Процедура оценки параметров по методу наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов (МНК) является одним из наиболее разработанных и распространенных вследствие своей относительной простоты и эффективности методов оценки параметров линейных эконометрических моделей. Он не предъявляет жестких требований к закону распределения ошибок моделей. Вследствие этого оценки коэффициентов моделей, полученные на основе МНК, не зависят от фактического (или предполагаемого) закона распределения. Хотя обычно закон распределения ошибки, если его знание необходимо для проверки качества модели, свойств ее параметров и т. п., предполагается нормальным. При этом в “классическом” варианте МНК, как это будет показано далее, в отношении свойств ошибки модели e_t выдвигаются следующие предположения:

– ошибка имеет нулевое математическое ожидание, M[e_t]=0;

– ее дисперсия конечна и постоянна, s_e²=const;

– автокорреляционные связи в ряду ошибки отсутствуют, т. е. r₁=r₂=...=0, где r_i – коэффициент автокорреляции рядов e_t и e_t–i, i=1,2,... ;

– ряд значений ошибки статистически не связан с рядами значений независимых переменных модели.

Рассмотренные предположения определяют ошибку модели как процесс белого шума с ковариационной матрицей ее вектора ошибки, имеющей следующий вид: Cov(e)=s_e²×Е.

Рассмотрим общую схему процедуру оценки параметров линейной эконометрической модели на основе МНК более подробно. Такая модель в общем виде была представлена уравнением (1.2):

y_t=a₀+a₁ х_1t +...+a_nх_nt +e_t.

 

Исходными данными при оценке параметров a₀, a₁,..., a_n являются измеренные (наблюдаемые) значения зависимой переменной, которые можно представить в виде вектора-столбца,

 

 

Наблюдаемые значения независимых переменных объединим в матрицу следующего вида:

Х =

 

Cвое название МНК получил, исходя из смыслового содержания критерия, которому должны удовлетворять полученные на его основе оценки параметров эконометрической модели: