Тестирование изменчивости структуры эконометрической модели

Основная идея тестирования изменчивости коэффициентов эконометрической модели, имеющей систематический характер, состоит в проверке свойства случайности кумулятивной суммы ее ошибок при увеличении объема выборки (длины временного ряда) рассматриваемых переменных. В этом случае предполагается, что оценки коэффициентов линейной эконометрической модели, полученные по первым наблюдениям, в случае постоянства ее структуры, являются “достаточно хорошим” приближением для аналогичных оценок, полученных по следующим Т–k наблюдениям, в том смысле, что прогнозные значения ошибок* , определенных на основании “предшествующих” оценок коэффициентов, по своим свойствам не отличаются от значений аналогичных ошибок e_k+1, e_k+2,..., e_T, определенных с использованием оценок коэффициентов, рассчитанных по всему объему выборки. Иными словами, если структура модели является постоянной, то прогнозные значения ошибок также должны быть независимыми с нулевым математическим ожиданием (M[e_k+j]=0, j=1,2,...) и конечной дисперсией.

В этом случае можно ожидать, что их накопленная сумма

 

 

окажется близкой к нулю, а сумма их квадратов (или их дисперсия, среднеквадратическое отклонение)

 

 

по своей величине не будут значительно отличаться от аналогичных показателей, рассчитанных по первым k наблюдениям.

В данной ситуации целесообразно рассматривать именно кумулятивную сумму прогнозных ошибок (сумму ее квадратов и т. д.), так как именно эти характеристики являются достаточно чувствительными к возможным изменениям коэффициентов модели, поскольку они обладают способностью накапливать систематическую составляющую ошибки, обусловленную этими изменениями.

Если даже с ростом объема выборки рассматриваемые свойства прогнозных ошибок не подтверждаются (их кумулятивная сумма, сумма квадратов и т. п. увеличиваются), то данный факт может служить свидетельством систематической изменчивости коэффициентов эконометрической модели.

На практике вместо самих прогнозных значений ошибки , t=k+1, k+2,..., T, обычно рассматривают их стандартизованные значения w_t, оцененные с использованием рекуррентной процедуры (4.1)–(4.14)* (см. раздел 4.1).

 

 

где, напоминаем, F_t–1=(X¢_t–1×X_t–1)^–1; X_t–1 – матрица первых t–1 значений независимых переменных размера (t–1)´(п+1); х_t – t-я строка значений независимых переменных в полной матрице X; a_t–1 – вектор оценок п+1 коэффициентов эконометрической модели, определенных по наблюдениям t–1.

Таким образом, числитель в выражении (9.3) представляет собой прогноз ошибки модели в момент t, коэффициенты которой определены по предшествующим t–1 наблюдениям, т. е. прогноз ошибки на одно наблюдение вперед:

 

 

а знаменатель этого выражения представляет собой стандартизующий эту ошибку коэффициент.

Можно показать, что при постоянной структуре модели значения w_t, t=k+1,..., T независимы и одинаково распределены по нормальному закону с нулевым средним и конечной дисперсией s², N~(0, s²). В этом случае сумма их (r–n–1) значений, обозначаемая как W_r, определяемая следующим образом:

 

 

представляет собой сумму (r–n–1) независимых случайных величин, распределенных по стандартизованному нормальному закону N(0,1), где

 

 

– оценка дисперсии модели.

С учетом этого несложно показать, что w_r также распределено по нормальному закону со следующими характеристиками:

 

 

Напоминаем, что п+1 количество параметров модели.

С учетом (9.7) можно сформировать доверительные интервалы для последовательности случайных кумулятивных величин W_r. Поскольку каждая из них для r>п+1 имеет среднеквадратическое отклонение , то вся их совокупность в случае модели с постоянной структурой должна находиться в секторе, заключенном между кривыми и , где – табличная константа, определяемая для стандартизованного нормального закона величиной доверительной вероятности p_*. Напомним, что для p_*=0,95, =1,96 (см. рис. 9.1).

W_r

 

п+1 п+2 п+3 t