Двумерные и многомерные probit-модели.

Probit-модели могут быть могут быть использованы для определения вероятностей сложных событий, выражаемых в виде комбинаций некоторых наборов простых событий, каждое из которых имеет два альтернативных варианта, например, переезд (непереезд) на новое место жительства и аренда (покупка) жилья и т. п. В этом случае данные вероятности могут быть определены как вероятности выбора в рамках многомерных альтернативных вариантов.

Для каждого индивидуума t (t=1,2,...,Т) модель, определяющая вероятности двух событий, может быть представлена в виде следующей системы:

 

y_1t^*=a¢₁x_1t +e_1t, если y_1t=1, то y₁^*>0, если y₁=0, то y₁^*£0;

y_2t^*=a¢₂x_{2 t} +e_2t, если y_2t=1, то y₂^*>0, если y₂=0, то y₂^*£0. (10.72)

 

Латентные переменные y_1t ^* и y_2t ^* модели (10.72) могут интерпретироваться в терминах выгоды, получаемой в зависимости от принятого решения соответственно в первом и во втором случаях; х_1t и х_2t – векторы значений независимых факторов, соответствующих сделанному выбору; e_1t и e_2t – ошибки соответственно первого и второго уравнений; r – коэффициент ковариации ошибок e₁ и e₂.

Закон совместного распределения ошибок модели e₁ и e₂ в общем случае характеризуется следующими параметрами:

M[e₁]=M[e₂]=0;

D[e₁]=D[e₂]=1* ;

Cov[e₁, e₂]=r,

 

Согласно модели (10.72) возможны следующие комбинации решений:

 

Наблюдаемые комбинации образуют массив зависимых переменных модели (10.72).

В системе (10.72) допускается, что события являются зависимыми между собой, что означает существование ненулевой ковариационной связи между ошибками e₁ и e₂. Например, возможность приобретения жилья на новом месте может способствовать принятию решения о переезде или, наоборот, переезд обусловливает необходимость аренды жилья.

Для определения функции закона распределения введем следующие обозначения: q_1t=2y_1t–1 и q_2t=2y_2t–1*. Тогда q_jt=1, если у_jt=1, и q_jt=–1, если у_jt=0, для j=1,2. Введем также в рассмотрение следующие переменные:

 

z_jt=a¢_jx_jt и w_jt= q_jt×z_jt, j=1,2

и

r_t*=q_1t× q_2t×r.

 

Вероятность того, что зависимые переменные Y₁ и Y₂ системы (10.72) для конкретного индивидуума принимают соответственно значения y_1t и y_2t, при, например, нормальном виде закона их совместного распределения рассчитывается как

 

P(Y₁=y_1t, Y₂=y_2t)=F₂(w_1t, w_2t, r_t*), (10.74)

 

где F₂(.) – функция нормального закона совместного распределения случайных переменных Y₁ и Y₂, имеющая следующий вид:

F₂(w_1t, w_2t, r_t*)=ò ò

 

где u₁ и u₂ – переменные интегрирования и плотность этого распределения имеет следующий вид:

 

Для определения маржинальных эффектов в модели (10.72) введем в рассмотрение вектор х_t, являющийся объединением векторов х_1t и х_2t* , и вектор коэффициентов g₁, такие что a₁¢х_1t=g₁¢х_t. Вектор g₁ составлен из элементов вектора коэффициентов a₁ и нулей, стоящих на позициях, которые соответствуют переменным второго уравнения. Аналогичным образом введем вектор коэффициентов g₂: a₂¢х_2t=g₂¢х_t. Тогда вероятность того, что значения y₁ и y₂ одновременно будут равны единице определяется следующим выражением:

 

P(y₁=1, y₂=1)=F₂[g₁¢×x_t, g₂¢×x_t, r_t*]. (10.77).

 

Маржинальные эффекты независимых факторов x_t для P(y₁=1, y₂=1) могут быть определены согласно следующему выражению:

 

g_1t×g₁+g_2t×g₂,

где

 

Для получения g_t2 индексы 1 и 2 в выражении (10.78) нужно поменять местами* .

Математические ожидания зависимых переменных y_j, j=1,2 для конкретных наборов независимых переменных х_tв соответствии с выражением (10.50) определяются как

 

M[y_j| x_t]= F(g_j¢×x_t), j=1,2. (10.79)

 

Для модели (10.72) можно также определить условные математические ожидания переменных y_1t и y_2t.

Например, математическое ожидание зависимой переменной первого уравнения при условии, что y₂=1, определяется согласно формуле условной вероятности следующим образом:

 

M[y₁|y₂=1, x_t]=P[y₁=1|y₂=1, x_t]=

=P[y₁=1,y₂=1|x_t]/P[y₂=1|x_t]=

=F₂(g₁¢×x_t, g₂¢×x_t, r _t*)/F(g₂¢×x_t) (10.80)

 

Аналогично определяется математическое ожидание зависимой переменной второго уравнения при условии, что y₁=1.

Маржинальные эффекты факторов x_t для функции типа (10.80) рассчитываются как

 

¶M[y₁|y₂=1, x_t]/¶x_t=

=[1/F(g₂¢×x_t)]×[ g_t1×g₁+( g_t2–F₂×(j(g₂¢×x)/ F(g₂¢×x_t))×g₂]. (10.81)

 

Аналогичным образом могут быть построены модели с тремя и более зависимыми переменными, с учетом того, что функционал F должен выражать их совместное распределение.