы структурной формы модели (8.32) имеют следующий вид:

 

А= В =

 

a_ik =a_ik¢; b_ij =–b_ij¢; k, i=1,2; j=1,2,3.

Приведенная форма модели (8.32) может быть представлена следующей системой уравнений:

 

 

где коэффициенты g_ij в общем случае не являются тождественными нулями, i=1,2; j=1,2,3.

Пример 8.3.

Примером системы взаимозависимых эконометрических моделей, включающей в себя балансовые соотношения, является так называемая модель Людеке, разработанная для описания макроэкономических процессов на уровне государства. Она может быть представлена в следующем виде:

 

 

где y_1t – уровень потребления в году t; y_1,t–1=х_1t;

y_2t – инвестиции;

y_3t – импорт, y_3,t–1=х_3t;

y_4t – национальный доход ;

х_2t – доход от предпринимательской деятельности в прошедшем периоде, т. е. в t–1;

х_4t – государственные расходы плюс государственные чистые инвестиции в основной капитал плюс изменения в товарных запасах плюс субсидии минус косвенные налоги;

х_5t – экспорт.

Первое уравнение системы (8.34) описывает динамику потребления с учетом авторегрессионной связи этого процесса и в зависимости от произведенного в государстве дохода; второе – динамику инвестиций как функцию от национального дохода и дохода, полученного в прошлом году в результате предпринимательской деятельности; третье – динамику импорта с учетом авторегрессионной связи этого процесса и в зависимости от национального дохода и последнее уравнение представляет собой балансовое соотношение, характеризующее распределение национального дохода на основные составляющие.

Система (8.34) содержит четыре эндогенные переменные и пять экзогенных, в число которых входят две запаздывающие эндогенные переменные y_1,t–1 (потребление прошлого года) и y_3,t–1 (импорт прошлого года) и одна запаздывающая чисто экзогенная переменная х₂ (доход от предпринимательской деятельности прошлого года), которая однако рассматривается как незапаздывающая, поскольку переменная х_2t в модели отсутствует.

Взаимозависимый характер модели (8.34) придает вхождение в правые части первых трех уравнений переменной, выражающей национальный доход, которая, в свою очередь, представлена балансовым соотношением. В результате переменная y_4t оказывается статистически взаимосвязанной с ошибками уравнений e_1t, e_2t и e_3t, что является причиной несостоятельности МНК (смещенности оценок коэффициентов первых трех уравнений системы в случае использования этого метода).

Структурная форма модели (8.34) характеризуется следующими векторами и матрицами:

 

у_t = [y_1t , y_2t , y_3t , y_4t ]¢, x_t =[1, х_1t , х_2t , х_3t , х_4t , х_5t ],

 

где х_1t=y_1,t–1; х_3t=y_3,t–1;

А = В =

 

Заметим, что приведенная форма системы (8.34) должна определяться уравнениями, в правых частях которых нет незапаздывающих эндогенных переменных, а запаздывающие рассматриваются как незапаздывающие экзогенные переменные. С учетом этого замечания данная форма может быть представлена в следующем виде:

 

 

Обратим внимание на то, что при отсутствии автокорреляции во временных рядах ошибок и_it (см. условие (8.3)) запаздывающие эндогенные переменные у_{i, t–1} и ошибки и_it являются статистически независимыми и эти переменные можно рассматривать в приведенной форме как экзогенные.

Рассмотренные примеры свидетельствуют о том, что матрицы А и В, образующие структурную форму системы взаимозависимых эконометрических моделей, часто содержат некоторое количество известных (преопределенных) элементов. В то же время матрица С из приведенной формы содержит только неизвестные элементы. Их количество соответствует числу экзогенных переменных модели.

Приведенная форма системы взаимозависимых эконометрических моделей играет важную роль в решении проблемы получения несмещенных оценок коэффициентов структурной формы этой системы. Эта проблема более подробно рассматривается в следующих разделах этой главы.