Оценки параметров системы взаимозависимых эконометрических моделей с использованием трехшагового МНК

Как было отмечено в предыдущем разделе, наличие корреляционных связей между ошибками различных эконометрических моделей, входящих во взаимозависимую систему, ведет к потере свойства эффективности оценок их коэффициентов. В такой ситуации теория рекомендует для получения этих оценок вместо двухшагового использовать трехшаговый МНК, который включает в себя дополнительный этап, связанный с применением обобщенного МНК при известной ковариационной матрице ошибок различных моделей. В результате трехшаговый МНК применяется как метод оценивания коэффициентов структурной формы всей системы моделей, а не отдельных ее уравнений.

Дадим достаточно схематичное изложение трехшагового МНК в общем виде.

Представим i-е структурное уравнение системы в виде, аналогичном (8.50), i=1,2,..., т:

 

у_i=Y_i×a_i+X_i×b_i +e_i=Z_i×d_i+e_i, (8.70)

 

где, как и в разделе 8.4, Z_i=[Y_iX_i] – матрица, сформированная на основе исходных значений эндогенных и экзогенных переменных i-й модели; d_i=[a_ib_i]¢– вектор параметров i-й модели; e_i – вектор ошибки i-й модели.

Умножим левую и правую части выражения (8.70) слева на транспонированную матрицу значений всех экзогенных переменных X¢. В результате получим модель следующего вида:

 

X¢×у_i = X¢×Z_i×d_i+X¢×e_i . (8.71)

 

В выражении (8.71) вектор X¢×у_i рассматривается как вектор значений новой зависимой переменной, матрица X¢×Z_i – как матрица значений новых независимых факторов, а вектор X¢×e_i – как вектор значений новой ошибки. При этом ковариационная матрица этой ошибки определяется согласно следующему выражению:

 

Cov(x_i )= M[x_i ,x_i¢]=M[X¢×e _i×e _i¢×X]=s_ii² ×X¢×X, (8.72)

 

где s_ii² – постоянная дисперсия ошибки i-го уравнения системы.

Поскольку s_ii²×X¢×X¹s_ii²×Е, т. е. ковариационная матрица ошибки имеет вид отличный от единичной матрицы, умноженной на постоянную дисперсию, то для получения эффективных оценок коэффициентов модели (8.71) необходимо использовать обобщенный МНК. Оценка d_i вектора коэффициентов d_i в этом случае определяется согласно следующему выражению:

 

d_i =[Z_i¢×X×( X¢×X) ^–1X¢×Z_i]^–1× Z_i¢×X×(X¢×X)^–1X¢×y_i . (8.73)

 

Заметим, что с учетом представления матрицы Z_i в виде [Y_iX_i] и выражения (8.54) формула (8.73) тождественна выражению (8.58).

Применим преобразование (8.71) ко всей системе взаимозависимых уравнений, представленной в форме записи, аналогичной выражению (8.25). В результате получим следующую систему:

 

X¢× y₁ X¢× Z₁ 0 d₁ X¢×e₁

X¢× y₂ = X¢× Z_{2 ×} d₂ + X¢×e₂ . (8.74)

… . . . . . . . . . . . . . . . . . … …

X¢× y_m 0 X¢× Z _m d _m X¢×e₂

 

 

Ковариационная матрица вектора ошибки системы (8.74) будет иметь следующий вид:

s₁₁ ×X¢×X s₁₂ ×X¢×X ... s_1m ×X¢×X

Cov(x)= s₂₁ ×X¢×X s₂₂ ×X¢×X ... s_2m ×X¢×X (8.75)

......................................................

s_m1 ×X¢×X s_{m 2} ×X¢×X ... s_mm ×X¢×X ,

 

 

где символом s_ij обозначена ковариация ошибок i-го и j-го уравнений системы. Иными словами,

 

s_ij = Cov(x_i ,x _j )= M[x_i¢ ×x_j ] =

 

Если из значений s_ij сформировать матрицу S размера т´т, то выражение (8.75) можно представить как кронеккерово произведение матриц S и X¢×X.

Cov(x_i )= S Ä X¢×X = W, (8.77)

 

где Ä – символ кронеккерова произведения.

Согласно свойству кронеккерова произведения,

W^–1= S^–1 Ä (X¢×X)^–1. (8.78)

 

С учетом (8.78) оценку вектора коэффициентов всей системы взаимозависимых эконометрических моделей получим с использованием обобщенного МНК в следующем виде:

d₁ Z₁¢×X 0 X¢×Z₁ 0 ^–1 Z₁¢×X 0 X¢×y₁

d= … = … × W^–1× … … ×W ^–1 × … .

d_m 0 Z_m¢×X 0 X¢×Z_m 0 Z_m¢×X X¢×y_m

(8.79)

 

Таким образом, рассмотренная процедура оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей состоит из трех последовательных этапов, определяющих содержание трехшагового МНК.