Оценивание параметров структурной формы на основе двухшагового МНК с использованием инструментальных переменных
Двухшаговый МНК является одним из наиболее “популярных” методов оценки параметров моделей структурной формы. Причем обычно он используется в случае изолированного рассмотрения каждой из моделей системы. Рассмотрим особенности применения этого метода на примере первого уравнения структурной формы (8.9), которое представим в целях сокращения обозначений в следующем виде:
В матричной форме записи модель (8.49) для t=1,2,...,Т может быть записана следующим образом:
у1=Y1×a1+X1×b1+e1, (8.50)
где у1 – вектор значений зависимой в модели (8.49) переменной у1t, t=1,2,...,Т;
Y1 – матрица значений эндогенных переменных системы моделей, входящих в модель (8.49) в качестве независимых переменных,
 |
Y1 = 
X1 – матрица значений экзогенных факторов первого уравнения системы, являющихся чисто независимыми переменными. Она формируется с учетом параметра b0 традиционным способом на основе значений экзогенных факторов, входящих в первое уравнение;
a1=(a21,..., am1) – вектор-столбец коэффициентов при эндогенных переменных уi , i=2,..., m;
b1=(b01,..., 
) – вектор-столбец коэффициентов при экзогенных переменных хj, j=0,..., n1.
Как и ранее, предполагается, что эндогенные переменные уi взаимосвязаны с ошибкой ei, а переменные хj – нет. Вследствие наличия взаимосвязи независимых переменных и ошибки применение обычного МНК для определения параметров модели (8.50) дает смещенные оценки.
Основная идея использования двухшагового МНК для оценки коэффициентов модели (8.50) состоит в следующем.
1. На первом шаге конструируются новые значения зависимых переменных 
, таким образом, чтобы ряды уit и были в некотором смысле близки друг другу, но ряды и ошибку ei можно было бы считать независимыми, i=2,..., m.
2. На втором шаге значенияиспользуются вместо значений уit при оценке коэффициентов модели (8.50) также с помощью обычного МНК. Иными словами, в этом случае матрицу Y1 при оценке коэффициентов предлагается заменить на матрицу 
, которая имеет следующий вид:
Y1 = 
При этом в литературных источниках при определении значений , i=2,..., m, обычно рекомендуется использовать соответствующие уравнения приведенной формы системы. В соответствии с этим данные значения определяются как расчетные значения зависимых переменных “классических” эконометрических моделей для моментов времени t=1,2,...,Т
при иitº0 (в соответствии с традиционным свойством ошибки M[иit]=0), так что
где, в свою очередь, оценки сij коэффициентов gij находятся опять же с помощью обычного МНК на основании известного выражения
сi =(X¢×X)–1 ×X¢×Yi , (8.53)
где сi =(сi0 ,..., сik)¢, Yi=(yi1,..., yiT)¢, X – матрица значений независимых переменных, входящих в приведенную форму системы эконометрических уравнений. Ее размер равен Т´(k+1), где k – общее число независимых переменных системы. В то же время в каждом из ее структурных уравнений количество переменных, рассматриваемых как независимые, может быть меньше, чем k. Таким образом, п£ k. Заметим, что в качестве независимых переменных могут рассматриваться как чисто экзогенные факторы, так и эндогенные запаздывающие переменные, чьи значения уi,t-r не могут быть связаны с ошибкой eit (из-за разницы во времени), где r – величина запаздывания (см. пример 8.3).
Несложно заметить, что переменные являются некоторым вариантом инструментальных переменных, рассмотренных в разделе 3.3. Вследствие этого многие проблемы оценивания параметров эконометрических моделей с использованием инструментальных переменных практически «автоматически» переносятся и на оценки коэффициентов структурной формы систем таких моделей. В частности, теория свидетельствует, что при выполнении обычных предположений относительно независимости факторов и ошибки, гетероскедастичности и некоррелированности ошибки в пределе при Т®¥, и ряда других (см. главу 3), найденные с помощью подобной процедуры оценки коэффициентов, входящих в систему структурных уравнений (эконометрических моделей), являются состоятельными и что свойство состоятельности с точки зрения практики можно толковать как уменьшение смещения оценок с ростом числа наблюдений (длины рядов исходных данных). Более того, в этих условиях оценки имеют асимптотически нормальное распределение, что позволяет использовать при анализе качества построенных моделей параметрические критерии Стьюдента и Фишера.
Вместе с тем, в реальных эконометрических исследованиях, как правило, длина ряда исходных данных ограничена (т. е. зафиксирована конкретным значением Т). В такой ситуации уместен вопрос, начиная с какого количества наблюдений можно считать, что смещения оценок стали незначительными и их можно не принимать во внимание в дальнейшем анализе.
Ответа на этот вопрос теория не дает. Более того, результаты практических исследований часто свидетельствуют, что при относительно коротких временных рядах исходных данных смещенность оценок, полученных с помощью двухшагового МНК, может быть достаточно существенной, по крайней мере, сопоставимой со смещенностью оценок, полученных на основе обычного МНК.
Вместе с тем, свойство состоятельности оценок двухшагового МНК многими специалистами рассматривается как очевидное преимущество этого метода по сравнению с одношаговым МНК, и поэтому именно процедуры двухшагового МНК обычно рекомендуются для построения структурных форм систем взаимозависимых эконометрических моделей в исследованиях реальных процессов.
Рассмотрим проблемы получения оценок коэффициентов уравнений структурной формы системы эконометрических моделей более подробно на примере модели (8.49).