Как уже отмечалось, в пуассоновской модели предполагается, что математическое ожидание и дисперсия числа событий уt равны друг другу. Это свойство существенно ограничивает ее применение, поскольку реальные процессы им не обладают. Вследствие этого в эконометрических исследованиях обычно рассматриваются некоторые модификации пуассоновской модели, в которых свойство (10.122) не выполняется. Например, в условное математическое ожидание (выражение (10.119)) вводится ненаблюдаемое воздействие, которое предполагается случайным:
mt×=lt× ut=,
где mt – условное (по воздействию ut) математическое ожидание переменной yt; ut= .
Согласно выражению (10.127) распределение уt, обусловленное факторами x t и ошибкой ut, остается пуассоновским. Его плотность, определяемая набором вероятностей Р(yt=j|xt, ut), имеет следующий вид:
Из выражения (10.128) следует, что вероятность числа событий yt=j при условии xt, ut является случайной величиной, зависящей от ошибки ut, M[Р(yt=j|xt, ut)]==f(yt|xt). В этом случае функция плотности “обычного” пуассоновского закона имеет вид математического ожидания функции (10.128):
ò
где g(ut) – функция плотности распределения ошибки ut.
Вид функции g(ut) определяет и характер распределения уt|xt. В теории с целью упрощения математических выкладок в качестве g(ut) обычно рассматривают гамма-распределение, т. е.
С учетом (10.130) выражение математического ожидания функции плотности примет следующий вид:
ò
ò
Заметим, что выражение (10.131) является одной из форм представления плотности отрицательного биномиального распределения. Это распределение имеет условное математическое ожидание по xt, равное lt, и условную дисперсию –lt×(1+(1/q)×lt). Таким образом, действительно снимается главное ограничение пуассоновской модели – условие равенства математического ожидания и дисперсии числа событий.